Benutzer:Manfreeed/ray

In der Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik wird mit Rayleighverteilung eine kontinuierliche Wahrscheinlichkeitsverteilung bezeichnet. Wenn die Komponenten eines zweidimensionalen Zufallsvektors normalverteilt und statistisch unabhängig sind, dann ist der Betrag Rayleigh verteilt. Dies tritt zum Beispiel bei Quadraturamplitudenmodulation in Telekommunikationssystemen auf, wo die Sendesymbole durch einen Punkt in der komplexen Ebene dargestellt werden können. Sind nun Abweichungen des Real- und Imaginärteils normal verteilt und statistisch unabhängig, so weist der Betrag der komplexen Zahl eine Rayleighverteilung auf.

Die Wahrscheinlichkeitsdichte Funktion ist

$f(x|\sigma )={\frac {x\exp \left({\frac {-x^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)}{\sigma ^{2}}}$

und die Charakteristische Funktion:

$\varphi (t)=$

$1\!-\!\sigma te^{-\sigma ^{2}t^{2}/2}{\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\!\left({\textrm {erf}}\!\left({\frac {\sigma t}{\sqrt {2}}}\right)\!-\!i\right)$

wobei $erf(z)$ die komplexe Fehlerfunktion ist.

Die Momenterzeugende Funktion ist gegeben durch:

$M(t)=\,$

$1+\sigma t\,e^{\sigma ^{2}t^{2}/2}{\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\left({\textrm {erf}}\left({\frac {\sigma t}{\sqrt {2}}}\right)\!+\!1\right)$

wobei $erf(z)$ wiederum die Fehlerfunktion ist.

Die Momente beliebiger Ordnung können über folgende Formel errechnet werden:

$\mu _{k}=\sigma ^{k}2^{k/2}\,\Gamma (1+k/2)\,$

wobei $\Gamma (z)$ die Gammafunktion darstellt. Die Momente erster und zweiter Ordnung explizit ausgerechnet sind:

Mittelwert: $\sigma {\sqrt {\frac {\pi }{2}}}$

Varianz: ${\frac {4-\pi }{2}}\sigma ^{2}$

Schiefe: ${\frac {2{\sqrt {\pi }}(\pi -3)}{(4-\pi )^{3/2}}}$

Wölbung: $-{\frac {6\pi ^{2}-24\pi +16}{(4-\pi )^{2}}}$

Parameter Schätzung

Die Maximum-Likelihood Schätzung von $\sigma$ erfolgt über:

$\sigma \approx {\sqrt {{\frac {1}{2N}}\sum _{i=0}^{N}x_{i}^{2}}}$

Verwandte Verteilungen

• $R\sim \mathrm {Rayleigh} (\sigma )$ ist Rayleigh verteilt, wenn $R={\sqrt {X^{2}+Y^{2}}}$ wobei $X\sim N(0,\sigma ^{2})$ and $Y\sim N(0,\sigma ^{2})$ zwei statistisch unabhängige Normalverteilungen sind.

• Wenn $R\sim \mathrm {Rayleigh} (1)$ dann ist $R^{2}$ Chi-Quadrat verteilt mit zwei Freiheitsgraden: $R^{2}\sim \chi _{2}^{2}$

• Wenn $X$ exponentialverteilt ist $X\sim \mathrm {Exponential} (x|\lambda )$ dann ist $Y={\sqrt {2X\sigma \lambda }}\sim \mathrm {Rayleigh} (y|\sigma )$.

• Wenn $R\sim \mathrm {Rayleigh} (\sigma ^{2})$ dann ist $\sum _{i=1}^{N}R_{i}^{2}$ gammaverteilt mit den Parametern $N$ und $2\sigma ^{2}$: $[Y=\sum _{i=1}^{N}R_{i}^{2}]\sim \Gamma (N,2\sigma ^{2})$.

• Die Chi-Verteilung, Weibull-Verteilung und Rice-Verteilung sind Verallgemeinerungen der Rayleighverteilung.

Siehe auch

• Fading (Elektrotechnik)

[Kategorie:Wahrscheinlichkeitsverteilung]]

[en:Rayleigh distribution]] [es:Distribución de Rayleigh]] [it:Variabile casuale di Rayleigh]]