Benutzer:Mathemix/Artikelentwurf/Differentialgeometrie

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• In Polarkoordinaten $(x^{1},x^{2})=(r,\theta )$:

$g={\begin{bmatrix}1&0\\0&r^{2}\end{bmatrix}}$, bzw.

$\mathrm {d} s^{2}=\mathrm {d} r^{2}+r^{2}\mathrm {d} \theta ^{2}$

• In Zylinderkoordinaten $(x^{1},x^{2},x^{3})=(r,\theta ,z)$:

$g={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&r^{2}&0\\0&0&1\end{bmatrix}}$, bzw.

$\mathrm {d} s^{2}=\mathrm {d} r^{2}+r^{2}\mathrm {d} \theta ^{2}+\mathrm {d} z^{2}$

• In Kugelkoordinaten $(x^{1},x^{2},x^{3})=(r,\theta ,\varphi )$:

$g={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&r^{2}&0\\0&0&(r\sin \theta )^{2}\end{bmatrix}}$, bzw.

$\mathrm {d} s^{2}=\mathrm {d} r^{2}+r^{2}\,\mathrm {d} \theta ^{2}+r^{2}\sin ^{2}\theta \;\mathrm {d} \varphi ^{2}$

Aus der Definition der natürlichen Basisvektoren folgt für die Transformation von den Koordinaten $\{u_{i}\}$ nach $\{x_{i}\}$ die einfache Transformationsformel:

${\vec {b}}_{u_{k}}={\frac {\partial {\vec {r}}}{\partial u_{k}}}=\sum _{j}{\frac {\partial x_{j}}{\partial u_{k}}}{\frac {\partial {\vec {r}}}{\partial x_{j}}}=\sum _{j}{\frac {\partial x_{j}}{\partial u_{k}}}{\vec {e}}_{x_{j}}$

Die natürlichen Basisvektoren zeigen ein sehr einfaches Transformationsverhalten. Für die normierten Basisvektoren enthält die Transformationsformel zusätzliche Faktoren $h_{u_{i}}$:

${\vec {b}}_{u_{k}}=\sum _{j}{\frac {\partial x_{j}}{\partial u_{k}}}{\vec {e}}_{x_{j}}\quad \Longrightarrow \quad h_{u_{k}}{\vec {e}}_{u_{k}}=\sum _{j}{\frac {\partial x_{j}}{\partial u_{k}}}{\vec {e}}_{x_{j}}$

zu metrischer Tensor:

Herleitung (metrischer Tensor in Kugelkoordinaten) $\quad \longrightarrow$

---

Die Gleichungen für die Umwandlung von karthesischen Koordinaten in Kugelkoordinaten lauten:

${\begin{array}{cll}x^{1}&=&r\cdot \sin \theta \cdot \cos \varphi \\x^{2}&=&r\cdot \sin \theta \cdot \sin \varphi \\x^{3}&=&r\cdot \cos \theta \end{array}}$

Die Komponenten der lokalen kovarianten Basisvektoren $\textstyle {\vec {b}}_{1},{\vec {b}}_{2}$ und $\textstyle {\vec {b}}_{3}$ ergeben sich durch partielle Differentiation, denn sie verlaufen jeweils tangential zur entsprechenden Koordinatenlinie:

$b_{1}^{1}={\frac {\partial x^{1}}{\partial r}}=\sin \theta \cdot \cos \varphi \quad b_{1}^{2}={\frac {\partial x^{2}}{\partial r}}=\sin \theta \cdot \sin \varphi \quad b_{1}^{3}={\frac {\partial x^{3}}{\partial r}}=\cos \theta$.

Durch partielle Ableitung nach $\textstyle \theta bzw.\varphi$ erhält man entspechend die Komponenten von $\textstyle {\vec {b}}_{2}$ und $\textstyle {\vec {b}}_{3}$. Insgesamt ergeben sich die drei lokalen Basisvektoren:

${\vec {b}}_{1}={\begin{pmatrix}\sin \theta \cdot \cos \varphi \\\sin \theta \cdot \sin \varphi \\\cos \theta \end{pmatrix}}\quad \ vecb_{2}={\begin{pmatrix}r\cdot \cos \theta \cdot \cos \varphi \\r\cdot \sin \theta \cdot \sin \varphi \\-r\cdot \sin \theta \end{pmatrix}}\quad {\vec {b}}_{3}={\begin{pmatrix}-r\cdot \sin \theta \cdot \sin \varphi \\0\end{pmatrix}}$.

