Benutzer:Fytcha/Brillante Zahl

Eine natürliche Zahl wird als eine brillante Zahl bezeichnet, wenn diese das Produkt zweier Primzahlen mit gleich vielen Dezimalziffern ist. Diese Bezeichnung wurde von Peter Wallrodt eingeführt. Mit solchen Zahlen lassen sich Computerprogramme zur Berechnung der Primfaktoren von Zahlen auf ihre Geschwindigkeit testen. Das Multiplizieren von zwei unterschiedlichen sehr großen Primzahlen ist auf heutigen Computern in Sekundenbruchteilen durchführbar, jedoch würde das Rückschließen auf die Primfaktoren des Produkts sehr lange dauern, da für die Primfaktorzerlegung kein effizienter Algorithmus bekannt ist. Ist eine brillante Zahl das Quadrat ein und derselben Primzahl, so hat sie keine Relevanz für die oben beschriebenen Computerprogramme, denn für das Errechnen der Quadratwurzel sind effiziente Algorithmen bekannt.

Die ersten brillanten Zahlen lauten: 4, 6, 9, 10, 14, 15, 21, 25, 35, 49, … (Folge A078972 in OEIS)

Die derzeit größte bekannte brillante Zahl ist $(464253\cdot 2^{3321908}-1)\cdot (191273\cdot 2^{3321908}-1)$. Die beiden Primzahlen mit jeweils einer Million Dezimalziffern wurden im Jahre 2013 von Lei Zhou gefunden. Sie sind die 87. und 88. größten, bekannten Primzahlen. Aus der Tatsache, dass diese Faktoren die größte brillante Zahl bilden, lässt sich schlussfolgern, dass sie die zwei größten bekannten Primzahlen mit derselben Anzahl an Dezimalziffern sind.

Beispiele

$4$ ist eine brillante Zahl und zugleich auch die kleinste, ihre Primfaktoren sind: $2\cdot 2$

$143$ ist eine brillante Zahl, aber keine Quadratzahl, ihre Primfaktoren sind: $11\cdot 13$

$77$ ist zwar eine Semiprimzahl, aber keine brillante Zahl, denn ihre Primfaktoren ($7\cdot 11$) haben eine unterschiedliche Anzahl an Dezimalziffern.

Eigenschaften

Jede brillante Zahl ist zugleich auch eine Fastprimzahl zweiter Ordnung, also eine Semiprimzahl. Der Umkehrschluss – dass alle Fastprimzahlen zweiter Ordnung automatisch auch brillante Zahlen sind – ist inkorrekt, denn brillante Zahlen bedürfen einer zusätzliche Eigenschaft, dass die Primfaktoren gleich viele Dezimalziffern haben.

Das Quadrat jeder Primzahl ist eine brillante Zahl.

Sei $n$ eine brillante Zahl, so existieren genau zwei Primzahlen die sie teilen:

$\exists p,q\in \mathbb {P} :n=pq$

Da $n$ nun das Produkt zweier Primzahlen ist, so existieren keine weiteren natürlichen Zahlen $k$ die $n$ teilen:

$\neg \exists k\in \mathbb {N} \setminus \left\{p,q\right\}:k\mid n$

Da die beiden Primfaktoren $p$ und $q$ per Definition dieselbe Anzahl an Dezimalziffern haben müssen gilt:

$\left\lfloor \log _{10}(p)\right\rfloor =\left\lfloor \log _{10}(q)\right\rfloor$

Außerdem gilt wegen den Logarithmengesetzen die Gleichung

$\log _{10}(n)=\log _{10}(pq)=\log _{10}(p)+\log _{10}(q)$

worauf hin folgt, dass

$\left\lfloor \log _{10}(n)\right\rfloor \geq \left\lfloor \log _{10}(p)\right\rfloor +\left\lfloor \log _{10}(q)\right\rfloor$

gilt. Die brillante Zahl hat also entweder gleich viele Dezimalstellen wie ihre Primfaktoren oder eine mehr.

