Benutzer:Norbert Dragon/Ortsoperator

Der Ortsoperator gehört in der Quantenmechanik zur Ortsmessung von Teilchen.

Der physikalische Zustand $\Psi \,$ eines Teilchens ist in der Quantenmechanik mathematisch durch einen zugehörigen Vektor eines Hilbertraumes H gegeben. Die Observablen werden durch selbstadjungierte Operatoren auf H dargestellt. Speziell ist der Ortsoperator die Zusammenfassung der drei Observablen ${\hat {\mathbf {x} }}=({\hat {x}}_{1},{\hat {x}}_{2},{\hat {x}}_{3})$, so dass

$E({\hat {x}}_{j})=\langle \Psi |{\hat {x}}_{j}\,\Psi \rangle \ ,\quad j=1,2,3$

der Mittelwert (Erwartungswert) der Meßergebnisse der j-ten Ortskoordinate des Teilchens im Zustand $\Psi$ ist.

Definition und Eigenschaften

• Die drei Ortsoperatoren sind selbstadjungierte Operatoren ${\hat {x}}_{j}$, die mit den ebenfalls selbstadjungierten Impulsoperatoren ${\hat {p}}_{k}$ die folgenden, kanonischen Vertauschungsrelationen erfüllen,

$[{\hat {x}}_{j},{\hat {p}}_{k}]=\mathrm {i} \,\hbar \,\delta _{jk}\ ,\quad [{\hat {x}}_{j},{\hat {x}}_{k}]=0=[{\hat {p}}_{j},{\hat {p}}_{k}]\ ,\quad j,k\in \{1,2,3\}\,.$

• Daraus folgt, daß die drei Ortskoordinaten gemeinsam meßbar sind und daß ihr Spektrum (Bereich der möglichen Messwerte) aus dem gesamten Raum $\mathbb {R} ^{3}$ besteht. Die möglichen Orte sind also nicht quantisiert, sondern kontinuierlich.
• Die Ortsdarstellung ist durch die Spektraldarstellung des Ortsoperators definiert. Der Hilbertraum H ist der Raum der quadratintegrierbaren, komplexen Funktionen des Ortsraums $\mathbb {R} ^{3}$, jeder Zustand $\Psi$ ist durch eine Ortswellenfunktion $\psi (\mathbf {x} )$ gegeben. Die Ortsoperatoren ${\hat {\mathbf {x} }}=({\hat {x}}_{1},{\hat {x}}_{2},{\hat {x}}_{3})$ sind die Multiplikationsoperatoren mit den Koordinatenfunktionen, das heißt, der Ortsoperator ${\hat {x}}_{j}$ wirkt auf Ortswellenfunktionen $\psi (x)$ durch die Multiplikation der Wellenfunktion mit der Koordinatenfunktion $x_{j}$

$({\hat {x}}_{j}\,\psi )(\mathbf {x} )=x_{j}\,\psi (\mathbf {x} )\,.$

Der Erwartungswert ist

$E({\hat {x}}_{j})=\langle \Psi |{\hat {x}}_{j}\,\Psi \rangle =\int {\overline {\psi (\mathbf {x} )}}\,x_{j}\,\psi (\mathbf {x} )\,\mathrm {d} ^{3}x\,.$

Der Impulsoperator wirkt auf Ortswellenfunktionen (bei geeigneter Wahl der Phasen) als Differentialoperator

${\bigl (}{\hat {p}}_{k}\psi {\bigr )}(\mathbf {x} )=-\mathrm {i} \,\hbar \,{\bigl (}{\frac {\partial }{\partial x_{k}}}\psi {\bigr )}(\mathbf {x} )\,.$

• In der Impulsdarstellung wirkt der Impulsoperator multiplikativ auf Impulswellenfunktionen ${\tilde {\psi }}(\mathbf {p} )$

$({\hat {p}}_{k}\,{\tilde {\psi }})(\mathbf {p} )=p_{k}\,{\tilde {\psi }}(\mathbf {p} )$

und der Ortsoperator wirkt als Differentialoperator

$({\hat {x}}_{j}\,{\tilde {\psi }})(\mathbf {p} )=\mathrm {i} \,\hbar \,{\frac {\partial }{\partial p_{j}}}{\tilde {\psi }}(\mathbf {p} )\,.$