Die Komponenten des metrischen Tensors sind die Skalarprodukte dieser lokalen Basisvektoren $\textstyle g_{ij}={\vec {b}}_{i}{\vec {b}}_{j}\quad (i,j\in {1,2,3})$:

$g_{11}=\sin ^{2}\theta \cdot \cos ^{2}\varphi +\sin ^{2}\theta \cdot \sin ^{2}\varphi +\cos ^{2}\theta =\sin ^{2}\theta \cdot (\cos ^{2}\varphi +\sin ^{2}\varphi )+\cos ^{2}\theta =\sin ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta =1$.

$g_{22}=r^{2}\cdot \cos ^{2}\theta \cdot \cos ^{2}\varphi +r^{2}\cdot \cos ^{2}\theta \cdot \sin ^{2}\varphi +r^{2}\cdot \sin ^{2}=r^{2}$

$g_{33}=r^{2}\cdot \sin ^{2}\theta \cdot \sin ^{2}\varphi +r^{2}\cdot \sin ^{2}\theta \cdot \cos ^{2}\varphi =r^{2}\cdot \sin ^{2}\theta$

$\textstyle g_{ij}=0\quad (i,j\in {1,2,3},iungleichj)$.

Differentialgeometrie

Grieser-Skript

I.1. Grundbegriffe Mathematische Beschreibung von Kurven ist auf unterschiedliche Weise möglich: B als Funktionsgraphen - das ist zu eingeschränkt, nur lokal möglich. B mittels einer Parametrisierung - das hat den Schönheitsfehler, dass es viele Parametrisierungen gibt. Es wird “ausgezeichnete” Parametriesierungen geben, die nach Bogenlänge. Zunächst wollen wir aber ein paar Grundbegriffe einführen. I.1.1 Definition a) Eine parametrisierte Kurve ist eine glatte Abbildung c : I ! Rn, wobei I � R ein Intervall ist. Glatt heißt dabei unendlich oft differenzierbar (C¥). b) c heißt regulär, wenn für alle t 2 I gilt c˙(t) := dc(t) dt 6= 0. c˙ ist der Tangentialvektor an der Kurve c bei t. Bei dieser Definition können wir uns oft t = Zeit vorstellen, da in vielen Anwendungen einem bestimmten Zeitpunkt ein Wert oder eine lokale Koordinate zugeordnet wird. Beispiele: a) c(t) = (t, 2t) = (x(t), y(t)) ist eine Gerade durch den Ursprung mit Steigung 2, da gilt y(t) = 2x(t). Eine allgemeine Gerade durch den Punkt c0 mit Richtungsvektor v hat die Form c(t) = c0 + v � t. Es gilt c˙(t) = v, also ist c regulär genau dann, wenn v 6= 0 ist. b) c(t) = (cos t, sin t) beschreibt einen Kreis mit Radius 1. Sie ist regulär, da c˙ = (􀀀sin t, cos t) für kein t in beiden Koordinaten gleichzeitig null werden kann. Dabei werden die Kurven mit I = R oder I = [0, 2p] als unterschiedliche Kurven betrachtet, obwohl sie dasselbe Bild haben. 1 2 I. Kurven im Rn c) c(t) = (t2, t3) beschreibt die sogenannte Neilsche Parabel. Es gilt y(t) = 8<

x(t)3/2 falls t � 0 􀀀x(t)3/2 falls t � 0. Beachte: Das Bild von c hat eine Spitze bei t = 0. Es gilt c˙ = (2t, 3t2) = 0 für t = 0, also ist c in diesem Punkt nicht regulär. d) Eine parametrisierte Kurve kann sich selber schneiden, so dass c(t0) = c(t1) gilt. Dabei ist aber im Allgemeinen nicht c˙(t0) = c˙(t1), die Tangentialvektoren zeigen in verschiedene Richtungen. Wir interessieren uns oft nur für das Bild einer parametrisierten Kurve, aber wie am Beispiel des Kreises gesehen können viele parametrisierte Kurven das gleiche Bild haben. Allerdings können sie oft ineinander überführt werden. I.1.2 Definition Sei c : I ! Rn eine parametrisierte Kurve. Eine Umparametrisierung von c ist dann eine Kurve ec : J ! Rn der Form ec = c � j, wobei j : J ! I eine bijektive Abbildung ist und j, j􀀀1 glatt sind. Ein solches j heißt Parametertransformation. Beispiel: Sei j(t) = 2t. Dann ist für eine Kurve c die Umparametrisierung ec mit ec(t0) = c(2t0) dieselbe