Es wird angenommen, dass $q$ der größere Primfaktor der beiden ist. So lassen sich $p$ und $q$ für $k\in \mathbb {N} _{0}$ auch wie folgt schreiben:

$p=a\cdot 10^{k}$

$q=b\cdot 10^{k}$

Nun kann $a$ beliebig nahe an $1$ und $b$ beliebig nahe an $10$ gelegen sein. Es gilt (die Klammern stehen für ein Intervall):

$a\in \left(1,5\right)$

$b\in \left(5,10\right)$

Daraus folgt, dass der größere Primfaktor brillanter Zahlen bis zu zehn mal größer sein kann wie der kleinere.

n-brillante Zahl

Eine natürliche Zahl wird als eine $n$-brillante Zahl bezeichnet, wenn sie das Produkt von $n$ Primzahlen ist, die alle dieselbe Anzahl an Dezimalziffern haben. Alle $n$-brillante Zahlen sind Fastprimzahlen $n$-ter Ordnung. Der Rückschluss ist auch hier inkorrekt, nicht alle Fastprimzahlen $n$-ter Ordnung sind auch $n$-brillante Zahlen.

Das Ergebnis der Potenz jeder Primzahl zu $n\in \mathbb {N} _{0}$ ist eine $n$-brillante Zahl.

Sei $k$ eine $n$-brillante Zahl. Sei $P$ die Primfaktorzerlegung von $k$. Es gilt:

$\forall p,q\in P:\left\lfloor \log _{10}(p)\right\rfloor =\left\lfloor \log _{10}(q)\right\rfloor$

0-brillante Zahl

Es lässt sich auf zwei Weisen zeigen, dass $1$ eine und die einzige 0-brillante Zahl ist.

1. Für beliebige $n\in \mathbb {N} _{0}$ ist das Ergebnis der Potenz jeder Primzahl zu $n$ eine $n$-brillante Zahl. Es gilt zusätzlich wegen den Potenzgesetzen:

$\forall p\in \mathbb {P} :p^{0}=1$

Wobei $1$ damit eine 0-brillante Zahl ist.

2. Eine $n$-brillante Zahl hat $n$ Primteiler. Eine 0-brillante Zahl sollte daher auch keine Primteiler haben. Das bedeutet, die Menge der Primteiler ist die leere Menge $\emptyset$. Das leere Produkt

$\prod _{x\in \emptyset }x$

ist mit $1$ definiert. Da es nur eine Menge mit 0 Elementen gibt, ist dieses Resultat eindeutig und $1$ ist die einzige 0-brillante Zahl.

1-brillante Zahl

Die 1-brillanten Zahlen haben allesamt nur einen einzigen Primteiler. Diese Eigenschaft wird nur von den Primzahlen $\mathbb {P}$ erfüllt. Das zu erfüllende Attribut – dass alle Primteiler gleich viele Dezimalziffern haben müssen – kann hierbei vernachlässigt werden, da – bei nur einem Primteiler – dieser zu keinem anderen verglichen werden kann. Es lässt sich also sagen, dass die Menge aller 1-brillater Zahlen gleich ist wie die Menge aller Primzahlen.

Palindromische brillante Zahlen

Palindromische brillante Zahlen sind jene brillanten Zahlen, die gleichzeitig Zahlenpalindrome sind.

Die ersten palindromischen brillanten Zahlen lauten: 4, 6, 9, 121, 323, 737, 767, 949, 979, 989, … (Folge A084350 in OEIS)

Sei $k$ die Anzahl der Dezimalziffern einer palindromischen brillanten Zahl und sei $A_{i}$ die $i$-te Dezimalziffer. So gilt für alle palindromische brillante Zahlen:

$\sum _{i=0}^{k}A_{i}\cdot 10^{i}=\sum _{i=0}^{k}A_{k-i-1}\cdot 10^{i}$

Einzelnachweise

Kategorie:Zahlentheorie Kategorie:Ganzzahlmenge