Vierergeschwindigkeit

Die Vierergeschwindigkeit ist ein Vierervektor der speziellen und allgemeinen Relativitätstheorie. Die Bewegung eines materiellen Körpers (Teilchens) wird durch seine raumartige Weltlinie als Aufeinanderfolge von Ereignissen der Raumzeit beschrieben. Wenn diese Weltlinie mit der Eigenzeit des Teilchens parametrisiert wird, ist die Vierergeschwindigkeit die Tangente an diese Weltlinie. Die Vierergeschwindigkeit ist die relativistische Entsprechung der Geschwindigkeit der klassischen Mechanik.

Geschwindigkeit

Der Weg eines materiellen Objekts im Raum wird durch die Änderung des Ortes in Abhängigkeit von der Zeit beschrieben. Formal sind das die drei Funktionen der Raumkoordinaten $x^{i}(t),\,i=1,2,3$ ^{[A 1]} als Ortsvektor

{\vec {x}}(t)=\left({\begin{array}{c}x^{1}(t)\\x^{2}(t)\\x^{3}(t)\end{array}}\right)

in der Darstellung als Spaltenvektor. Die Geschwindigkeit ist die Ableitung des Ortsvektors nach der Zeit

{\vec {v}}(t)=\left({\begin{array}{c}v^{1}(t)\\v^{2}(t)\\v^{3}(t)\end{array}}\right)={\dfrac {{\rm {d}}{\vec {x}}(t)}{{\rm {d}}t}}=\left({\begin{array}{c}{\dfrac {{\rm {d}}x^{1}}{{\rm {d}}t}}\\{\dfrac {{\rm {d}}x^{2}}{{\rm {d}}t}}\\{\dfrac {{\rm {d}}x^{3}}{{\rm {d}}t}}\end{array}}\right)={\dot {\vec {x}}}(t).

Geschwindigkeit in der Relativitätstheorie

Im Folgenden werden natürliche Einheiten $G=c=1$ und die Signatur $(+,-,-,-)$ verwendet (

West Coast metric

). Griechische Buchstaben als Indizes bezeichnen Vierervektoren und Vierertensoren und durchlaufen die Werte $0,1,2,3$ .

Die Vierergeschwindigkeit eines Teilchens ist definiert als

u^{\mu }={\frac {{\rm {d}}x^{\mu }}{{\rm {d}}\tau }}={\dot {x}}^{\mu },\quad \mu =0,1,2,3

mit dem Ortsvektor $x^{\mu }=(x^{0},x^{1},x^{2},x^{3})$ . $x^{0}$ ist die Koordinatenzeit, die die Uhr eines entfernten, ruhenden ( ${\rm {d}}x^{i}=0,\,i=1,2,3$ ) Beobachters misst. $\tau$ ist die Eigenzeit des Teilchens, die eine mit dem Teilchen mitgeführte Uhr misst. Mit der Metrik $g_{\mu \nu }$ gilt für das Quadrat des Linienelements

{\rm {d}}s^{2}={\rm {d}}\tau ^{2}=g_{\mu \nu }{\rm {d}}x^{\mu }{\rm {d}}x^{\nu }

und das Betragsquadrat der Vierergeschwindigkeit ist

|u^{\nu }|^{2}=u_{\nu }u^{\nu }=g_{\mu \nu }u^{\mu }u^{\nu }=g_{\mu \nu }{\frac {{\rm {d}}x^{\mu }}{{\rm {d}}\tau }}{\frac {{\rm {d}}x^{\nu }}{{\rm {d}}\tau }}=1.

^{[A 2]}

Das Quadrat des Linienelements kann auch in der Frame 1-form Darstellung formuliert

{\rm {d}}s^{2}={\rm {d}}\tau ^{2}=g_{\mu \nu }{\rm {d}}x^{\mu }{\rm {d}}x^{\nu }=\eta _{\mu \nu }\ \theta ^{\mu }\!\otimes \theta ^{\nu }

werden mit

\theta ^{\mu }={h^{\mu }}_{\alpha }{\rm {d}}x^{\alpha }.

Damit folgt mit $\eta _{\mu \nu }={\rm {diag}}\left(1,-1,-1,-1\right)$ für das Quadarat des Linienelements

{\rm {d}}s^{2}=\left(\theta ^{0}\right)^{2}-\left(\theta ^{1}\right)^{2}-\left(\theta ^{2}\right)^{2}-\left(\theta ^{3}\right)^{2}=\left({h^{0}}_{\alpha }{\rm {d}}x^{\alpha }\right)^{2}-\left({h^{1}}_{\alpha }{\rm {d}}x^{\alpha }\right)^{2}-\left({h^{2}}_{\alpha }{\rm {d}}x^{\alpha }\right)^{2}-\left({h^{3}}_{\alpha }{\rm {d}}x^{\alpha }\right)^{2}.

Für die Eigenzeit gilt dann

{\rm {d}}\tau =\left({h^{0}}_{\alpha }{\rm {d}}x^{\alpha }\right){\sqrt {1-{\dfrac {\left({h^{1}}_{\alpha }{\rm {d}}x^{\alpha }\right)^{2}+\left({h^{2}}_{\alpha }{\rm {d}}x^{\alpha }\right)^{2}+\left({h^{3}}_{\alpha }{\rm {d}}x^{\alpha }\right)^{2}}{\left({h^{0}}_{\alpha }{\rm {d}}x^{\alpha }\right)^{2}}}}}.

