Benutzer:Learex/Kondensatorbeschleunigung

Nachdem ein geladenes Teilchen mit der Ladung $q>0$, der Masse $m>0$ und der Anfangsgeschwindigkeit (in Beschleunigungsrichtung) $v_{0}>0$ die Potentialdifferenz $\Delta \varphi >0$ durchlaufen hat, ist es, in der klassischen Physik,

$v={\sqrt {\frac {2\cdot \Delta \varphi \cdot q}{m}}}+v_{0}^{2}$

schnell.

Nachdem ein geladenes Teilchen mit der Ladung $q>0$, der Ruhemasse $m_{0}>0$ und der Anfangsgeschwindigkeit (in Beschleunigungsrichtung) $v_{0}>0$ die Potentialdifferenz $\Delta \varphi >0$ durchlaufen hat, ist es, in der relativistischen Physik,

$v={\sqrt {2}}\cdot {\frac {\left(\Delta \varphi +{\frac {m_{0}\cdot v_{0}^{2}}{2\cdot q\cdot {\sqrt {1-v_{0}^{2}\cdot c^{-2}}}}}\right)\cdot q}{m_{0}}}\cdot {\sqrt {{\sqrt {c^{-4}+{\frac {m_{0}^{2}}{\left(\Delta \varphi +{\frac {m_{0}\cdot v_{0}^{2}}{2\cdot q\cdot {\sqrt {1-v_{0}^{2}\cdot c^{-2}}}}}\right)^{2}\;\cdot \;q^{2}}}}}-c^{-2}}}$

schnell.

Negative Ladungen und/oder negative Potentialdifferenz

Ist sowohl die Potentialdifferenz als auch die Ladung des Teilchens negativ, so lassen sich in die Gleichung die Beträge beider Werte einsetzen, da das Produkt dann positiv wird.

Sind die Vorzeichen verschieden müsste Energie umgewandelt werden, um die Potentialdifferenz zu durchlaufen. In diesem Fall funktionieren die zeitfreien Geschwindigkeitsformeln nicht mehr.

Negative Anfangsgeschwindigkeit

Hat das Teilchen eine negative Anfangsgeschwindigkeit (Bewegung gegen die Austrittsgeschwindigkeit),dann wird das Teilchen erst abgebremst, bis jegliche Bewegungsenergie in potentielle Energie umgewandelt wurde. Dieser Punkt ist der Umkehrpunkt; danach beschleunigt es wieder bis es den Kondensator verlässt. Dieser Geschwindigkeitsbetrag entspricht dem Betrag der Anfangsgeschwindigkeit.

Ausnahme: Die Spannung des Kondensators reicht nicht aus, um das Teilchen zu stoppen.

Benötigte Spannung (klassische Physik):

$U=\Delta \varphi ={\frac {v^{2}\cdot m}{2\cdot q}}$

Benötigte Spannung (relativistische Physik):

$U=\Delta \varphi ={\frac {m_{0}\cdot v_{0}^{2}}{2\cdot q\cdot {\sqrt {1-v_{0}^{2}\cdot c^{-2}}}}}={\frac {m_{0}\cdot v_{0}^{2}\cdot {\sqrt {1-v_{0}^{2}\cdot c^{-2}}}}{2\cdot q-2\cdot q\cdot v_{0}^{2}\cdot c^{-2}}}$

[Herleitung der Formeln durch Auflösen und Vereinfachen der zeitfreien Geschwindigkeitsformeln nach $\Delta \varphi$, mit $v_{0}=0$]

Durch Substitution vereinfachte Formel (Zum Merken)

Klassische Physik

Substitution

$k:={\frac {U\cdot q}{m}}$ (Substituiere)

Endformel

$v={\sqrt {2\cdot k}}+v_{0}$

Relativistische Physik

Substitution

$U_{v}={\frac {m_{0}\cdot v_{0}^{2}}{2\cdot q\cdot {\sqrt {1-v_{0}^{2}\cdot c^{-2}}}}}$ (Substituiere)

(„Zusätzliche“ Spannung; Spannung, die durchlaufen hätte werden müssen, wenn $v_{0}=0$)

$U_{0}=\Delta \varphi +U_{v}$ (Substituiere)

(Gesamtspannung: Potentialdifferenz + „Zusätzliche“ Spannung)

$v={\sqrt {2}}\cdot {\frac {U_{0}\cdot q}{m_{0}}}\cdot {\sqrt {{\sqrt {{\frac {1}{c^{4}}}+{\frac {m_{0}^{2}}{U_{0}^{2}\;\cdot \;q^{2}}}}}-{\frac {1}{c^{2}}}}}$

