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zu Formelsammlung Analysis

Siehe auch

• Formelsammlung Analysis

zum Artikel Kugelkoordinaten: Größe der Überschrift beachten !!!!!!!!!!!!!!!!!!

Koordinatenlinien und Koordinatenflächen

Aus der Koordinatentransformation als Vektorgleichung mit dem Ortsvektor ${\vec {r}}$

${\vec {r}}={\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}r\sin \theta \cos \varphi \\r\sin \theta \sin \varphi \\r\cos \theta \end{pmatrix}}$

ergeben sich

• die Koordinatenlinien, indem man jeweils zwei der drei Koordinaten $(r,\theta ,\varphi )$ fest lässt und die dritte den Kurvenparameter darstellt
• die Koordinatenflächen, indem man eine der drei Koordinaten $(r,\theta ,\varphi )$ fest lässt und die beiden anderen die Fläche parametrisieren.

Für Kugelkoordinaten sind die Koordinatenlinien durch den Punkt $(r_{0}\mid \theta _{0}\mid \varphi _{0})$

• für den Parameter $r$ eine Halbgerade, die im Koordinatenursprung beginnt
• für den Parameter $\theta$ ein Halbkreis ("Meridian") mit dem Koordinatenursprung als Mittelpunkt und Radius $r_{0}$
• für den Parameter $\varphi$ ein Kreis ("Breitenkreis") mit Radius $r_{0}\sin \theta _{0}$ senkrecht zur z-Achse.

Als Koordinatenfläche durch den Punkt $(r_{0}\mid \theta _{0}\mid \varphi _{0})$ ergibt sich

• für konstanten Radius $r_{0}$ eine Kugelfläche mit dem Koordinatenursprung als Mittelpunkt
• für festen Winkel $\theta _{0}$ eine Kegeloberfläche mit der Spitze im Ursprung und der Polachse als Kegelachse, die für $\theta _{0}=0$ zu einer Ebene durch den "Äquator" entartet
• für konstanten Wert von $\varphi _{0}$ eine Halbebene mit der Polachse als Rand.

Zwei unterschiedliche Koordinatenflächen durch einen Punkt schneiden sich in einer Koordinatenlinie. Koordinatenlinien und Koordinatenflächen dienen dazu, die lokalen Basisvektoren zu berechnen. In der Tensorrechnung unterscheidet man wegen ihres unterschiedlichen Verhaltens bei Koordinatentransformationen zwischen kovarinaten und kontravarianten Basisvektoren:

• die kovarianten Basisvektoren an einem Punkt sind jeweils tangential zu den Koordinatenlinien gerichtet
• die kontravarianten Basisvektoren an einem Punkt stehen jeweils senkrecht auf den Koordinatenflächen.

Ergänzung: Koordinatenlinien und Koordinatenflächen; Quelle: Werner: Vektoren und Tensoren als universelle Sprache in Physik und Technik, Band 1

Literatur

• W. Werner: Vektoren und Tensoren als universelle Sprache in Physik und Technik. Band 1. Springer Vieweg, ISBN 978-3-658-25271-7. 

Lokale Basisvektoren und Orthogonalität

In geradlinigen Koordinatensystemen gibt es eine Basis für den gesamten Vektorraum, in krummlinigen muss an jedem Punkt eine lokale Basis berechnet werden. Die lokalen Basisvektoren $\textstyle {\vec {b}}_{1}$, $\textstyle {\vec {b}}_{2}$ und $\textstyle {\vec {b}}_{3}$ an einem Punkt sind Tangentenvektoren an die Koordinatenlinien und ergeben sich aus deren Kurvengleichungen durch Ableitung nach dem Kurvenparameter. Zum selben Ergebnis gelangt man auch durch partielle Ableitung der Koordinatentransformation für den Ortsvektor ${\vec {r}}$ nach den Koordinaten $\rho$, $\varphi$ und $z$:

${\vec {b}}_{1}={\frac {\partial {\vec {r}}}{\partial \rho }}={\begin{pmatrix}\cos \varphi \\\sin \varphi \\0\end{pmatrix}}\quad$, $\quad {\vec {b}}_{2}={\frac {\partial {\vec {r}}}{\partial \varphi }}={\begin{pmatrix}-\rho \sin \varphi \\\rho \cos \varphi \\0\end{pmatrix}}$ und $\quad {\vec {b}}_{3}={\frac {\partial {\vec {r}}}{\partial z}}={\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}$.

${\vec {b}}_{1}={\frac {\partial {\vec {r}}}{\partial r}}={\begin{pmatrix}\sin \theta \cos \varphi \\\sin \theta \sin \varphi \\\cos \theta \end{pmatrix}},\quad {\vec {b}}_{2}={\frac {\partial {\vec {r}}}{\partial \theta }}={\begin{pmatrix}r\cos \theta \cos \varphi \\r\cos \theta \sin \varphi \\-r\sin \theta \end{pmatrix}},\quad {\vec {b}}_{3}={\frac {\partial {\vec {r}}}{\partial \varphi }}={\begin{pmatrix}-r\sin \theta \sin \varphi \\r\sin \theta \cos \varphi \\0\end{pmatrix}}$.

Die Basisvektoren haben die Längen

$|{\vec {b}}_{1}|={\sqrt {{\vec {b}}_{1}{\vec {b}}_{1}}}=1\quad$, $\quad |{\vec {b}}_{2}|={\sqrt {{\vec {b}}_{2}{\vec {b}}_{2}}}=\rho$, $\quad |{\vec {b}}_{3}|={\sqrt {{\vec {b}}_{3}{\vec {b}}_{3}}}=1$

und sind zueinander orthogonal. Eine Normierung ergibt die Einheitsvektoren:

${\vec {e}}_{\rho }={\frac {\frac {\partial {\vec {r}}}{\partial \rho }}{\left|{\frac {\partial {\vec {r}}}{\partial \rho }}\right|}}={\begin{pmatrix}\cos \varphi \\\sin \varphi \\0\end{pmatrix}},\quad {\vec {e}}_{\varphi }={\frac {\frac {\partial {\vec {r}}}{\partial \varphi }}{\left|{\frac {\partial {\vec {r}}}{\partial \varphi }}\right|}}={\begin{pmatrix}-\sin \varphi \\\cos \varphi \\0\end{pmatrix}},\quad {\vec {e}}_{z}={\frac {\frac {\partial {\vec {r}}}{\partial z}}{\left|{\frac {\partial {\vec {r}}}{\partial z}}\right|}}={\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}.$

Die Basisvektoren ${\vec {e}}_{\rho }$, ${\vec {e}}_{\varphi }$ und ${\vec {e}}_{z}$ sind zueinander orthonormal und bilden in dieser Reihenfolge ein Rechtssystem.

In der Tensorrechnung werden die lokalen Basisvektoren, die tangential zu den Koordinatenlinien verlaufen, wegen ihres Verhaltens bei Koordinatentransformationen als kovariant bezeichnet. Die kontravarianten Basisvektoren stehen senkrecht auf den Koordinatenflächen.

nicht normierte Basisvektoren (für metrischen Tensor); kovariant/kontravariant; Quelle: Werner: Vektoren und Tensoren als universelle Sprache in Physik und Technik, Band 1

Metrischer Tensor

Die Komponenten des kovarianten metrischen Tensors $g=(g_{ij})$ sind die Skalarprodukte der kovarianten lokalen Basisvektoren:

$g_{ij}={\vec {b}}_{i}{\vec {b}}_{j}\quad (i,j\in \{1,2,3\})$.

Nach den vorangegangenen Rechnungen ist damit

$g={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&\rho ^{2}&0\\0&0&1\end{pmatrix}}$.

metrischer Tensor; Quelle: Werner: Vektoren und Tensoren als universelle Sprache in Physik und Technik, Band 1

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Artikel Koordinatenfläche:

Koordinatenflächen sind Flächen in einem Koordinatensystem, die entstehen, wenn an einem Punkt eine Koordinate konstant gehalten wird und die übrigen variabel bleiben. In krummlinigen Koordinatensystemen stehen die lokalen Basisvektoren senkrecht auf den Koordinatenflächen und können auf Grund dieser Eigenschaft berechnet werden. Stehen diese Basisvektoren paarweise aufeinander senkrecht, so handelt es sich um ein orthogonales Koordinatensystem.

