Benutzer:Mathemix/Artikelentwurf

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Quellen: van der Waerden, Algebra I, Springer-Verlag

Gleichungssysteme

${\begin{matrix}3x_{1}&+&2x_{2}&-&x_{3}&=&1\\2x_{1}&-&2x_{2}&+&4x_{3}&=&-2\\-x_{1}&+&{1 \over 2}x_{2}&-&x_{3}&=&0\end{matrix}}$

${\begin{matrix}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}\,+&\cdots &+\,a_{1n}x_{n}&=&b_{1}\\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}\,+&\cdots &+\,a_{2n}x_{n}&=&b_{2}\\&&&\vdots &\\a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}\,+&\cdots &+\,a_{mn}x_{n}&=&b_{m}\\\end{matrix}}$

Index / Potenz

$x_{1}$

p₁

$\left(x^{2}-5\right)^{2}-24$

Integrale

2D:

$\int _{0}^{R}\int _{0}^{2\pi }r\mathrm {d} \phi _{1}\mathrm {d} r=\pi R^{2}$

3D:

$\int _{0}^{R}\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\pi }r^{2}\sin(\phi _{1}){\text{d}}\phi _{1}{\text{d}}\phi _{2}{\text{d}}r={\frac {4\pi R^{3}}{3}}$

4D:

$\int _{0}^{R}\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\pi }\int _{0}^{\pi }r^{3}\sin ^{2}(\phi _{1})\sin(\phi _{2}){\text{d}}\phi _{1}{\text{d}}\phi _{2}{\text{d}}\phi _{3}{\text{d}}r={\frac {\pi ^{2}R^{4}}{2}}$

Literatur

• Vaughan F. R. Jones: A polynomial invariant for knots via von Neumann algebras. In: Hyman Bass, Meyer Jerison, Calvin C. Moore (Hrsg.): Bulletin of the American Mathematical Society (New Series). Vol. 12, Nr. 1. American Mathematical Society, 1985, ISSN 0273-0979, S. 103–111, doi:10.1090/S0273-0979-1985-15304-2 (ams.org [PDF; abgerufen am 2. Dezember 2012]). 

Mengen

$\textstyle \mathbb {Q}$

$\textstyle \mathbb {Q} ({\sqrt {2}})=\{a+b{\sqrt {2}}\mid a,b\in \mathbb {Q} \}$

{$\textstyle 1,{\sqrt {2}}$}

$\mathbb {Q} ({\sqrt {2}},{\sqrt {3}})=\{a+b{\sqrt {2}}+c{\sqrt {3}}+d{\sqrt {6}}\mid a,b,c,d\in \mathbb {Q} \}$

{$\textstyle 1,{\sqrt {2}},{\sqrt {3}},{\sqrt {6}}$}

Wurzeln

$5\pm 2{\sqrt {6}}=({\sqrt {2}}\pm {\sqrt {3}})^{2}$

$x_{1}={\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}$,

Brüche

${\sqrt {2}}={\tfrac {1}{2}}(x_{1}^{3}-9x_{1})$ und ${\sqrt {3}}=-{\tfrac {1}{2}}(x_{1}^{3}-11x_{1})$.

${\frac {1}{a+b{\sqrt {2}}}}={\frac {(a-b{\sqrt {2}})}{(a+b{\sqrt {2}})\cdot (a-b{\sqrt {2}})}}={\frac {(a-b{\sqrt {2}})}{(a^{2}-2b^{2})}}={\frac {a}{(a^{2}-2b^{2})}}+{\frac {-b}{(a^{2}-2b^{2})}}{\sqrt {2}}$

Schriftformate

'kursiv' (???) Beispiel (???) fett

Tabelle

$\left(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}\right)\mapsto ...$

Nr.	Permutation	Nr.	Permutation	Nr.	Permutation	Nr.	Permutation
1	$\left(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}\right)$	7	$\left(x_{2},x_{1},x_{3},x_{4}\right)$	13	$\left(x_{3},x_{1},x_{2},x_{4}\right)$	19	$\left(x_{4},x_{1},x_{2},x_{3}\right)$
2	$\left(x_{1},x_{2},x_{4},x_{3}\right)$	8	$\left(x_{2},x_{1},x_{4},x_{3}\right)$	14	$\left(x_{3},x_{1},x_{4},x_{2}\right)$	20	$\left(x_{4},x_{1},x_{3},x_{2}\right)$
3	$\left(x_{1},x_{3},x_{2},x_{4}\right)$	9	$\left(x_{2},x_{3},x_{1},x_{4}\right)$	15	$\left(x_{3},x_{2},x_{1},x_{4}\right)$	21	$\left(x_{4},x_{2},x_{1},x_{3}\right)$
4	$\left(x_{1},x_{3},x_{4},x_{2}\right)$	10	$\left(x_{2},x_{3},x_{4},x_{1}\right)$	16	$\left(x_{3},x_{2},x_{4},x_{1}\right)$	22	$\left(x_{4},x_{2},x_{3},x_{1}\right)$
5	$\left(x_{1},x_{4},x_{2},x_{3}\right)$	11	$\left(x_{2},x_{4},x_{1},x_{3}\right)$	17	$\left(x_{3},x_{4},x_{1},x_{2}\right)$	23	$\left(x_{4},x_{3},x_{1},x_{2}\right)$
6	$\left(x_{1},x_{4},x_{3},x_{2}\right)$	12	$\left(x_{2},x_{4},x_{3},x_{1}\right)$	18	$\left(x_{3},x_{4},x_{2},x_{1}\right)$	24	$\left(x_{4},x_{3},x_{2},x_{1}\right)$

