Benutzer:Nesbittt/Nesbitt-Ungleichung

Die Nesbitt-Ungleichung aus dem mathematischen Teilgebiet der Analysis besagt, dass für positive reelle Zahlen $a$, $b$ und $c$ folgende Aussage gilt:

${\frac {a}{b+c}}+{\frac {b}{a+c}}+{\frac {c}{a+b}}\geq {\frac {3}{2}}$

Sie ist ein Spezialfall der allgemeineren Shapiro-Ungleichung.

Beweis

Erster Beweis: AM-HM Ungleichung

Nach der AM-HM Ungleichung über $(a+b),(b+c),(c+a)$ gilt

${\frac {(a+b)+(a+c)+(b+c)}{3}}\geq {\frac {3}{\displaystyle {\frac {1}{a+b}}+{\frac {1}{a+c}}+{\frac {1}{b+c}}}}.$

kreuzweise Multiplikation ergibt

$((a+b)+(a+c)+(b+c))\left({\frac {1}{a+b}}+{\frac {1}{a+c}}+{\frac {1}{b+c}}\right)\geq 9,$

woraus man

$2{\frac {a+b+c}{b+c}}+2{\frac {a+b+c}{a+c}}+2{\frac {a+b+c}{a+b}}\geq 9$

durch Ausmultiplizieren und Zusammenfassen gleicher Nenner erhält. Vereinfachung führt zur gewünschten Aussage.

Zweiter Beweis: Summe von Quadraten

Folgende Gleichung ist wahr für alle reellen $a,b,c:$

${\frac {a}{b+c}}+{\frac {b}{a+c}}+{\frac {c}{a+b}}={\frac {3}{2}}+{\frac {1}{2}}\left({\frac {(a-b)^{2}}{(a+c)(b+c)}}+{\frac {(a-c)^{2}}{(a+b)(b+c)}}+{\frac {(b-c)^{2}}{(a+b)(a+c)}}\right)$

Das beweist, dass die linke Seite für positive $a$, $b$ und $c$ nicht kleiner als ${\frac {3}{2}}$ ist.

Dritter Beweis: Kehrwertungleichung

Die Kehrwertungleichung impliziert

${\frac {a+b}{b+c}}+{\frac {b+c}{a+b}}+{\frac {a+c}{c+b}}+{\frac {c+b}{a+c}}+{\frac {b+a}{a+c}}+{\frac {a+c}{b+a}}\geq 2+2+2=6$

Nach Umordnung erhält man

$({\frac {a+b}{b+c}}+{\frac {a+c}{c+b}})+({\frac {b+c}{a+b}}+{\frac {a+c}{b+a}})+({\frac {c+b}{a+c}}+{\frac {b+a}{a+c}})\geq 6$

oder

${\frac {2a}{b+c}}+1+{\frac {2b}{c+a}}+1+{\frac {2a}{b+c}}+1\geq 6$

was nach einer kurzen Umformung zur Nesbitt-Ungleichung wird.

Vierter Beweis: Cauchy–Schwarz

Anwendung der Cauchy-Schwarz-Ungleichung auf die Vektoren $\displaystyle \left\langle {\sqrt {a+b}},{\sqrt {b+c}},{\sqrt {c+a}}\right\rangle ,\left\langle {\frac {1}{\sqrt {a+b}}},{\frac {1}{\sqrt {b+c}}},{\frac {1}{\sqrt {c+a}}}\right\rangle$ ergibt

$((b+c)+(a+c)+(a+b))\left({\frac {1}{b+c}}+{\frac {1}{a+c}}+{\frac {1}{a+b}}\right)\geq 9,$

was analog zum AM-HM Beweis zur Nesbitt-Ungleichung umgeformt werden kann.

Fünfter Beweis: Homogenisierung

Da die linke Seite der Ungleichung homogen ist, darf man o.B.d.A. annehmen, dass $a+b+c=1$. Seien nun $x=a+b$, $y=b+c$, und $z=c+a$. Die gewünschte Ungleichung wird zu ${\frac {1-x}{x}}+{\frac {1-y}{y}}+{\frac {1-z}{z}}\geq {\frac {3}{2}}$, oder, dazu äquivalent, ${\frac {1}{x}}+{\frac {1}{y}}+{\frac {1}{z}}\geq 9/2$, was nach Titu's Lemma oder AM-HM wahr ist.

Sechster Beweis: Jensensche Ungleichung

Seien $S=a+b+c$ und $f(x)={\frac {x}{S-x}}$. Diese Funktion ist konvex auf $[0,S]$ und nach Anwendung der jensenschen Ungleichung ergibt sich

$\displaystyle {\frac {{\frac {a}{S-a}}+{\frac {b}{S-b}}+{\frac {c}{S-c}}}{3}}\geq {\frac {S/3}{S-S/3}}.$

Eine einfache Umformung liefert

${\frac {a}{b+c}}+{\frac {b}{c+a}}+{\frac {c}{a+b}}\geq {\frac {3}{2}}.$

Quellen

• Teile des Artikels en:Nesbitt's inequality, Version vom 3. April 2020 übersetzt und eingearbeitet.
• Nesbitt, A.M., Problem 15114, Educational Times, 3(2), 1903.

Weblinks

• Siehe AoPS für weitere Beweise dieser Ungleichung.