Definition mit kartesischen Koordinaten im dreidimensionalen Raum

Sei $(x_{0}\mid y_{0}\mid z_{0})$ ein Punkt des $\mathbb {R} ^{3}$. Die Koordinatenflächen durch diesen Punkt sind die drei Ebenen

$K_{1}(x,y)={\begin{pmatrix}x\\y\\z_{0}\end{pmatrix}},x,y\in \mathbb {R} ,\quad K_{2}(x,z)={\begin{pmatrix}x\\y_{0}\\z\end{pmatrix}},x,z\in \mathbb {R} ,\quad K_{3}(y,z)={\begin{pmatrix}x_{0}\\y\\z\end{pmatrix}},y,z\in \mathbb {R}$.

Das bedeutet: eine der drei Koordinaten ist konstant und die beiden anderen parametrisieren die Fläche .

Bemerkungen

• In zweidimensionalen Räumen sind die Koordinatenflächen mit den Koordinatenlinien identisch.
• Die Definition der Koordinatenflächen kann in entsprechender Weise - eine Koordinate bleibt jeweils konstant - auf andere Koordinatensysteme und Räume höherer Dimension sowie auf Mannigfaltigkeiten verallgemeinert werden. Die Koordinatenflächen sind stets Hyperflächen des Raumes bzw. der Mannigfaltigkeit.
• Krummlinige Koordinaten gehen aus den kartesischen Koordinaten durch eine umkehrbar eindeutige Koordinatentransformation hervor. Dabei können allerdings Koordinatensingularitäten auftreten, d.h. es gibt singuläre Punkte, die in krummlinigen Koordinaten nicht eindeutig darstellbar sind. An diesen Punkten ist die entsprechende Funktionaldeterminante gleich null.
• Zwei Koordinatenflächen an einem Punkt schneiden sich in einer Koordinatenlinie.

Koordinatenflächen in speziellen Koordinatensystemen

• Geradlinige Koordinatensysteme:

In kartesischen Koordinatensystemen und affinen Koordinatensystemen sind alle Koordinatenflächen Ebenen, die parallel zu den Koordinatenebenen liegen.

• Krummlinige Koordinatensysteme

• Zylinderkoordinaten mit Koordinaten $(r,\varphi ,z)$

Für Punkte auf der z-Achse gibt es keine eindeutige Koordinatendarstellung: hier ist $r=0$, aber $\varphi$ beliebig.

Als Koordinatenfläche durch den Punkt $(r_{0}\mid \varphi _{0}\mid z_{0})$ ergibt sich

- für konstanten Radius $r_{0}$ eine Zylinderfläche mit der z-Achse als Zylinderachse

- für festen Winkel $\varphi$ eine Halbebene mit der z-Achse als Rand

- für konstanten Wert von $z_{0}$ eine Ebene senkrecht zur z-Achse

• Kugelkoordinaten mit Koordinaten $(r,\theta ,\varphi )$

Für Punkte auf der Polachse gibt es keine eindeutige Koordinatendarstellung: hier ist $\theta =0$, aber $\varphi$ beliebig.

Als Koordinatenfläche durch den Punkt $(r_{0}\mid \theta _{0}\mid \varphi _{0})$ ergibt sich

- für konstanten Radius $r_{0}$ eine Kugelfläche mit dem Koordinatenursprung als Mittelpunkt

- für festen Winkel $\theta$ eine Kegelfläche mit der Polachse $(\theta =0)$ als Kegelachse

- für konstanten Wert von $\varphi$ eine Halbebene mit der Polachse als Rand.

Lokale Basisvektoren

In geradlinigen Koordinatensystemen gibt es eine Basis für den gesamten Vektorraum, in krummlinigen muss an jedem Punkt eine lokale Basis berechnet werden. In der Tensorrechnung unterscheidet man wegen ihres unerschiedlichen Verhaltens bei Koordinatentransformationen zwischen kovarianten und kontravarianten Basisvektoren. Die kovarianten Basisvektoren sind tangential zu den Koordinatenlinien gerichtet: siehe Beispielrechnung für Kugelkoordinaten.Die kontravarianten lokalen Basisvektoren stehen senkrecht auf den Koordinatenflächen und können durch Bildung des Gradienten berechnet werden. Mit Hilfe des Skalarproduktes kann der Winkel zwischen ihnen bestimmt werden. Die Polar-, Zylinder- und Kugelkoordinaten erweisen sich dabei als orthogonale Koordinatensysteme. Mit Hilfe der lokalen Basisvektoren lassen sich außerdem der metrische Tensor sowie das Linien-, Flächen- und Volumeneleminzelheitenent für die Integralrechnung bestimmen.

Beispiel (Zylinderkoordinaten)

Die Koordinatentransformation von Zylinderkoordinaten $(r,\varphi ,z)$ zu kartesischen Koordinaten $(x,y,z)$ lautet in etwas vereinfachter Form (Details: siehe Zylinderkoordinaten):

$r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}$

$\varphi =\arctan {\frac {y}{x}}$

$z=z$.

Die lokalen kovarianten Basisvektoren $\textstyle {\vec {b}}^{1},{\vec {b}}^{2}$ und $\textstyle {\vec {b}}^{3}$ an einem Punkt werden in der Tensorschreibweise mit einem oben stehenden Index versehen und stehen senkrecht auf den Koordinatenflächen. Rechnerisch ergeben sie sich als Gradienten der drei Funktionen der Koordinatentransformation, denn der Gradient steht stets senkrecht auf den Niveauflächen ( r = konst., \varphi = konst., z = konst. ) und zeigt in Richtung des stärksten Anstieges:

${\vec {b}}^{1}={\begin{pmatrix}{\frac {\partial r}{\partial x}}\\{\frac {\partial r}{\partial y}}\\{\frac {\partial r}{\partial z}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\cos \varphi \\\sin \varphi \\0\end{pmatrix}},\quad {\vec {b}}^{1}={\begin{pmatrix}{\frac {\partial \varphi }{\partial x}}\\{\frac {\partial \varphi }{\partial y}}\\{\frac {\partial \varphi }{\partial z}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\ -r\sin \varphi \\r\cos \varphi \\0\end{pmatrix}},\quad {\vec {b}}^{1}={\begin{pmatrix}{\frac {\partial z}{\partial x}}\\{\frac {\partial z}{\partial y}}\\{\frac {\partial z}{\partial z}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}$

an den entsprechenden Punkten.

Die Basisvektoren haben die Längen

$|{\vec {b}}^{1}|={\sqrt {{\vec {b}}^{1}{\vec {b}}^{1}}}=1,\quad |{\vec {b}}^{2}|={\sqrt {{\vec {b}}^{2}{\vec {b}}^{2}}}=r,\quad |{\vec {b}}^{3}|={\sqrt {{\vec {b}}^{3}{\vec {b}}^{3}}}=1$

und sind paarweise zueinander orthogonal, denn es gilt:

${\vec {b}}^{i}{\vec {b}}^{j}=0\quad (i,j\in \{1,2,3\},i\neq j)$.

Die Zylinderkoordinaten bilden somit ein orthogonales Koordinatensystem.

Siehe auch

• Kovariante Basis bei krummlinigen Koordinaten
• Kontravariante Basis bei krummlinigen Koordinaten
• Funktionaldeterminante

Literatur

• K. Endl / W. Luh: Analysis. Band 1. Akademische Verlagsgesellschaft, 1972, ISBN 3-400-00185-6. 

• K. Endl / W. Luh: Analysis. Band 2. Akademische Verlagsgesellschaft, 1973, ISBN 3-400-00206-2. 

• K. Endl / W. Luh: Analysis. Band 3. Akademische Verlagsgesellschaft, 1974, ISBN 3-400-00236-4. 

• W. Werner: Vektoren und Tensoren als universelle Sprache in Physik und Technik. Band 1. Springer Vieweg, ISBN 978-3-658-25271-7. 

Kategorie !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

Koordinatenflächen für kartesische und krummlinige Koordinaten, lokale kontravariante Basisvektoren mit Beispiel, Querverbindungen, Literatur

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E R L E D I G T :

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Zum Artikel Funktionaldeterminante

Anschauliche Deutung in drei Dimensionen

Der Betrag der Funktionaldeterminante lässt sich anschaulich deuten als Spatprodukt der (lokalen) Basisvektoren. Diese Basisvektoren sind Tangentenvektoren an die Koordinatenlinien und werden aus der Koordinatentransformation durch partielle Ableitung nach den neuen Koordinaten berechnet. Somit bilden die Komponenten eines Basisvektors jeweils eine Spalte der Funktionaldeterminante.