Überschrift 1

Überschrift 2

Überschrift 3

Ohne Textstyle: {$1,{\sqrt {2}}$} Mit Textstyle: {$\textstyle 1,{\sqrt {2}}$}

Vektoren

${\vec {n}}_{i}\cdot {\vec {x}}=b_{i}$

${\vec {n}}_{i}={\begin{pmatrix}a_{i1}\\a_{i2}\\\vdots \\a_{in}\end{pmatrix}}\qquad$

${\begin{pmatrix}2\\-1\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{pmatrix}}=4$ und Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} = == Zwischenräume == :<math>\sigma_1:\left(x_1,x_2,x_3,x_4\right)\mapsto\left(x_1,x_2,x_3,x_4\right)}

$\sigma _{2}:\left(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}\right)\mapsto \left(x_{2},x_{1},x_{4},x_{3}\right)$

• $\textstyle \mathbb {Q} ({\sqrt {2}},{\sqrt {3}})$

$p_{1}(x_{1})=x_{1},\quad p_{2}(x_{1})=x_{2},\quad p_{3}(x_{1})=x_{3},\quad p_{4}(x_{1})=x_{4},\quad \Longrightarrow \quad \sigma _{1}:\left(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}\right)\mapsto \left(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}\right)$

griechische Buchstaben

$p_{1}(x_{1})=x_{1},\quad p_{2}(x_{1})=x_{2},\quad p_{3}(x_{1})=x_{3},\quad p_{4}(x_{1})=x_{4},\quad \Longrightarrow \quad \sigma _{1}:\left(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}\right)\mapsto \left(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}\right)$,

Links

Beispiel zum Satz vom primitiven Element

Galois-Resolvente

→ Hauptartikel: Fundamentalbereich

Klappbox

Nachweis der Stetigkeit der Funktion $f(x)=2x+3$ an der Stelle $x_{0}$

---

Seien $x,x_{0}\in \mathbb {R}$ und $\varepsilon \in \mathbb {R}$ mit

$\varepsilon >0$.

Es ist

$|f(x)-f(x_{0})|=|(2x+3)-(2x_{0}+3)|=|2x-2x_{0}|=2|x-x_{0}|$.

Damit dies kleiner als die vorgegebene Zahl $\varepsilon$ ist, kann z.B.

$\delta (\varepsilon )={\tfrac {1}{2}}\varepsilon$

gewählt werden. Denn aus

$|x-x_{0}|<\delta ={\tfrac {1}{2}}\varepsilon$

folgt dann nämlich

$|f(x)-f(x_{0})|=2|x-x_{0}|<2\cdot {\tfrac {1}{2}}\varepsilon =\varepsilon$.

Bemerkungen:

• Da die Funktion $f$ an jeder Stelle $x_{0}\in \mathbb {R}$ stetig ist, ist $f$ somit auf ganz $\mathbb {R}$ stetig.
• Weil $\delta$ lediglich von $\varepsilon$, nicht aber von der Stelle $x_{0}\in \mathbb {R}$ abhängt, ist $f$ sogar auf ganz $\mathbb {R}$ gleichmäßig stetig.

Herleitung

Mithilfe der Formel von Moivre-Binet lässt sich eine einfach Herleitung angeben. Denn für die Zahlen $\Phi ,\Psi$ der genannten Formel und natürliche $n>0$ gilt: $-\Phi <0<-\Psi \qquad |\cdot \Psi ^{2n}>0$ $-\Phi \Psi ^{2n}<-\Psi ^{2n+1}\qquad |+\Phi ^{2n+1}$ $\Phi ^{2n+1}-\Phi \Psi ^{2n}=\Phi (\Phi ^{2n}-\Psi ^{2n})<\Phi ^{2n+1}-\Psi ^{2n+1}\qquad |:(\Phi ^{2n}-\Psi ^{2n})>0\quad$(1) $\Phi <{\frac {\Phi ^{2n+1}-\Psi ^{2n+1}}{\Phi ^{2n}-\Psi ^{2n}}}={\frac {f_{2n+1}}{f_{2n}}}$, da im Doppelbruch der Darstellung der Folgeglieder mit Moivre-Binet der gemeinsame Nenner $\Phi -\Psi$ verschwindet. – Entsprechend: $-\Phi <0<-\Psi \qquad |\cdot \Psi ^{2n-1}<0$ $-\Phi \Psi ^{2n-1}>-\Psi ^{2n}\qquad |+\Phi ^{2n}$ $\Phi ^{2n}-\Phi \Psi ^{2n-1}=\Phi (\Phi ^{2n-1}-\Psi ^{2n-1})>\Phi ^{2n}-\Psi ^{2n}\qquad |:(\Phi ^{2n-1}-\Psi ^{2n-1})>0$ $\Phi >{\frac {\Phi ^{2n}-\Psi ^{2n}}{\Phi ^{2n-1}-\Psi ^{2n-1}}}={\frac {f_{2n}}{f_{2n-1}}}\quad$ (2) Die Ungleichungen (1) und (2) ergeben zusammen die Behauptung.

Sonstiges

$\left(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}\right)\mapsto \left(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}\right)$

$p_{1}(x_{1})=x_{1},\quad p_{2}(x_{1})=x_{2},\quad p_{3}(x_{1})=x_{3},\quad p_{4}(x_{1})=x_{4},\quad \Longrightarrow \quad \sigma _{1}:\left(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}\right)\mapsto \left(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}\right)$,

$\operatorname {id}$

Musik

Die Version von LilyPond konnte nicht ermittelt werden:

sh: /usr/bin/lilypond: No such file or directory

Quelle: Wikiversity, Prof. Brenner:Kurs Galoistheorie, Beispiel 17.8 , https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:K%C3%B6rper-_und_Galoistheorie_(Osnabr%C3%BCck_2018-2019)/Vorlesung_17