$k:={\frac {U_{0}\cdot q}{m}}$ (Substituiere)

Endformel

$v={\sqrt {2}}\cdot k\cdot {\sqrt {{\sqrt {{\frac {1}{c^{4}}}+{\frac {1}{k^{2}}}}}-{\frac {1}{c^{2}}}}}={\sqrt {2}}\cdot k\cdot {\sqrt {{\sqrt {c^{-4}+k^{-2}}}-c^{-2}}}$

Herleitung

Klassische Physik

Aus der Annahme, dass die potentielle Energie bei dem Durchlaufen der Potentialdifferenz vollständig in kinetische Energie umgewandelt wird, folgt:

$W_{kin}=W_{pot}$

$W_{kin}={\frac {1}{2}}\cdot m\cdot v^{2}$ ; $W_{pot}=U\cdot q$ (Einsetzen)

${\frac {1}{2}}\cdot m\cdot v^{2}=U\cdot q$

$\cdot 2$

$m\cdot v^{2}=2\cdot U\cdot q$

$\div m$

$v^{2}={\frac {2\cdot U\cdot q}{m}}$

${\sqrt {()}}$

$v={\sqrt {\frac {2\cdot U\cdot q}{m}}}$

$v={\sqrt {\frac {2\cdot \Delta \varphi \cdot q}{m}}}$

Relativistische Physik

Grundformel

Da sich die Masse bei der Beschleunigung erhöht, muss dies mit eingerechnet werden.

$v={\sqrt {\frac {2\cdot U\cdot q}{m(v)}}}$

$m\left(v\right)\;=\;{\frac {m_{0}}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}$  (Einsetzen)

$v={\sqrt {\frac {2\cdot U\cdot q}{\frac {m_{0}}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}}}$

$v={\sqrt {\frac {2\cdot U\cdot q\cdot {\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}{m_{0}}}}$

$v={\sqrt {\frac {2\cdot U\cdot q}{m_{0}}}}\cdot {\sqrt {\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}$

$v={\sqrt {\frac {2\cdot U\cdot q}{m_{0}}}}\cdot {\sqrt[{4}]{1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}$

$r:={\sqrt {\frac {2\cdot U\cdot q}{m_{0}}}}$ (Substituiere) [Zur verbesserten Lesbarkeit, Resubstitution folgt]

$v=r\cdot {\sqrt[{4}]{1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}$

$()^{4}$

$v^{4}=r^{4}\cdot \left(1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}\right)$

$v^{4}=r^{4}-{\frac {r^{4}\cdot v^{2}}{c^{2}}}$

$-v^{4}$

$0=r^{4}-{\frac {r^{4}\cdot v^{2}}{c^{2}}}-v^{4}$

$0=-v^{4}-{\frac {r^{4}\cdot v^{2}}{c^{2}}}+r^{4}$

$0=-{\frac {v^{4}}{r^{4}}}-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}+1$

$0=-{\frac {1}{r^{4}}}\cdot v^{4}-{\frac {1}{c^{2}}}\cdot v^{2}+1$

$w:=v^{2}$ (Substituiere) [Zum Herstellen einer quadratischen Gleichung]

$0=-{\frac {1}{r^{4}}}\cdot w^{2}-{\frac {1}{c^{2}}}\cdot w+1$

$x=-{\frac {1}{r^{4}}};y=-{\frac {1}{c^{2}}};z=1$



$w_{1,2}={\frac {-y\pm {\sqrt {y^{2}-4\cdot x\cdot z}}}{2\cdot x}}$  (Mitternachtsformel, auch abc-Formel)

$w_{1,2}={\frac {-(-{\frac {1}{c^{2}}})\pm {\sqrt {(-{\frac {1}{c^{2}}})^{2}-4\cdot (-{\frac {1}{r^{4}}})\cdot 1}}}{2\cdot (-{\frac {1}{r^{4}}})}}$

$w_{1,2}={\frac {{\frac {1}{c^{2}}}\pm {\sqrt {{\frac {1}{c^{4}}}+4\cdot {\frac {1}{r^{4}}}}}}{-2\cdot {\frac {1}{r^{4}}}}}$

Wenn die Diskriminante addiert wird, dann ist zwar der Zähler positiv, der Bruch wird aber negativ. Da nur positive Geschwindigkeiten sinnvoll sind, kann man die erste Lösung vernachlässigen.
Ferner ergibt es auch keinen Sinn die komplexen Zahlen zu verwenden, da Geschwindigkeiten nicht komplex sein können. Zudem ist die quartische Funktion achsensymmetrisch zur y-Achse, weswegen es keine Rolle spielt ob nun die Lösung rechts oder links des Ursprungs gefunden wird.

