Kreuzweise Multiplikation

Die kreuzweise Multiplikation (auch Kreuzmultiplikation und Multiplikation über Kreuz genannt) ist eine Methode, um eine Gleichung, bei der beide Seiten durch einen Bruch oder einen Bruchterm dargestellt werden, derart umzuformen, dass anschließend keine Brüche bzw. Bruchterme mehr vorliegen. Anwendung findet das Verfahren häufig bei Verhältnisgleichungen und Dreisatzaufgaben.

Beschreibung

Gegeben sei eine Bruchgleichung der Form

${\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}$

mit $b\neq 0$ und $d\neq 0$. Werden nun beide Seiten dieser Gleichung mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle bd} multipliziert, ergibt sich nach Kürzen der Brüche

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle ad = bc} .

Bei der kreuzweisen Multiplikation wird also der Nenner der rechten Seite mit dem Zähler der linken und der Nenner der linken Seite mit dem Zähler der rechten multipliziert. Bei der anschaulichen Darstellung ergibt sich ein Kreuz, daher der Name:

Datei:Kreuzweise Multiplikation.PNG

Beispiel

Gegeben sei die Gleichung:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac x {2x - 2} = \frac {2x + 3} {4x}}

Gesucht sei dabei der Wert von x, der jedoch wegen der Division durch 0 weder gleich 1 noch gleich 0 sein darf. Die Brüche können nicht gekürzt werden. Durch kreuzweise Multiplikation ergibt sich:

4x² = (2x − 2)(2x + 3)

Die Entfernung der Klammern in der rechten Seite erfolgt durch zweifaches Ausmultiplizieren:

4x² = 4x² + 2x − 6

Jetzt subtrahiert man (4x² + 2x) oder (4x² − 6):

−2x = −6 bzw. 6 = 2x

Bei der Division durch −2 bzw. durch 2 erhält man:

x = 3

Als Probe könnte 3 in die erste Gleichung eingesetzt werden. Es folgt:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac 3 4 = \frac 3 4}

Somit ist die Lösung gültig.

Weblinks

• Bruchgleichungen (aus mathematik.net)

Literatur

• Mark Zegarelli: Grundlagen der Mathematik für Dummies. Wiley 2008, ISBN 9783527704415, S. 320