Benutzer:Norbert Dragon/Kontinuitätsgleichung

Eine Kontinuitätsgleichung ist die mathematisch genaue Fassung der Redewendung Von nichts kommt nichts. Sie ist eine partielle Differentialgleichung, die die zeitliche Änderung einer Dichte $\rho$ mit der räumlichen Änderung einer Stromdichte $\mathbf {j}$ verknüpft,

${\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\operatorname {div} \,\mathbf {j} =0\,.$

Zur mathematischen Definition von $\operatorname {div}$ siehe Divergenz (Mathematik).

Die in einem Volumen enthaltene Ladung (das Volumenintegral über die Dichte) kann sich aufgrund der Kontinuitätsgleichung nur dadurch ändern, daß unausgeglichene Ströme durch die Oberfläche des Volumens fließen. Demnach ändert sich die Ladung zeitlich nicht und ist eine Erhaltungsgröße, wenn keine Ströme durch die Oberfläche des betrachteten Volumens fließen.

Denn die zeitliche Änderung der Ladung $Q_{V}$ in einem zeitlich unveränderlichen Volumen $V$

$Q_{V}=\int _{V}\mathrm {d} ^{3}x\rho (t,\mathbf {x} )$

ist wegen der Kontinuitätsgleichung nach dem Satz von Gauß

${\frac {\mathrm {d} Q_{V}}{\mathrm {d} t}}=\int _{V}\mathrm {d} ^{3}x{\frac {\partial \rho }{\partial t}}=-\int _{V}\!\mathrm {d} ^{3}x\,\operatorname {div} \,\mathbf {j} =-\int _{\partial V}\!\mathrm {d} ^{2}f\,\,\mathbf {n} \cdot \mathbf {j}$

gleich dem Flächenintegral über die Randfläche $\partial V$ des Volumens über den Anteil der Stromdichte $\mathbf {j}$, der in Richtung der Flächennormalen $\mathbf {n}$ nach außen fließt. Die Ladung im Volumen ändert sich nur, wenn unausgeglichen Ströme durch die Randfläche fließen.

Die Kontinuitätsgleichung tritt in allen Feldtheorien der Physik auf. Die erhaltenen Größen können, wie in den folgenden Beispielen, die elektrische Ladung, die Energie, der Impuls, die Wahrscheinlichkeit und einige Teilchenzahlen (Leptonenzahl, Baryonenzahl) sein.

Hydrodynamik

Verändert sich in der Hydrodynamik die Massendichte $\rho (t,\mathbf {x} )$, weil die Flüssigkeit mit der Geschwindigkeit $\mathbf {u} (t,\mathbf {x} )$ strömt, so ist $\mathbf {j} =\rho \,\mathbf {u}$ die zugehörige Stromdichte und die Kontinuitätsgleichung lautet

${\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\operatorname {div} \,(\rho \mathbf {u} )=0\,.$

Elektrodynamik

In der Elektrodynamik gilt die Kontinuitätsgleichung für die elektrische Ladungsdichte $\rho$ und die elektrische Stromdichte $\mathbf {j}$

${\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\operatorname {div} \,\mathbf {j} =0$

als Folge der Maxwellgleichungen:

$\nabla \cdot \left(\nabla \times H\right)={\frac {\partial }{\partial t}}\left(\nabla \cdot D\right)+\nabla \cdot j=-{\frac {\partial \rho }{\partial t}}-{\frac {\partial \rho }{\partial t}}=0\Rightarrow {\frac {\partial \rho }{\partial t}}=0$.

In Halbleitern beschreibt die Verletzung der Kontinuitätsgleichung

${\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\operatorname {div} \,\mathbf {j} =-r+g$

die Änderung der Raumladungsdichte $\rho$ durch die Rekombinationsrate pro Volumen, $r$, und die Generationsrate $g$.

Aus den Maxwellgleichungen der Elektrodynamik folgt (in CGS-Einheiten) für die Energiedichte

$u={\frac {1}{8\pi }}\left(\mathbf {E} ^{2}+\mathbf {B} ^{2}\right)$

und die Energiestromdichte, den Poynting-Vektor,

$\mathbf {S} ={\frac {c}{4\pi }}\left(\mathbf {E} \times \mathbf {H} \right)$

nahezu eine Kontinuitätsgleichung

${\frac {\partial u}{\partial t}}+\operatorname {div} \,\mathbf {S} =-\mathbf {j} \mathbf {E} \,.$

Die Kontinuitätsgleichung für die Energie im elektromagnetischen Feld ist dort erfüllt, wo die elektrische Stromdichte $\mathbf {j}$ verschwindet, beispielsweise im Vakuum. Dort kann sich Energiedichte nur durch Energieströme ändern. Wo die elektrische Stromdichte $\mathbf {j}$ nicht verschwindet, leistet das elektrische Feld $\mathbf {E}$ Arbeit und tauscht Energie mit den Ladungsträgern aus.

Die Kontinuitätsgleichung für die elektromagnetische Feldenergie ist der Satz von Poynting.

Quantenmechanik

In der Quantenmechanik wird der Zustand eines Teilchens, wie etwa ein einzelnes Elektron, durch eine Wellenfunktion $\Psi (\mathbf {r} ,t)$ beschrieben.

Das Betragsquadrat

$\rho (\mathbf {r} ,t)=|\Psi (\mathbf {r} ,t)|^{2}$

gibt die Wahrscheinlichkeitdichte dafür an, ein Teilchen zur Zeit $t$ am Ort $\mathbf {r}$ vorzufinden. Mit der zugehörigen Wahrscheinlichkeitsstromdichte (zur mathematischen Definition von $\operatorname {grad}$ siehe Gradient (Mathematik))

$\mathbf {j} =-{\frac {i\hbar }{2m}}(\Psi ^{*}\operatorname {grad} \Psi -\Psi \operatorname {grad} \Psi ^{*})$

gilt als Folge der Schrödingergleichung die Kontinuitätsgleichung

${\frac {\partial }{\partial t}}\rho +\operatorname {div} \mathbf {j} =0\,.$