Anschauliche Deutung der Funktionaldeterminante als Spatprodukt der Basisvektoren; Quelle: Endl / Luh: Analysis I und II

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Zum Artikel Volumenform

Der Betrag der Funktionaldeterminante lässt sich anschaulich deuten als Spatprodukt der (lokalen) Basisvektoren. Diese Basisvektoren sind Tangentenvektoren an die Koordinatenlinien und werden aus der Koordinatentransformation durch partielle Ableitung nach den neuen Koordinaten berechnet. Somit bilden die Komponenten eines Basisvektors jeweils eine Spalte der Funktionaldeterminante. Siehe: Herleitung des Volumenelementes für Kugelkoordinaten.

Anschauliche Deutung der Funktionaldeterminante mit Link zum Spatprodukt; Quelle: Endl / Luh: Analysis I und II

Zum Artikel Zylinder: === Zylinderkoordinaten ===  !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! nicht veröffentlicht, da im Artikel erwähnt !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!11

→ Hauptartikel: Zylinderkoordinaten

Durch die Koordinatentransformation

$x=r\cdot \cos \varphi$

$y=r\cdot \sin \varphi$

$z=z$

$(mitr\in [0,\infty [,\varphi \in [0,2\pi [,z\in \mathbb {R} )$

wechselt man von kartesischen Koordinaten zu Zylinderkoordinaten. Ddurch können sich Rechnungen bei Problemen mit Rotationssymmetrie erheblich vereinfachen. Zum Beispiel werden Punkte auf einer Zylinderfläche mit Radius $r$ und der z-Achse als Zylinderachse lediglich durch zwei Variablen parametrisiert.

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Zum Artikel

Zum Artikel Spatprodukt Schriftgr. beachten !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

Volumenelement der Integralrechnung

Das Volumenelement $\mathrm {d} V$des Volumenintegrals hängt vom verwendeten Koordinatensystem ab. In kartesischen Koordinaten ist es

$\mathrm {d} V=\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} z$.

In anderen Koordinatensystemen mit Koordinaten ${x',y',z'}$ muss es mit Hilfe des Spatproduktes der (lokalen) Basisvektoren berechnet werden. Die Basisvektoren $\textstyle {\vec {b}}_{1},{\vec {b}}_{2}$ und $\textstyle {\vec {b}}_{3}$ an einem Punkt sind Tangentenvektoren an die Koordinatenlinien und ergeben sich aus der Koordinatentransformation

${\vec {r}}={\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x(x',y',z')\\y(x',y',z')\\z(x',y',z')\end{pmatrix}}$

durch partielle Ableitungen nach den Koordinaten ${x',y',z'}$:

${\vec {b}}_{1}={\frac {\partial {\vec {r}}}{\partial x'}},\quad {\vec {b}}_{2}={\frac {\partial {\vec {r}}}{\partial y'}},\quad {\vec {b}}_{3}={\frac {\partial {\vec {r}}}{\partial z'}}$.

Die Komponenten eines Basisvektors bilden jeweils eine Spalte der Jacobi-Matrix. Somit ist das Spatprodukt dieser drei Basisvektoren durch den Betrag der Funktionaldeterminante gegeben.

Nach dem Transformationssatz gilt dann für das Volumenelement:

$\mathrm {d} V'=\left|\det {\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (x',y',z')}}\right|\,\mathrm {d} x'\,\mathrm {d} y'\,\mathrm {d} z'$.

Beispiel (für Kugelkoordinaten)

Die Koordinatentransformation für die Kugelkoordinaten

${\vec {r}}={\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}r\sin \theta \cos \varphi \\r\sin \theta \sin \varphi \\r\cos \theta \end{pmatrix}}$

führt zu den lokalen Basisvektoren

${\vec {b}}_{1}={\frac {\partial {\vec {r}}}{\partial r}}={\begin{pmatrix}\sin \theta \cos \varphi \\\sin \theta \sin \varphi \\\cos \theta \end{pmatrix}},\quad {\vec {b}}_{2}={\frac {\partial {\vec {r}}}{\partial \theta }}={\begin{pmatrix}r\cos \theta \cos \varphi \\r\cos \theta \sin \varphi \\-r\sin \theta \end{pmatrix}},\quad {\vec {b}}_{3}={\frac {\partial {\vec {r}}}{\partial \varphi }}={\begin{pmatrix}-r\sin \theta \sin \varphi \\r\sin \theta \cos \varphi \\0\end{pmatrix}}$

an den entsprechenden Punkten. Die Funktionaldeterminante lautet also:

$\det {\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (r,\theta ,\varphi )}}=\det {\begin{pmatrix}\sin \theta \cos \varphi &r\cos \theta \cos \varphi &-r\sin \theta \sin \varphi \\\sin \theta \sin \varphi &r\cos \theta \sin \varphi &r\sin \theta \cos \varphi \\\cos \theta &-r\sin \theta &0\end{pmatrix}}=r^{2}\sin \theta .$

Folglich ergibt sich für das Volumenelement $\mathrm {d} V$:

$\mathrm {d} V=\left|\det {\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (r,\theta ,\varphi )}}\right|\,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \varphi =r^{2}\sin \theta \,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \varphi .$

Berechnung des Volumenelements als Spatprodukt der Basisvektoren mit Beispiel; Quelle: Endl / Luh, Analysis I und II

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Zum Artikel Differentiale

Spezielle Differentiale

Im Zusammenhang mit den folgenden Integralen hat das jeweilige Differential eine besondere Bezeichnung und auch Bedeutung:

• Linienelement beim Kurvenintegral
• Oberflächenelement (skalar und vektoriell) beim Oberflächenintegral
• Volumenelement beim Volumenintegral.

Die Differentiale hängen dabei vom verwendeten Koordinatensystem ab.

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Artikel Epsilontik: Absatz "Bearbeiten" entfernen Graphik einbauen

Die Epsilontik ist ein Begriff aus der Analysis. Sie wird verwendet, um Begriffe wie Grenzwert oder Stetigkeit mathematisch exakt zu formulieren. Die Bezeichnung leitet sich von dem griechischen Buchstaben Epsilon $(\varepsilon )$ ab, der für eine (kleine) positive reelle Zahl steht. Zentraler Begriff in der Epsilontik ist die $\varepsilon$-Umgebung, also das offene Intervall $]a-\varepsilon ,a+\varepsilon [$ um eine reelle Zahl a.

Anwendungen

Die Epsilontik wird zum Beispiel bei den folgenden Definitionen verwendet:

• Konvergenz einer Zahlenfolge gegen einen Grenzwert
• Cauchy-Folge
• Grenzwert von Funktionen
• Stetigkeit und gleichmäßige Stetigkeit einer Funktion

Historisches

Die Epsilontik geht auf Karl Weierstraß zurück, der erstmals die $\varepsilon$-Umgebungen zur Definition des Grenzwerts eingeführt hat. Hatte man vorher intuitiv mit Bewegungsvorstellungen argumentiert - "strebt gegen" oder "wird beliebig klein" - so stellte nun die Epsilontik den Grenzwertbegriff auf ein stabiles mathematisches Fundament, das exakte Definitionen und Beweisführungen ermöglicht. Dies war ein wichtiger Beitrag für die gesamte Analysis, für die der Grenzwertbegriff von zentraler Bedeutung ist.

Beispiel

Das Vorgehen mit Hilfe der Epsilontik soll am Beispiel der Definition für die Konvergenz einer Zahlenfolge und einem entsprechenden Beweis für eine konkrete Folge gezeigt werden.

Definition

Eine Folge reeller Zahlen $f_{n}$ konvergiert gegen den Grenzwert $g$, wenn es zu jeder Zahl $\varepsilon >0$ mit $\varepsilon \in \mathbb {R}$ eine Zahl $n_{0}\in \mathbb {N}$ gibt, so dass für jeden Index $n>n_{0}$ gilt: $|f_{n}-g|<\varepsilon$.