$w={\frac {{\frac {1}{c^{2}}}-{\sqrt {{\frac {1}{c^{4}}}+4\cdot {\frac {1}{r^{4}}}}}}{-2\cdot {\frac {1}{r^{4}}}}}$

$w={\frac {{\sqrt {{\frac {1}{c^{4}}}+4\cdot {\frac {1}{r^{4}}}}}-{\frac {1}{c^{2}}}}{2\cdot {\frac {1}{r^{4}}}}}$

$v^{2}=w$ (Resubstituiere)

${\sqrt {()}}$

$v={\sqrt {\frac {{\sqrt {{\frac {1}{c^{4}}}+4\cdot {\frac {1}{r^{4}}}}}-{\frac {1}{c^{2}}}}{2\cdot {\frac {1}{r^{4}}}}}}$

${\sqrt {\frac {2\cdot U\cdot q}{m_{0}}}}=r$ (Resubstituiere)

$v={\sqrt {\frac {{\sqrt {{\frac {1}{c^{4}}}+4\cdot {\frac {1}{({\sqrt {\frac {2\cdot U\cdot q}{m_{0}}}})^{4}}}}}-{\frac {1}{c^{2}}}}{2\cdot {\frac {1}{({\sqrt {\frac {2\cdot U\cdot q}{m_{0}}}})^{4}}}}}}$

$v={\sqrt {\frac {{\sqrt {{\frac {1}{c^{4}}}+4\cdot {\frac {1}{({\frac {2\cdot U\cdot q}{m_{0}}})^{2}}}}}-{\frac {1}{c^{2}}}}{2\cdot {\frac {1}{({\frac {2\cdot U\cdot q}{m_{0}}})^{2}}}}}}$

$v={\sqrt {\frac {{\sqrt {{\frac {1}{c^{4}}}+4\cdot {\frac {1}{\frac {4\cdot U^{2}\cdot q^{2}}{m_{0}^{2}}}}}}-{\frac {1}{c^{2}}}}{2\cdot {\frac {1}{\frac {4\cdot U^{2}\cdot q^{2}}{m_{0}^{2}}}}}}}$

$v={\sqrt {\frac {{\sqrt {{\frac {1}{c^{4}}}+4\cdot {\frac {m_{0}^{2}}{4\cdot U^{2}\cdot q^{2}}}}}-{\frac {1}{c^{2}}}}{2\cdot {\frac {m_{0}^{2}}{4\cdot U^{2}\cdot q^{2}}}}}}$

$v={\sqrt {\frac {{\sqrt {{\frac {1}{c^{4}}}+{\frac {m_{0}^{2}}{U^{2}\cdot q^{2}}}}}-{\frac {1}{^{c^{2}}}}}{\frac {m_{0}^{2}}{2U^{2}\cdot q^{2}}}}}$

$v={\sqrt {{\sqrt {{\frac {1}{c^{4}}}+{\frac {m_{0}^{2}}{U^{2}\cdot q^{2}}}}}-{\frac {1}{^{c^{2}}}}}}\cdot {\sqrt {\frac {2U^{2}\cdot q^{2}}{m_{0}^{2}}}}$

$v={\sqrt {\frac {2U^{2}\cdot q^{2}}{m_{0}^{2}}}}\cdot {\sqrt {{\sqrt {{\frac {1}{c^{4}}}+{\frac {m_{0}^{2}}{U^{2}\cdot q^{2}}}}}-{\frac {1}{c^{2}}}}}$

$v={\sqrt {2}}\cdot {\frac {U\cdot q}{m_{0}}}\cdot {\sqrt {{\sqrt {{\frac {1}{c^{4}}}+{\frac {m_{0}^{2}}{U^{2}\;\cdot \;q^{2}}}}}-{\frac {1}{c^{2}}}}}$

Diese Formel gilt nur, wenn das Teilchen ruht. Deshalb muss, wie bereits oben beschrieben, $U$ durch $U_{0}$ ersetzt werden.

$v={\sqrt {2}}\cdot {\frac {U_{0}\cdot q}{m_{0}}}\cdot {\sqrt {{\sqrt {{\frac {1}{c^{4}}}+{\frac {m_{0}^{2}}{U_{0}^{2}\;\cdot \;q^{2}}}}}-{\frac {1}{c^{2}}}}}$

Erweiterung

Um $U_{0}$ zu bestimmen muss man die bereits vorhandene kinetische Energie in die Spannung $U_{v}$ umrechnen, die dazu benötigt wird, um das Teilchen auf die Ausgangsgeschwindigkeit $v_{0}$ zu bringen und die durchlaufene Potentialdifferenz $\Delta \varphi$ addieren.