Für den flachen Minkowski-Raum gilt

{h^{\mu }}_{\alpha }={\delta ^{\mu }}_{\alpha }=\left\{{\begin{array}{l}1,\,\mu =\alpha \\0,\,\mu \neq \alpha \end{array}}\right.

und

{\rm {d}}\tau ={\rm {d}}x^{0}\,{\sqrt {1-{\dfrac {\left({\rm {d}}x^{1}\right)^{2}+\left({\rm {d}}x^{2}\right)^{2}+\left({\rm {d}}x^{3}\right)^{2}}{\left({\rm {d}}x^{0}\right)^{2}}}}}={\rm {d}}x^{0}\,{\sqrt {1-\mathbf {v} ^{2}}},

mit

\mathbf {v} ^{2}=\left(v^{1}\right)^{2}+\left(v^{2}\right)^{2}+\left(v^{2}\right)^{2}=\left({\dfrac {{\rm {d}}x^{1}}{{\rm {d}}x^{0}}}\right)^{2}\!\!+\,\left({\dfrac {{\rm {d}}x^{2}}{{\rm {d}}x^{0}}}\right)^{2}\!\!+\,\left({\dfrac {{\rm {d}}x^{3}}{{\rm {d}}x^{0}}}\right)^{2}.

Die Metrik lässt sich als Raum plus Zeit (3+1)-Darstellung^{[E 1]}

{\rm {d}}s^{2}={\rm {d}}\tau ^{2}={\rm {d}}\tau _{\rm {S}}^{2}-{\rm {d}}\sigma _{\rm {S}}^{2}

formulieren, mit

{\rm {d}}\tau _{\rm {S}}^{2}=N^{2}({\rm {d}}x^{0})^{2},

wobei $N$ die sogenannte

lapse function

ist und

{\rm {d}}\sigma _{\rm {S}}^{2}=\gamma _{ij}\left({\rm {d}}x^{i}+N^{i}{\rm {d}}x^{0}\right)\left({\rm {d}}x^{j}+N^{j}{\rm {d}}x^{0}\right),

mit dem

shift vector

$N^{i}.$ Damit wird jedem Zeitpunkt $x^{0}$ eine räumliche Hyperfläche mit der Metrik $\gamma _{ij}(x^{0},x^{k})$ zugeordnet. Die Raumzeit wird mit einer Schar solcher infinitesimal dünner Hyperflächen „gefüllt“ (sogenannter

Slices

, weshalb $\tau _{\rm {S}},\,\sigma _{\rm {S}}$ mit dem Index ${\rm {S}}$ gekennzeichnet sind).

Für $g_{\mu \nu },\gamma _{ij},N_{i}$ und $N$ gilt

\left({\begin{array}{cc}g_{00}&g_{0j}\\g_{i0}&g_{ij}\end{array}}\right)=\left({\begin{array}{cc}(N^{2}-N_{k}N^{k})&-N_{j}\\-N_{i}&-\gamma _{ij}\end{array}}\right).

Kovariante und kontravariante Shift-Vektoren hängen über die räumliche Metrik

N_{i}=\gamma _{ij}N^{j}

und über die inverse räumliche Metrik

N^{i}=\gamma ^{ij}N_{j}

zusammen. Für die Inversen $g^{\mu \nu },\gamma ^{ij},N^{i}$ gilt

\left({\begin{array}{cc}g^{00}&g^{0j}\\g^{i0}&g^{ij}\end{array}}\right)=\left({\begin{array}{cc}{\dfrac {1}{N^{2}}}&-{\dfrac {N^{j}}{N^{2}}}\\-{\dfrac {N^{i}}{N^{2}}}&\left({\dfrac {N^{i}N^{j}}{N^{2}}}-\gamma ^{ij}\right)\end{array}}\right).

Somit folgt mit $g_{0i}=g_{i0}$ und $g^{0i}=g^{i0}$

N^{2}={\dfrac {1}{g^{00}}},\quad N_{i}=-g_{0i},\quad \gamma _{ij}=-g_{ij}

und

N^{i}=-{\dfrac {g^{0i}}{g^{00}}},\quad \gamma ^{ij}=-g^{ij}+{\frac {g^{0i}g^{0j}}{g^{00}}}.

Anmerkungen

↑ Lateinische Buchstaben als Indizes bezeichnen den räumlichen Teil von Vierervektoren und -tensoren und durchlaufen die Werte $1,2,3$ .
↑ Das Vorzeichen des Betragsquadrats der Vierergeschwindigkeit $|u^{\nu }|^{2}$ hängt von der gewählten Signatur ab. Für $(-,+,+,+)$ (
East Coast
Metrik) ist $|u^{\nu }|^{2}=-1,$ für $(+,-,-,-)$ (
West Coast
Metrik) ist $|u^{\nu }|^{2}=+1$ . In Misner, Thorne, Wheeler (siehe Einzelnachweise) wird die
East Coast
Metrik verwendet. Die hier genutzte
West Coast
Metrik geht für die flache Raumzeit in die übliche Darstellung der Minkowski-Metrik ${\rm {d}}s^{2}={\rm {d}}t^{2}-{\rm {d}}\sigma ^{2}$ mit ${\rm {d}}\sigma ^{2}={\rm {d}}x^{2}+{\rm {d}}y^{2}+{\rm {d}}z^{2}$ über.