Oder in den beiden gebräuchlichen Quantoren-Schreibweisen:

Eine Folge reeller Zahlen $f_{n}$ konvergiert genau dann gegen den Grenzwert $g$, wenn

1	$\bigwedge _{\varepsilon >0}$	$\bigvee _{n_{0}}$	$\bigwedge _{n>n_{0}}$	$\left|f_{n}-g\right|<\varepsilon$
2	$\forall \varepsilon >0$	$\exists n_{0}$	$\forall n>n_{0}:$	$\left|f_{n}-g\right|<\varepsilon$
zu lesen als:	Für alle Epsilon größer null	existiert ein $n_{0}$, für das gilt, dass	für alle $n>n_{0}$ gilt:	Betrag von fn minus g ist kleiner als Epsilon.

Das bedeutet, dass es für jede noch so kleine positive Zahl $\varepsilon$ einen Index $n_{0}$ gibt - der im Allgemeinen von $\varepsilon$ abhängt - so dass alle weiteren Folgenglieder in der $\varepsilon$-Umgebung des Grenzwertes liegen.

Satz

Die Folge $f_{n}={\frac {1}{n}}(n\in \mathbb {N} )$ konvergiert gegen den Grenzwert $g=0$.

Beweis

Es sei $\varepsilon$ > 0, d.h. eine $\varepsilon$-Umgebung des Grenzwertes wird vorgegeben. Der Ausdruck

$|f_{n}-g|={\frac {1}{n}}$

soll nun für $n>n_{0}$ kleiner als $\varepsilon$ werden. Dies wir erreicht, wenn man $n_{0}$ so wählt, dass $n_{0}>{\frac {1}{\varepsilon }}$ ist. Denn dann ist für alle $n>n_{0}$

$|f_{n}-g|={\frac {1}{n}}<{\frac {1}{n_{0}}}<\varepsilon$.

Verallgemeinerungen

Der Begriff der $\varepsilon$-Umgebung einer Zahl auf der Zahlengeraden, kann auf die kreisförmige offene Umgebung in der Ebene, die kugelförmige im Raum oder allgemein zum Begriff der $\varepsilon$-Umgebung in metrischen Räumen verallgemeiner werden.

Eine weitere Verallgemeinerung stellt der Begriff der offenen Menge in einem topologischen Raum dar.

Anmerkungen

• Vereinzelt wird der Begriff Epsilontik auch leicht abwertend verwendet, etwa wenn der Routinecharakter von Beweisen betont werden soll.
• „Sei $\varepsilon <0$" ist ein Witz, über den - wenn überhaupt - nur Mathematiker lachen können. Er beruht darauf, dass Beweise mit Hilfe der Epsilontik meist mit dem Satz „Sei $\varepsilon >0$“ beginnen.

Siehe auch

• Filter
• Filterkonvergenz

Literatur

• K. Endl / W. Luh: Analysis. Band 1. Akademische Verlagsgesellschaft, 1972, ISBN 3-400-00185-6. 
• K. Endl / W. Luh: Analysis. Band 2. Akademische Verlagsgesellschaft, 1973, ISBN 3-400-00206-2. 
• B. v. Querenburg: Mengentheoretische Topologie. Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York, 1976, ISBN 3-540-06417-6. 

Kategorie:Analysis

Strukturierung des Artikels, Beispiel für Beweis mit Epsilontik, Verallgemeinerungen, Berücksichtigung von Diskussionsbeiträgen: Quelle: Endl / Luh: Analysis I und II

Überflüssig:Mittels der Epsilontik werden Begriffe wie „unendlich klein“ oder „kleiner als jede vorgegebene positive Zahl“ präzisiert. Der Betrag der Abweichung von dem Grenzwert wird in der Regel mit dem griechischen Buchstaben Epsilon $(\varepsilon )$ bezeichnet.

Um z. B. die Konvergenz einer reellen Folge $\!\ f_{n}$ gegen den Grenzwert $\!\ f$ zu beweisen, zeigt man, dass für jede noch so kleine Zahl $\varepsilon >0$ mit $\varepsilon \in \mathbb {R}$ eine Zahl $\!\ n_{0}\in \mathbb {N}$ so existiert, dass für jedes $\!\ n>n_{0}$ gilt: $|f_{n}-f|<\varepsilon$.

Mit dieser Definition wird lediglich verlangt, dass Variablen in einem bestimmten Bereich liegen, und nicht mehr davon geredet, dass Variablen sich auf einen Grenzwert hinbewegen.

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Artikel Differentiale

Differentiale als Rechenhilfe

Indem man mit einem Differential wie mit einer Variablen rechnet - was streng genommen nicht zulässig ist - vereinfachen sich manche Rechnungen. Dieses Vorgehen wird insbesondere in der Physik angewendet. Aber auch in der Mathematik liefert diese Methode oft die Vorlage für exakte Beweise - zum Beispiel beim Beweis der Kettenregel.

Beispiel 1 (Integration durch Substitution)

Das Integral

$\int x\sin \left(x^{2}+1\right)\,\mathrm {d} x$

soll berechnet werden. Die Substitution $t=x^{2}+1$ ergibt die Ableitung ${\frac {\mathrm {d} t}{\mathrm {d} x}}=2x$ und somit für die Differentiale $\mathrm {d} t=2x\,\mathrm {d} x$. Damit erhält man

$\int x\,\sin \left(x^{2}+1\right)\,\mathrm {d} x={\frac {1}{2}}\int 2x\sin \left(x^{2}+1\right)\,\mathrm {d} x={\frac {1}{2}}\int \sin(t)\,\mathrm {d} t=-{\frac {1}{2}}\cos(t)+C=-{\frac {1}{2}}\cos \left(x^{2}+1\right)+C,\quad$ mit $C\in \mathbb {R}$.

Beispiel 2 (Separation der Variablen)

Die Differentialgleichung

$f'(x)=-k\cdot f(x)$

mit der Anfangsbedingung $f(0)=C_{0}(C_{0}\in \mathbb {R} )$ soll gelöst werden. Setzt man $y=f(x)$ und ${\frac {\mathrm {dy} }{\mathrm {d} x}}=f'(x)$, so erhält man

${\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}=-k\cdot y$.

Multipliziert man nun beide Seiten mit dem Differential $\mathrm {d} x$ und trennt die Variablen, indem man sie auf jeweils eine Seite der Gleichung bringt, so ergibt sich

${\frac {1}{y}}\,\mathrm {d} y=-k\,\mathrm {d} x$.

Integration und Berücksichtigung der Anfangsbedingung ergibt die Lösung:

$\int {\frac {1}{y}}\mathrm {d} y=-k\int \mathrm {d} x$

$ln(y)=-k\cdot x+C,\quad (C\in \mathbb {R} )$

$ln(f(x))=-k\cdot x+C$

$f(x)=C_{0}\cdot \exp \left(-k\cdot x\right)$.

Beispiele für das Rechnen mit Differentialen; Quelle: Endl/Luhl: Analysis I und II

Literatur

• K. Endl / W. Luh: Analysis. Band 1. Akademische Verlagsgesellschaft, 1972, ISBN 3-400-00185-6. 

• K. Endl / W. Luh: Analysis. Band 2. Akademische Verlagsgesellschaft, 1973, ISBN 3-400-00206-2. 

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zum Artikel Polarkoordinaten

Koordinatenlinien

Die beiden Koordinatenlinien durch den Punkt $(r_{0}\mid \varphi _{0})$ mit $(r_{0}\neq 0)$ sind die Kurven

${\vec {k}}_{1}(r)={\begin{pmatrix}r\cos \varphi _{0}\\r\sin \varphi _{0}\end{pmatrix}},r\in [0,\infty [\quad und\quad {\vec {k}}_{2}(\varphi )={\begin{pmatrix}r_{0}\cos \varphi \\r_{0}\sin \varphi \end{pmatrix}},\varphi \in [0,2\pi [$,

also eine Halbgerade, die im Koordinatenursprung beginnt, sowie ein Kreis mit dem Radius $r_{0}$ und dem Koordinatenursprung als Mittelpunkt.