$v_{0}={\sqrt {\frac {2\cdot U_{v}\cdot q\cdot {\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}{m_{0}}}}$ (Formel nach Einsetzung von $m(v)$)

$()^{2}$

$v_{0}^{2}={\frac {2\cdot U_{v}\cdot q\cdot {\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}{m_{0}}}$

$\div U_{v}$

${\frac {v_{0}^{2}}{U_{v}}}={\frac {2\cdot q\cdot {\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}{m_{0}}}$

$()^{-1}$

${\frac {U_{v}}{v_{0}^{2}}}={\frac {m_{0}}{2\cdot q\cdot {\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}}$

$\cdot v_{0}^{2}$

$U_{v}={\frac {m_{0}\cdot v_{0}^{2}}{2\cdot q\cdot {\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}}$

$U_{v}={\frac {m_{0}\cdot v_{0}^{2}}{2\cdot q\cdot {\sqrt {1-v_{0}^{2}\cdot c^{-2}}}}}={\frac {m_{0}\cdot v_{0}^{2}\cdot {\sqrt {1-v_{0}^{2}\cdot c^{-2}}}}{2\cdot q-2\cdot q\cdot v_{0}^{2}\cdot c^{-2}}}$

$U_{0}=\Delta \varphi +U_{v}$

$v={\sqrt {2}}\cdot {\frac {\left(\Delta \varphi +{\frac {m_{0}\cdot v_{0}^{2}}{2\cdot q\cdot {\sqrt {1-v_{0}^{2}\cdot c^{-2}}}}}\right)\cdot q}{m_{0}}}\cdot {\sqrt {{\sqrt {c^{-4}+{\frac {m_{0}^{2}}{\left(\Delta \varphi +{\frac {m_{0}\cdot v_{0}^{2}}{2\cdot q\cdot {\sqrt {1-v_{0}^{2}\cdot c^{-2}}}}}\right)^{2}\;\cdot \;q^{2}}}}}-c^{-2}}}$

Herleitung der relativistischen Formel: Mark Schneider, alias Learex

Beispiel

Gegeben:

$m_{0}=9,11\cdot 10^{-31}kg$

$q=-1,6\cdot 10^{-19}C$

$c=299792458{\frac {m}{s}}$

$\Delta \varphi =-1MV$

$v_{0}=100000{\frac {m}{s}}$

Gesucht:

$v$

Lösung:

Klassische Physik

$v={\sqrt {\frac {2\cdot \Delta \varphi \cdot q}{m}}}+v_{0}$

$v={\sqrt {\frac {2\cdot 1MV\cdot 1,6\cdot 10^{-19}C}{9,11\cdot 10^{-31}kg}}}+100000{\frac {m}{s}}$

$v\approx 592773898{\frac {m}{s}}$

$v\approx 1,977\cdot c$ (!)

Relativistische Physik

$U_{v}={\frac {m_{0}\cdot v_{0}^{2}}{2\cdot q\cdot {\sqrt {1-v_{0}^{2}\cdot c^{-2}}}}}$

$U_{v}={\frac {9,11\cdot 10^{-31}kg\cdot (100000{\frac {m}{s}})^{2}}{2\cdot 1,6\cdot 10^{-19}C\cdot {\sqrt {1-(100000{\frac {m}{s}})^{2}\cdot (299792458{\frac {m}{s}})^{-2}}}}}$

$U_{v}\approx 0,0285V$

$U_{0}=\Delta \varphi +U_{v}$

$U_{0}=1MV+0,0285V$

$U_{0}\approx 1000000,028468V$

$v={\sqrt {2}}\cdot {\frac {U_{0}\cdot q}{m_{0}}}\cdot {\sqrt {{\sqrt {{\frac {1}{c^{4}}}+{\frac {m_{0}^{2}}{U_{0}^{2}\;\cdot \;q^{2}}}}}-{\frac {1}{c^{2}}}}}$

$v={\sqrt {2}}\cdot {\frac {1000000,028468V\cdot 1,6\cdot 10^{-19}C}{9,11\cdot 10^{-31}kg}}\cdot {\sqrt {{\sqrt {{\frac {1}{(299792458{\frac {m}{s}})^{4}}}+{\frac {(9,11\cdot 10^{-31}kg)^{2}}{(1000000,028468V)^{2}\;\cdot \;(1,6\cdot 10^{-19}C)^{2}}}}}-{\frac {1}{(299792458{\frac {m}{s}})^{2}}}}}$

$v\approx 290955878{\frac {m}{s}}$

$\left|\Delta v\right|\approx c$ (!)

Einzelnachweise

Kategorie:Kondensator (Elektrotechnik) Kategorie:Teilchenbeschleuniger