Benutzer:Maggus989/ES

Der Expected Shortfall (abgekürzt ES) ist ein Risikomaß, welches im Bereich des Finanzwirtschaft, insbesondere der diskreten Finanzmathematik und Statistik genutzt wird, um Marktrisiken und Kreditrisiken eines Portfolios zu bewerten. Es handelt sich hierbei um eine Alternative zum Value at Risk, die mehr Gewicht auf die Flanken, also die "besten" bzw. "schlechtesten" Fälle, der Verteilung legt. Der "Expected Shortfall zum Level $q$%" ist definiert als der erwartete Return des Portfolios in den schlechtesten $q$% der Fälle.

Der ES berechnet den Wert des Risikos auf eine konservative Art, wobei mehr (im Vergleich zum Value at Risk), mehr Gewicht auf die weniger profitablen Realisierungen gelegt wird. Je kleiner der Wert von $q$ dabei ist, desto weniger "gute" Realisierungen werden betrachtet. Häufig wird dabei ein ein für $q=5\%$ gewählt. Der Expected Shortfall ist, im Gegensatz zum Value at Risk, ein kohärentes Risikomaß.

Gelegentlich wird der "Expected Shortfall" auch als conditional value at risk(CVaR), average value at risk(AVaR) oder expected tail loss(ETL) bezeichnet.

Formale Definition

Wenn $X\in L^{p}({\mathcal {F}})$ der Return eines Portfolios zu einem in der Zukunft liegenden Zeitpunkt ist, und $0<\alpha <1$, dann wird der Expected Shortfall durch $ES_{\alpha }={\frac {1}{\alpha }}\int _{0}^{\alpha }VaR_{\gamma }(X)d\gamma$ definiert, wobei $VaR_{\gamma }$ der Value at Risk ist. Eine äquivalente Dartsellung ist $ES_{\alpha }=-{\frac {1}{\alpha }}\left(E[X1_{\{X\leq x_{\alpha }\}}]+x_{\alpha }(\alpha -P[X\leq x_{\alpha }])\right)$ mit $x_{\alpha }=\inf\{x\in \mathbb {R} :P(X\leq x)\geq \alpha \}$ als unteres $\alpha$-Quantil.

Sofern die Verteilung von $X$ eine stetige Verteilung ist, stimmt der ES mit der sog. tail conditional expectation definiert durch $TCE_{\alpha }(X)=E[-X|X\leq -VaR_{\alpha }(X)]$ überein.

Eigenschaften

Mit wachsendem $q$ wächst auch $ES_{q}$.

Das 100%-Quantil $ES_{1}.0$ stimmt mit dem Erwartungswert des Portfolios überein, im Allgemeinen unterscheieden sich dieses Werte jedoch.

Für ein gegebenes $q<1$ ist der $ES_{q}$ stets kleiner als der Value at Risk $VaR_{q}$.

Literatur

• Embrechts P., Kluppelberg C. and Mikosch T. (1997) Modelling Extremal Events for Insurance and Finance. Berlin: Springer Verlag.

• Novak S.Y. and Beirlant J. (2006) The magnitude of a market crash can be predicted. J. Banking & Finance, v. 30, 453-462. [1]

• Franke, J., Härdle, W., Hafner, C. M.: Statistics of Financial Markets: An Introduction. Springer, Berlin, Heidelberg, New York, 2. Auflage (2008), ISBN 3-540-762698

• Franke, J., Hafner, C. M., Härdle, W.: Einführung in die Statistik der Finanzmärkte. Springer, Berlin, Heidelberg, New York, 2. Auflage (2004), ISBN 3-540-405585

Weblinks

• Rockafellar, Uryasev: Optimization of Conditional Value-At-Risk, 2000.
• Acerbi, Tasche: Expected Shortfall, a natural coherent alternative to value at risk, 2001
• Rockafellar, Uryasev: Conditional Value-at-Risk for General Loss Distributions, 2002.
• Acerbi: Spectral measures of risk, 2005