Ergänzung: Koordinatenlinien; Quelle: Werner: Vektoren und Tensoren als universelle Sprache in Physik und Technik, Band 1

Lokale Basisvektoren und Orthogonalität

In geradlinigen Koordinatensystemen gibt es eine Basis für den gesamten Vektorraum, in krummlinigen muss an jedem Punkt eine lokale Basis berechnet werden. Die lokalen Basisvektoren $\textstyle {\vec {b}}_{1}$ und $\textstyle {\vec {b}}_{2}$ an einem Punkt sind Tangentenvektoren an die Koordinatenlinien und ergeben sich aus den Kurvengleichungen durch Ableitung nach dem Kurvenparameter. Zum selben Ergebnis gelangt man auch durch partielle Ableitung der Koordinatentransformation für den Ortsvektor ${\vec {r}}$

${\vec {r}}={\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}r\cos \varphi \\r\sin \varphi \end{pmatrix}}$

nach den Koordinaten $r$ und $\varphi$:

${\vec {b}}_{1}={\frac {\partial {\vec {r}}}{\partial r}}={\begin{pmatrix}\cos \varphi \\\sin \varphi \end{pmatrix}}\quad$ und $\quad {\vec {b}}_{2}={\frac {\partial {\vec {r}}}{\partial \varphi }}={\begin{pmatrix}-r\sin \varphi \\r\cos \varphi \end{pmatrix}}$.

Die Basisvektoren haben die Längen

$|{\vec {b}}_{1}|={\sqrt {{\vec {b}}_{1}{\vec {b}}_{1}}}=1\quad$ und $\quad |{\vec {b}}_{2}|={\sqrt {{\vec {b}}_{2}{\vec {b}}_{2}}}=r$

und sind zueinander orthogonal, denn es gilt:

${\vec {b}}_{1}{\vec {b}}_{2}=0$.

Die entsprechenden Koordinatenlinien schneiden sich also rechtwinklig, die Polarkoordinaten bilden somit ein orthogonales Koordinatensystem.

In der Tensorrechnung werden die lokalen Basisvektoren, die tangential zu den Koordinatenlinien verlaufen, wegen ihres Verhaltens bei Koordinatentransformationen als kovariant bezeichnet.

Metrischer Tensor

Die Komponenten des kovarianten metrischen Tensors $g=(g_{ij})$ sind die Skalarprodukte der kovarianten lokalen Basisvektoren:

$g_{ij}={\vec {b}}_{i}{\vec {b}}_{j}\quad (i,j\in \{1,2\})$.

Nach den Rechnungen im vorigen Abschnitt ist damit

$g={\begin{pmatrix}1&0\\0&r^{2}\end{pmatrix}}$.

Ergänzung: lokale Basisvektoren, metrischer Tensor; Quelle: Werner: Vektoren und Tensoren als universelle Sprache in Physik und Technik, Band 1

zum Artikel Zylinderkoordinaten

Koordinatenlinien und Koordinatenflächen

Für die Koordinatentransformation als Vektorgleichung mit dem Ortsvektor ${\vec {r}}$

${\vec {r}}={\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\rho \cos \varphi \\\rho \sin \varphi \\z\end{pmatrix}}$

ergeben sich für einen Punkt

• die Koordinatenlinien, indem man jeweils zwei der drei Koordinaten fest lässt und die dritte den Kurvenparameter darstellt
• die Koordinatenflächen, indem man eine der drei Koordinaten fest lässt und die beiden anderen die Fläche parametrisieren.

Jeweils zwei Koordinatenflächen schneiden sich in einer Koordinatenlinie. Koordinatenlinien und Koordinatenflächen dienen dazu, die lokalen Basisvektoren (siehe unten) zu berechnen.

Durch den Punkt $(\rho _{0}\mid \varphi _{0}\mid z_{0})$ mit $(\rho _{0}\neq 0)$ verlaufen drei Koordinatenlinien. Es handelt sich dabei

• für $\rho$ als Kurvenparameter um eine Halbgerade, die im Punkt $(0,0,z_{0})$ beginnt und senkrecht zur z-Achse verläuft
• für $\varphi$ als Kurvenparameter um einen Kreis senkrecht zur z-Achse mit dem Mittelpunkt $(0,0,z_{0})$ und Radius $\rho _{0}$
• für $z$ als Kurvenparameter um eine Gerade parallel zur z-Achse.

Als Koordinatenflächen durch den Punkt $(\rho _{0}\mid \varphi _{0}\mid z_{0})$ mit $(\rho _{0}\neq 0)$ ergeben sich

• für konstanten Radius $\rho _{0}$ eine Zylinderfläche mit der z-Achse als Zylinderachse
• für festen Winkel $\varphi$ eine Halbebene mit der z-Achse als Rand
• für konstanten Wert von $z_{0}$ eine Ebene senkrecht zur z-Achse.

Ergänzung: Koordinatenlinien und Koordinatenflächen; Quelle: Werner: Vektoren und Tensoren als universelle Sprache in Physik und Technik, Band 1

Lokale Basisvektoren und Orthogonalität

In geradlinigen Koordinatensystemen gibt es eine Basis für den gesamten Vektorraum, in krummlinigen muss an jedem Punkt eine lokale Basis berechnet werden. Die lokalen Basisvektoren $\textstyle {\vec {b}}_{1}$, $\textstyle {\vec {b}}_{2}$ und $\textstyle {\vec {b}}_{3}$ an einem Punkt sind Tangentenvektoren an die Koordinatenlinien und ergeben sich aus deren Kurvengleichungen durch Ableitung nach dem Kurvenparameter. Zum selben Ergebnis gelangt man auch durch partielle Ableitung der Koordinatentransformation für den Ortsvektor ${\vec {r}}$ nach den Koordinaten $\rho$, $\varphi$ und $z$:

${\vec {b}}_{1}={\frac {\partial {\vec {r}}}{\partial \rho }}={\begin{pmatrix}\cos \varphi \\\sin \varphi \\0\end{pmatrix}}\quad$, $\quad {\vec {b}}_{2}={\frac {\partial {\vec {r}}}{\partial \varphi }}={\begin{pmatrix}-\rho \sin \varphi \\\rho \cos \varphi \\0\end{pmatrix}}$ und $\quad {\vec {b}}_{3}={\frac {\partial {\vec {r}}}{\partial z}}={\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}$.

Die Basisvektoren haben die Längen

$|{\vec {b}}_{1}|={\sqrt {{\vec {b}}_{1}{\vec {b}}_{1}}}=1\quad$, $\quad |{\vec {b}}_{2}|={\sqrt {{\vec {b}}_{2}{\vec {b}}_{2}}}=\rho$, $\quad |{\vec {b}}_{3}|={\sqrt {{\vec {b}}_{3}{\vec {b}}_{3}}}=1$

und sind zueinander orthogonal. Eine Normierung ergibt die Einheitsvektoren:

${\vec {e}}_{\rho }={\frac {\frac {\partial {\vec {r}}}{\partial \rho }}{\left|{\frac {\partial {\vec {r}}}{\partial \rho }}\right|}}={\begin{pmatrix}\cos \varphi \\\sin \varphi \\0\end{pmatrix}},\quad {\vec {e}}_{\varphi }={\frac {\frac {\partial {\vec {r}}}{\partial \varphi }}{\left|{\frac {\partial {\vec {r}}}{\partial \varphi }}\right|}}={\begin{pmatrix}-\sin \varphi \\\cos \varphi \\0\end{pmatrix}},\quad {\vec {e}}_{z}={\frac {\frac {\partial {\vec {r}}}{\partial z}}{\left|{\frac {\partial {\vec {r}}}{\partial z}}\right|}}={\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}.$

Die Basisvektoren ${\vec {e}}_{\rho }$, ${\vec {e}}_{\varphi }$ und ${\vec {e}}_{z}$ sind zueinander orthonormal und bilden in dieser Reihenfolge ein Rechtssystem.

In der Tensorrechnung werden die lokalen Basisvektoren, die tangential zu den Koordinatenlinien verlaufen, wegen ihres Verhaltens bei Koordinatentransformationen als kovariant bezeichnet. Die kontravarianten Basisvektoren stehen senkrecht auf den Koordinatenflächen.

nicht normierte Basisvektoren (für metrischen Tensor); kovariant/kontravariant; Quelle: Werner: Vektoren und Tensoren als universelle Sprache in Physik und Technik, Band 1

Metrischer Tensor

Die Komponenten des kovarianten metrischen Tensors $g=(g_{ij})$ sind die Skalarprodukte der kovarianten lokalen Basisvektoren:

$g_{ij}={\vec {b}}_{i}{\vec {b}}_{j}\quad (i,j\in \{1,2,3\})$.

