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Macaulays Ungemischtheitssatz ist ein Theorem aus der kommutativen Algebra, einem Teilgebiet der Mathematik.

Dieser Artikel beschäftigt sich mit kommutativer Algebra. Insbesondere sind alle betrachteten Ringe kommutativ und haben ein Einselement. Ringhomomorphismen bilden Einselemente auf Einselemente ab. Für weitere Details siehe Kommutative Algebra.

Macaulys Ungemischtheitssatz

Ist $R$ ein Cohen-Macaulay-Ring und $I$ ein Ideal, dann ist $I$ genau dann vollständiger Durchschnitt in $R$, wenn $I$ von einer $R$-regulären Folge erzeugt wird. Dann haben alle Primideale von $Ass(R/I)$ die Höhe $n$ und $I$ besitzt daher keine eingebetteten Primärkomponenten.

Folgerungen

• Ist $p$ ein Primideal von $R$, dann ist auch $R_{p}$ ein Cohen-Macalay-Ring.
• Ein Cohen-Macaulay-Ring $R$ ist ein Kettenring, das heißt, dass, falls $p\subset q$ Primideale von $R$ sind,

$dim(R_{q})=dim(R_{p})+dim(R_{q}/pR_{q})$

Literatur

• Ernst Kunz: Einführung in die kommutative Algebra und algebraische Geometrie, Vieweg (1980), ISBN 3-528-07246-6
• Atiyah, Macdonald: Introduction to Commutative Algebra, Addison-Wesley (1969), ISBN 0-2010-0361-9
• Brüske, Ischebeck, Vogel: Kommutative Algebra, Bibliographisches Institut (1989), ISBN 978-3411140411
• H. Matsumura, Commutative algebra 1980 ISBN 0-8053-7026-9.

en:Cohen–Macaulay ring#The unmixedness theorem Kategorie: Kommutative Algebra Kategorie: Algebraische Geometrie