Benutzer:Matthy/Lie-Gruppe

Der Begriff Lie-Gruppe ist nach dem norwegischen Mathematiker Sophus Lie benannt. Sophus untersuchte Matrizengruppen und stellte eine Verbindung ueber die Exponentialfunktion zu den Lie-Algebren her. In diesem Sinne bezeichnet man mit Lie-Gruppe eine Verallgemeinerung der Matrizengruppen. Der Begriff Lie-Gruppe wird, im Gegensatz zur Lie-Algebra, nicht einheitlich definiert. Vielmehr gibt es eine Reihe von mathematischen Konzepten zur Verallgemeinerung der von Sophus Lie untersuchten Gruppen. Diese Bereich hat sich als ein selbstaendiges eigenes Teilgebiet der Mathematik herauskristallisiert, welches Lie-Theorie genannt wird.

Dieser Artikel soll einen Ueberblick ueber die veschiedenen Konzepte geben und ihre Anwendungen. Eine Einfuehrung in die Lie-Theorie findet sich im Artikel kontinuierliche Symmetrie. (Wird noch geschrieben)

Matrizengruppen

Betrachten wir die invertierbaren reellen oder komplexen nxn-Matrizen. Diese bilden eine Gruppe, welche mit einer kanonischen Topologie zu einer topologischen Gruppe wird. Sophus Lie untersuchte hiervon abgeschlossene Untergruppen. Diese werden heutzutage lineare Lie-Gruppen oder klassische Lie-Gruppen genannt. Hierzu gehören unter anderem Sl(n), SO(n), SU(n) und viele mehr. Zu jeder dieser Lie-Gruppen gibt es eine Lie-Algebra wie z.B. sl(n), so(n), su(n). Man beachte, dass der Anfangsbuchstabe bei der Bezeichnung der Lie-Gruppen gross ist, wo hingegen bei den Lie-Algebren der Anfangsbuchstabe klein ist. Zu jeder Lie-Gruppe gibt es eine Lie-Algebra, aber nicht umgekehrt.

Die Exponentialfunktion

In der Lietheorie ist die Exponentialfunktion eine Abbildung in eine Lie-Gruppe von der zugehörigen Liealgebra. Z.B.

$Exp:sl(2,R)\longrightarrow Sl(2,R)$

Diese Abbildung ist durch ihre Eigenschaften eindeutig bestimmt.

Einparametergruppe

Als erstes muss man sagen, dass die Bezeichnung Einparametergruppe irreführend ist. Die Einparametergruppe ist keine Gruppe sondern ein Homomorphimus. Betrachten wir eine topologische Gruppe G, so ist die Einparametergruppe eine stetiger Gruppenhomomorphismus von der additive Gruppe der reellen Zahlen $\mathbb {R}$ in G. Bei manchen toplogische Gruppen kann man diese mit einer Lie-Algebra-Struktur versehen. Daraus ergibt sich ein weiteres Konzept für die Definition, was eine Lie-Gruppe ist. Wir sagen:

Definition I

Eine Lie-Gruppen ist eine topologische Gruppe deren Menge der Einparametergruppen eine Lie-Algebra ist.

Das Mannigfaltigkeitskonzept

Betrachten wir eine topologische Gruppen, so sind die Gruppeninversion und Gruppenmultiplikation stetigen Abbildungen. Wenn wir dieses Konzept von topologischen Raeumen auf Mannigfaltigkeiten uebertragen, so haben wir eine Definition was eine Lie-Gruppe ist.

Definition II

Eine Lie-Gruppe ist eine Cx-Mannifaltig, so dass die Gruppeninversion und Gruppenmultiplikation Cx-Differenzierbare Abbildungen sind.

Das Cx steht für eine Mannigfaltikeitskonzept, wie z.B. glatt, reel analytisch, holomorph, oder stetig differenzierbar. Diese Definition ist vielleicht schon heute die am häufigsten benutzte. Aber es gibt noch andere Konzepte wie wir später lesen werden.

Die Lie-Algebra einer Lie-Gruppe besteht aus den linksinvarianten Vektorfeldern auf der Lie-Gruppe.

endliche reelle und komplexe Lie-Gruppen

Die endlichen reellen Lie-Gruppen sind sicher die am meist untersuchten Lie-Gruppen. Endlich bedeutet hier, dass der Vektorraum über dem die Lie-Gruppe als Mannigfaltigkeit definiert ist endlichdimensional ist. Dies darf man nicht verwechseln mit endlicher Gruppe. Hier bedeutet endlich, dass die Gruppe endlich viele Elemente besitzt.

unendichdimensionale Lie-Gruppen

Bis heute gibt es noch keine allgemeine Definition was eine unendlichdimensionale Lie-Gruppe sein soll. Es gibt verschiedene Ansätze, die in diesem Abschnitt vorgestellt werden sollen. Bei den Banach-Liegruppen gelten viele wichtigen Sätze die man von den endlichen Lie-Gruppen kennt. Zum Beispiel ist die Exponentialfunktion lokal surjektiv. Die eben genannte Eigenschaft ist bei Frechet-Liegruppen nicht mehr immer erfüllt. Man kann zeigen, dass das Bild der Exponentialfunktion bei Diffeomorphismen-Gruppen, die typische Vertreter der Frechet-Liegruppen sind, nichteinmal eine Einsumgebung enthält. In der [Eichtheorie] spielen die Frechet-Liegruppen eine zentrale Rolle.

Anwendungen

1. Die halbeinfachen Lie-Gruppen finden ihre Anwendung in der Physik zur Beschreibung von kontinuierlichen Symmetrien. Die physikalische Objekte sind Elemente
2. Die auflösbaren Lie-Gruppen spielen eine Rolle beim Studium von partiellen Differentialgleichungen.

Beispiele

1. GL(n,K) wobei K der Körper reellen oder komplexen Zahlen ist.
2. Orthogonale Gruppe
3. unitären Gruppe
4. spezielle unitäre Gruppe
5. Spezielle_orthogonale_Gruppe
6. Spezielle lineare Gruppe
7. Poincaré-Gruppe
8. Galilei-Gruppe
9. Interessantere und typischere Beispiel sind die Gruppen invertierbarer Matrizen mit der Matrixmultiplikation als Verknüpfung sowie deren Untergruppen, zum Beispiel die Gruppe SO(3) aller Drehungen im dreidimensionalen Raum.

Artikel zum Thema Lietheorie in der Wikipedia

1. kontinuierliche Symmetrie
2. Lie-Algebra
3. Sophus Lie

Weblinks

Kategorie:Gruppentheorie Kategorie:Analysis Kategorie:Topologie