Nach den vorangegangenen Rechnungen ist damit

$g={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&\rho ^{2}&0\\0&0&1\end{pmatrix}}$.

metrischer Tensor; Quelle: Werner: Vektoren und Tensoren als universelle Sprache in Physik und Technik, Band 1

Literatur

• W. Werner: Vektoren und Tensoren als universelle Sprache in Physik und Technik. Band 1. Springer Vieweg, ISBN 978-3-658-25271-7. 

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zu metrischer Tensor:

Herleitung für Kugelkoordinaten $\quad \longrightarrow$

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Die Koordinatentransformation für die Kugelkoordinaten lautet als Vektorgleichung:

${\vec {r}}={\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}r\sin \theta \cos \varphi \\r\sin \theta \sin \varphi \\r\cos \theta \end{pmatrix}}$.

Die lokalen Basisvektoren ${\vec {b}}_{1},{\vec {b}}_{2}$ und ${\vec {b}}_{3}$ verlaufen tangential zu den Koordinatenlinien und ergeben sich somit aus der Koordinatentransformation durch partielle Ableitung nach den Koordinaten $r,\theta$ und $\varphi$. Also gilt:

${\vec {b}}_{1}={\frac {\partial {\vec {r}}}{\partial r}}={\begin{pmatrix}\sin \theta \cos \varphi \\\sin \theta \sin \varphi \\\cos \theta \end{pmatrix}},\quad {\vec {b}}_{2}={\frac {\partial {\vec {r}}}{\partial \theta }}={\begin{pmatrix}r\cos \theta \cos \varphi \\r\cos \theta \sin \varphi \\-r\sin \theta \end{pmatrix}},\quad {\vec {b}}_{3}={\frac {\partial {\vec {r}}}{\partial \varphi }}={\begin{pmatrix}-r\sin \theta \sin \varphi \\r\sin \theta \cos \varphi \\0\end{pmatrix}}$.

Die Komponenten des metrischen Tensors $g=(g_{ij})$ sind die Skalarprodukte dieser Basisvektoren:

$g_{ij}={\vec {b}}_{i}{\vec {b}}_{j}\quad (i,j\in \{1,2,3\}$.

Die Rechnung ergibt:

$g_{11}=1,\quad g_{22}=r^{2},\quad und\quad g_{33}=r^{2}\sin ^{2}\theta$.

Die übrigen Skalarprodukte sind null. Dies bedeutet, dass die Basisvektoren paarweise aufeinander senkrecht stehen: die Kugelkoordinaten bilden ein orthogonales Koordinatensystem.

Für das Linienelement ergibt sich somit

$\mathrm {d} s^{2}=\mathrm {d} r^{2}+r^{2}\,\mathrm {d} \theta ^{2}+r^{2}\sin ^{2}\theta \;\mathrm {d} \varphi ^{2}$.

Die Herleitungen für die anderen Koordinatensysteme verlaufen entsprechend.

Herleitung für den metrischen Tensor in Kugelkoordinaten; Quelle:Werner: Vektoren und Tensoren als universelle Sprache in Physik und Technik, Band I

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Artikel Koordinatenlinie:

Koordinatenlinien sind Kurven in einem Koordinatensystem, die entstehen, wenn an einem Punkt alle Koordinaten bis auf jeweils eine konstant sind. In krummlinigen Koordinatensystemen sind die lokalen Basisvektoren tangential zu den Koordinatenlinien gerichtet und können auf Grund dieser Eigenschaft berechnet werden. Stehen diese Basisvektoren stets paarweise aufeinander senkrecht, so handelt sich um ein orthogonales Koordinatensystem.

Definition mit kartesischen Koordinaten

Sei $(x_{0}\mid y_{0}\mid z_{0})$ ein Punkt des $\mathbb {R} ^{3}$. Die Koordinatenlinien durch diesen Punkt sind die drei Kurven

${\vec {k}}_{1}(x)={\begin{pmatrix}x\\y_{0}\\z_{0}\end{pmatrix}},x\in \mathbb {R} ,\quad {\vec {k}}_{2}(y)={\begin{pmatrix}x_{0}\\y\\z_{0}\end{pmatrix}},y\in \mathbb {R} ,\quad {\vec {k}}_{3}(z)={\begin{pmatrix}x_{0}\\y_{0}\\z\end{pmatrix}},z\in \mathbb {R}$.

Das bedeutet: zwei der drei Koordinaten sind konstant und die dritte ist der Kurvenparameter.

Bemerkungen

• Die Definition der Koordinatenlinie kann auf andere Koordinatensysteme und Räume höherer Dimension sowie auf Mannigfaltigkeiten verallgemeinert werden.
• Krummlinige Koordinaten gehen aus den kartesischen Koordinaten durch eine umkehrbar eindeutige Koordinatentransformation hervor. Dabei können allerdings Koordinatensingularitäten auftreten, d.h. es gibt singuläre Punkte, die in krummlinigen Koordinaten nicht eindeutig darstellbar sind. An diesen Punkten ist die entsprechende Funktionaldeterminante gleich null.
• Koordinatenlinien ergeben sich auch als Schnitt zweier Koordinatenflächen. Dies sind Flächen, bei denen eine der drei Raumkoordinaten konstant ist und die anderen beiden diese Fläche parametrisieren.

Koordinatenlinien in speziellen Koordinatensystemen

• Geradlinige Koordinatensysteme:

In kartesischen Koordinatensystemen und affinen Koordinatensystemen sind alle Koordinatenlinien Geraden, die parallel zu den Koordinatenachsen verlaufen.

• Krummlinige Koordinatensysteme

• Polarkoordinaten mit Koordinaten $(r,\varphi )$

Die Koordinatentransformation lautet als Vektorgleichung mit dem Ortsvektor ${\vec {r}}$:

${\vec {r}}={\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}r\cos \varphi \\r\sin \varphi \end{pmatrix}}$.

Die beiden Koordinatenlinien durch den Punkt $(r_{0}\mid \varphi _{0})$ in der Ebene sind somit

${\vec {k}}_{1}(r)={\begin{pmatrix}r\cos \varphi _{0}\\r\sin \varphi _{0}\end{pmatrix}},r\in [0,\infty [\quad und\quad {\vec {k}}_{2}(\varphi )={\begin{pmatrix}r_{0}\cos \varphi \\r_{0}\sin \varphi \end{pmatrix}},\varphi \in [0,2\pi [$,

also eine Halbgerade, die im Koordinatenursprung beginnt, sowie ein Kreis mit dem Radius $r_{0}$ und dem Koordinatenursprung als Mittelpunkt.

Am Koordinatenursprung ist die Koordinatendarstellung nicht eindeutig: hier ist $r=0$, aber $\varphi$ beliebig.

• Zylinderkoordinaten mit Koordinaten $(r,\varphi ,z)$

Für die Koordinatentransformation

${\vec {r}}={\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}r\cos \varphi \\r\sin \varphi \\z\end{pmatrix}}$

ergeben sich die drei Koordinatenlinien, die durch den Punkt $(r_{0}\mid \varphi _{0}\mid z_{0})$ gehen:

${\vec {k}}_{1}(r)={\begin{pmatrix}r\cos \varphi _{0}\\r\sin \varphi _{0}\\z_{0}\end{pmatrix}},r\in [0,\infty [\quad ,\quad {\vec {k}}_{2}(\varphi )={\begin{pmatrix}r_{0}\cos \varphi \\r_{0}\sin \varphi \\z_{0}\end{pmatrix}},\varphi \in [0,2\pi [\quad und\quad {\vec {k}}_{3}(z)={\begin{pmatrix}r_{0}\cos \varphi _{0}\\r_{0}\sin \varphi _{0}\\z\end{pmatrix}},z\in \mathbb {R}$.

Es handelt sich um eine Halbgerade, die im Punkt $(0,0,z_{0})$ beginnt und senkrecht zur z-Achse verläuft, einen Kreis senkrecht zur z-Achse mit dem Mittelpunkt $(0,0,z_{0})$ und Radius $r_{0}$ sowie eine Gerade parallel zur z-Achse.

Für Punkte auf der z-Achse gibt es keine eindeutige Koordinatendarstellung: hier ist $r=0$, aber $\varphi$ beliebig.

• Kugelkoordinaten mit Koordinaten $(r,\theta ,\varphi )$

Mit der Koordinatentransformation

${\vec {r}}={\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}r\sin \theta \cos \varphi \\r\sin \theta \sin \varphi \\r\cos \theta \end{pmatrix}}$

sind die drei Koordinatenlinien durch den Punkt $(r_{0}\mid \theta _{0}\mid \varphi _{0})$

${\vec {k}}_{1}(r)={\begin{pmatrix}r\sin \theta _{0}\cos \varphi _{0}\\r\sin \theta _{0}\sin \varphi _{0}\\r\cos \theta _{0}\end{pmatrix}},r\in [0,\infty [\quad ,\quad {\vec {k}}_{2}(\theta )={\begin{pmatrix}r_{0}\sin \theta \cos \varphi _{0}\\r_{0}\sin \theta \sin \varphi _{0}\\r_{0}\cos \theta \end{pmatrix}},\theta \in [0,\pi [\quad und\quad {\vec {k}}_{3}(\varphi )={\begin{pmatrix}r_{0}\sin \theta _{0}\cos \varphi \\r_{0}\sin \theta _{0}\sin \varphi \\r_{0}\cos \theta _{0}\end{pmatrix}},\varphi \in [0,2\pi [$.

Die Koordinatenlinien sind eine Halbgerade, die im Koordinatenursprung beginnt, ein Halbkreis ("Meridian") mit dem Koordinatenursprung als Mittelpunkt und Radius $r_{0}$ und ein Kreis ("Breitenkreis") mit Radius $r_{0}\sin \theta _{0}$ senkrecht zur z-Achse.

Für Punkte auf der z-Achse gibt es keine eindeutige Koordinatendarstellung: hier ist $\theta =0$, aber $\varphi$ beliebig.

Lokale Basisvektoren

In geradlinigen Koordinatensystemen gibt es eine Basis für den gesamten Vektorraum, in krummlinigen muss an jedem Punkt eine lokale Basis berechnet werden. Die lokalen Basisvektoren verlaufen tangential zu den Koordinatenlinien. Mit Hilfe des Skalarproduktes kann der Winkel zwischen ihnen bestimmt werden. Die Polar-, Zylinder- und Kugelkoordinaten erweisen sich dabei als orthogonale Koordinatensysteme. Mit Hilfe der lokalen Basisvektoren lassen sich außerdem der metrische Tensor sowie das Linien-, Flächen- und Volumenelement für die Integralrechnung bestimmen. In der Tensorrechnung werden die lokalen Basisvektoren, die tangential zu den Koordinatenlinien verlaufen, wegen ihres Verhaltens bei Koordinatentransformationen als kovariant bezeichnet. Die kontravarianten Basisvektoren stehen senkrecht auf den Koordinatenflächen.

Beispiel (Kugelkoordinaten):

Die lokalen kovarianten Basisvektoren $\textstyle {\vec {b}}_{1},{\vec {b}}_{2}$ und $\textstyle {\vec {b}}_{3}$ an einem Punkt $\textstyle (r_{0}\mid \theta _{0}\mid \varphi _{0})$ sind Tangentenvektoren an die Koordinatenlinien und ergeben sich aus diesen durch Ableitung nach dem Kurvenparameter:

${\vec {b}}_{1}={\frac {d{\vec {k}}_{1}}{dr}}(r_{0})={\begin{pmatrix}\sin \theta _{0}\cos \varphi _{0}\\\sin \theta _{0}\sin \varphi _{0}\\\cos \theta _{0}\end{pmatrix}},\quad {\vec {b}}_{2}={\frac {d{\vec {k}}_{2}}{d\theta }}(\theta _{0})={\begin{pmatrix}r_{0}\cos \theta _{0}\cos \varphi _{0}\\r_{0}\cos \theta _{0}\sin \varphi _{0}\\-r_{0}\sin \theta _{0}\end{pmatrix}},\quad {\vec {b}}_{3}={\frac {d{\vec {k}}_{3}}{d\varphi }}(\varphi _{0})={\begin{pmatrix}-r_{0}\sin \theta _{0}\sin \varphi _{0}\\r_{0}\sin \theta _{0}\cos \varphi _{0}\\0\end{pmatrix}}$.

Zum selben Ergebnis gelangt man auch durch partielle Ableitung der Koordinatentransformation für die Kugelkoordinaten nach den Koordinaten $r,\theta$ und $\varphi$, also

${\vec {b}}_{1}={\frac {\partial {\vec {r}}}{\partial r}},\quad {\vec {b}}_{2}={\frac {\partial {\vec {r}}}{\partial \theta }},\quad {\vec {b}}_{3}={\frac {\partial {\vec {r}}}{\partial \varphi }}$

an den entsprechenden Punkten.

Die Basisvektoren haben die Längen

$|{\vec {b}}_{1}|={\sqrt {{\vec {b}}_{1}{\vec {b}}_{1}}}=1,\quad |{\vec {b}}_{2}|={\sqrt {{\vec {b}}_{2}{\vec {b}}_{2}}}=r_{0},\quad |{\vec {b}}_{3}|={\sqrt {{\vec {b}}_{3}{\vec {b}}_{3}}}=r_{0}\sin \theta _{0}$

und sind paarweise zueinander orthogonal, denn es gilt:

${\vec {b}}_{i}{\vec {b}}_{j}=0\quad (i,j\in \{1,2,3\},i\neq j)$.

Die entsprechenden Koordinatenlinien schneiden sich also rechtwinklig, die Kugelkoordinaten bilden somit ein orthogonales Koordinatensystem.

Siehe auch

• Kovariante Basis bei krummlinigen Koordinaten
• Kontravariante Basis bei krummlinigen Koordinaten
• Funktionaldeterminante

Literatur

• K. Endl / W. Luh: Analysis. Band 2. Akademische Verlagsgesellschaft, 1973, ISBN 3-400-00206-2. 

• W. Werner: Vektoren und Tensoren als universelle Sprache in Physik und Technik. Band 1. Springer Vieweg, ISBN 978-3-658-25271-7. 

Änderungen: Einleitung, Definition, Koordinatenlinien für krummlinige Koordinaten, lokale Basisvektoren mit Beispiel, Querverbindungen, Literatur

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• H. Fischer / H. Kaul: Mathematik für Physiker. Band 3. Springer Spektrum, ISBN 978-3-662-53968-2. 

• K. Jänich: Einführung in die Funktionentheorie. Springer-Verlag, ISBN 3-540-08309-X. 

K. Endl / W. Luh: Analysis 2 (Akademische Verlagsgesellschaft)

W. Werner: Vektoren und Tensoren als universelle Sprache in Physik und Technik. Band 1, (Springer Vieweg)

H. Fischer / H. Kaul: Mathematik für Physiker, Band 3 (Springer Spektrum)

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Artikel Kugelkoordinaten: (siehe Beispiele zum Oberflächenintegral)

Artikel Volumenintegral:

• Berechnung des Volumens einer Kugel

neu: für oberflächenintegral

Beispiel: Oberflächeninhalt einer Kugel

Mit dem Flächenelement für Kugelkoordinaten

$\mathrm {d} \sigma =r^{2}\sin \theta \,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \varphi$

ergibt sich für den Oberflächeninhalt ${\mathcal {F}}$ einer Kugel mit Radius $r$:

${\mathcal {F}}=\iint _{\mathcal {F}}1\,\mathrm {d} \sigma =\int \limits _{0}^{2\pi }\int \limits _{0}^{\pi }r^{2}\sin \theta \,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \varphi =r^{2}\int \limits _{0}^{2\pi }\int \limits _{0}^{\pi }\sin \theta \,\mathrm {d} \theta \ \mathrm {d} \varphi =r^{2}\int \limits _{0}^{2\pi }2\,\mathrm {d} \varphi =4\pi r^{2}$.

K. Endl / W. Luh: Analysis 2 (Akademische Verlagsgesellschaft)

für Oberflächenintegral 2

Beispiel: Fluss eines Vektorfeldes durch eine Kugeloberfläche

Gegeben sei ein radialsymmetrisches Vektorfeld

${\vec {E}}({\vec {r}})={\dfrac {C}{r^{2}}}\cdot {\dfrac {\vec {r}}{r}}$

mit einer Konstanten $C\in \mathbb {R}$, dem Ortsvektor ${\vec {r}}$ und seinem Betrag $r$. Bei dem Vektor ${\dfrac {\vec {r}}{r}}$ handelt es sich somit um einen Einheitsvektor in Richtung des Ortsvektors. In der Physik ist zum Beispiel das elektrische Feld einer Punktladung $Q$ im Koordinatenursprung von dieser Form: siehe Coulombsches Gesetz.

Aus Symmetriegründen verwendet man Kugelkoordinaten. Das vektorielle Oberflächenelement $\textstyle \mathrm {d} {\vec {\sigma }}$ für eine Kugel mit Radius $r$ und Mittelpunkt im Koordinatenursprung ist

$\mathrm {d} {\vec {\sigma }}=r^{2}\sin \theta \cdot {\dfrac {\vec {r}}{r}}\,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \varphi$.

Für den Fluss $\Phi$ des Vektorfeldes ${\vec {E}}({\vec {r}})$ durch die Oberfläche ${\mathcal {F}}$ einer Kugel mit Radius $r$ ergibt sich:

$\Phi =\iint _{\mathcal {F}}{\dfrac {C}{r^{2}}}\cdot {\dfrac {\vec {r}}{r}}\,\mathrm {d} {\vec {\sigma }}=\int \limits _{0}^{2\pi }\int \limits _{0}^{\pi }{\dfrac {C}{r^{2}}}{\dfrac {\vec {r}}{r}}\cdot r^{2}\sin \theta \cdot {\dfrac {\vec {r}}{r}}\,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \varphi =C\int \limits _{0}^{2\pi }\int \limits _{0}^{\pi }\sin \theta \,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \varphi =C\int \limits _{0}^{2\pi }2\mathrm {d} \varphi =4\pi C$.

Der Fluss $\Phi$ des Vektorfeldes durch die Kugeloberfläche ist somit unabhängig vom Kugelradius $r$. Für das physikalische Beispiel des elektrischen Feldes einer Punktladung ist dieses Ergebnis das Gaußsche Gesetz der Elektrostatik.

K. Endl / W. Luh: Analysis 2 (Akademische Verlagsgesellschaft)

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Rest vom Kopieren:

${\vec {E}}({\vec {r}})={\dfrac {Q}{4\pi \varepsilon _{0}\,\varepsilon _{\mathrm {r} }}}\cdot {\dfrac {{\vec {e}}_{r}}{r^{2}}}={\dfrac {Q}{4\pi \varepsilon _{0}\,\varepsilon _{\mathrm {r} }}}\cdot {\dfrac {\vec {r}}{r^{3}}}$

Dabei steht $Q$ für die felderzeugende Ladung im Ursprung des Koordinatensystems, ${\vec {r}}$ für den Ortsvektor des gegebenen Punktes, ${\vec {e_{r}}}={\tfrac {\vec {r}}{r}}$ für den zugehörigen Einheitsvektor, $\varepsilon _{0}$ für die elektrische Feldkonstante und $\varepsilon _{\mathrm {r} }$ für die relative Permittivität. }}

$C={\dfrac {Q}{4\pi \varepsilon _{0}\,\varepsilon _{\mathrm {r} }}}$.

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bsp für zeilenwechsel:

${\begin{aligned}A_{O}&=\int \limits _{0}^{2\pi }\int \limits _{0}^{\pi }1\,\mathrm {d} A\\&=\int \limits _{0}^{2\pi }\int \limits _{0}^{\pi }r^{2}\sin \theta \,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \varphi \\&=2\pi r^{2}\int \limits _{0}^{\pi }\sin \theta \,\mathrm {d} \theta \\&=4\pi r^{2}\end{aligned}}$

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$b_{1}^{1}={\frac {\partial x}{\partial r}}=\sin \theta \cdot \cos \varphi \quad b_{1}^{2}={\frac {\partial y}{\partial r}}=\sin \theta \cdot \sin \varphi \quad b_{1}^{3}={\frac {\partial z}{\partial r}}=\cos \theta$.

Durch partielle Ableitung nach $\textstyle \theta bzw.\varphi$ erhält man entspechend die Komponenten von $\textstyle {\vec {b}}_{2}$ und $\textstyle {\vec {b}}_{3}$. Insgesamt ergeben sich die drei lokalen Basisvektoren:

Die Vektor-Gleichung für die Umwandlung von karthesischen Koordinaten in Kugelkoordinaten lautet:

${\begin{array}{cll}x&=&r\cdot \sin \theta \cdot \cos \varphi \\y&=&r\cdot \sin \theta \cdot \sin \varphi \\z&=&r\cdot \cos \theta \end{array}}$

$r\in [0,unendlich!!!!![,\vartheta in...\varphi \in$.

${\vec {x}}={\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}\quad ={\begin{pmatrix}r\cdot \sin \theta \cdot \cos \varphi \\r\cdot \sin \theta \cdot \sin \varphi \\r\cdot \cos \theta \end{pmatrix}}$.

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zu holomorphe und biholmorphe funktionen

Eine wichtige Aussage über biholomorphe Funktionen macht der riemannsche Abbildungssatz: Jedes einfach zusammenhängende Gebiet $G\subsetneq \mathbb {C}$ lässt sich biholomorph auf die offene Einheitskreisscheibe abbilden.

Link zum riemannschen Abbildungssatz, Quelle: K. Jänich: Einführung in die Funktionentheorie (Springer-Verlag)

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zu Differenzierbarkeit:

Nachweis der Differenzierbarkeit der Funktion $f(x)=x^{2}$ an der Stelle $x_{0}\quad \longrightarrow$

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Es seien $f(x)=x^{2}\quad und\quad x_{0}\in \mathbb {R}$. Dann ist

$\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}}=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {(x_{0}+h)^{2}-x_{0}^{2}}{h}}=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {2x_{0}h+h^{2}}{h}}=\lim _{h\rightarrow 0}(2x_{0}+h)=2x_{0}$.

Damit ist die Funktion $f(x)=x^{2}$ auf ganz $\mathbb {R}$ differenzierbar und die Ableitung ist $f'(x)=2x$.

Quelle: Endl / Luh: Analysis I (Akademische Verlagsgesellschaft)

NEU

• Die Euler-Charakteristik $\chi$ und das Geschlecht $g$ hängen für orientierbare, geschlossene Flächen wie folgt zusammen
• : $\chi =2-2g$
• In der Theorie der riemannschen Flächen kann man das Geschlecht auch als Dimension einer Cohomologiegruppe definieren:

g = dim ... (Forster) Hierbei bedeutet ... Der Satz von Riemann-Roch verknüpft das so definierte Geschlecht mit anderen komplexanalytischen Größen

Zusammen mit dem Dualitätssatz von Serre werden die kompakten riemannschen Flächen entsprechend klassifiziert und damit wird das Geschlecht zu einer rein topologischen Invariante.

Beispiel

Nachweis der Stetigkeit der Funktion $f(x)=2x+3$ an der Stelle $x_{0}$

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Seien $x,x_{0}\in \mathbb {R}$ und $\varepsilon \in \mathbb {R}$ mit

$\varepsilon >0$.

Es ist

Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle |f(x)-f(x_{0})|=|(2x+3)-(2x_{0}+3)|=|2x-2x_{0}|=2|x-x_{0}|} .

Damit dies kleiner als die vorgegebene Zahl $\varepsilon$ ist, kann z.B.

$\delta (\varepsilon )={\tfrac {1}{2}}\varepsilon$

gewählt werden. Denn aus

Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle |x-x_{0}|<\delta ={\tfrac {1}{2}}\varepsilon }

folgt dann nämlich

$|f(x)-f(x_{0})|=2|x-x_{0}|<2\cdot {\tfrac {1}{2}}\varepsilon =\varepsilon$.

Bemerkungen:

• Da die Funktion $f$ an jeder Stelle $x_{0}\in \mathbb {R}$ stetig ist, ist $f$ somit auf ganz $\mathbb {R}$ stetig.
• Weil $\delta$ lediglich von $\varepsilon$, nicht aber von der Stelle $x_{0}\in \mathbb {R}$ abhängt, ist $f$ sogar auf ganz $\mathbb {R}$ gleichmäßig stetig.

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