Benutzer:Pendethan/Meine Entwürfe/Formeln

siehe Hilfe:TeX

$Saturn\quad \alpha \ {\text{Saturn}}\qquad \mathbf {Saturn} \ {\mathtt {Saturn}}\ {\boldsymbol {Saturn}}\ {\mathfrak {Saturn}}$

$\zeta =2\,\cdot \,\arcsin \left(\,{\frac {1}{2}}\cdot {\sqrt {{\Big (}\sin(\phi _{A})-\sin(\phi _{B}){\Big )}^{2}+{\Big (}\cos(\phi _{A})\cdot \cos(\lambda _{A})+\cos(\phi _{B})\cdot \cos(\lambda _{B}){\Big )}^{2}+{\Big (}\cos(\phi _{A})\cdot \sin(\lambda _{A})-\cos(\phi _{B})\cdot \sin(\lambda _{B}){\Big )}^{2}}}\ \right)$

$\zeta =2\,\cdot \,\arcsin \left(\,{\frac {1}{2}}\cdot {\sqrt {{\Big (}\sin(\phi _{A})-\sin(\phi _{B}){\Big )}^{2}+{\Big (}\cos(\phi _{A})\cdot \cos(\lambda _{A})+\cos(\phi _{B})\cdot \cos(\lambda _{B}){\Big )}^{2}+{\Big (}\cos(\phi _{A})\cdot \sin(\lambda _{A})-\cos(\phi _{B})\cdot \sin(\lambda _{B}){\Big )}^{2}}}\ \right)$

${\begin{alignedat}{2}&with:\ &&x=\cos \left(\delta \right)\cdot \cos \left(\alpha \right)\\&&&y=\cos \left(\delta \right)\cdot \sin \left(\alpha \right)\\&&&z=\sin \left(\delta \right)\\{\begin{aligned}&\alpha '=\arccos \left(\cos \left(\delta \right)\cdot \cos \left(\alpha \right)\right)\\&\alpha '=\arctan \left(y'/x\right)\end{aligned}}&yes&&y'=z\cdot \cos \left(23.5^{\circ }\right)-y\cdot \sin \left(23.5^{\circ }\right)\end{alignedat}}$

${\begin{aligned}&\alpha '=\arccos \left(\cos \left(\delta \right)\cdot \cos \left(\alpha \right)\right)\\&\alpha '=\arctan \left(y'/x\right)\end{aligned}}$

${\begin{alignedat}{2}&with:\ &&x=\cos \left(\delta \right)\cdot \cos \left(\alpha \right)\\&&&y=\cos \left(\delta \right)\cdot \sin \left(\alpha \right)\\&&&z=\sin \left(\delta \right)\\&&&y'=z\cdot \cos \left(23.5^{\circ }\right)-y\cdot \sin \left(23.5^{\circ }\right)\end{alignedat}}$

Exponentiation is a mathematical operation, written as $b^{n}$, scriptstyle: $\scriptstyle b^{n}$, displaystyle:

$\displaystyle b^{n}$, textstyle: $\textstyle b^{n}$, involving two numbers, the base $b$ and the exponent $n$. When $n$ is a positive integer, exponentiation corresponds to repeated multiplication of the base: that is, $b^{n}$ is the product of multiplying $n$ bases: $b^{n}=\underbrace {b\times \cdots \times b} _{n}$, scriptstyle: $\scriptstyle b^{n}=\underbrace {b\times \cdots \times b} _{n}$, displaystyle:
$\displaystyle b^{n}=\underbrace {b\times \cdots \times b} _{n}$, textstyle: $\textstyle b^{n}=\underbrace {b\times \cdots \times b} _{n}$

$\displaystyle b^{n}=\underbrace {b\times \cdots \times b} _{n}$

${\frac {2+{\frac {1/2+{\frac {5}{3}}}{5^{3}}}}{\sqrt {\frac {2}{3}}}}$

The exponent is usually shown as a superscript to the right of the base. In that case, $\scriptstyle b^{n}$ is called “b raised to the n-th power”, b raised to the power of n, or the n-th power of b.

When $n$ is a positive integer and $\textstyle n$ is not zero, $\textstyle b^{-n}$ is naturally defined as ${\textstyle {\frac {1}{b^{n}}}}$ or $\textstyle 1/b^{n}$, or $\textstyle {\frac {1}{b^{n}}}$ preserving the property $\scriptstyle b^{n}\times b^{m}=b^{n+m}$. With exponent $\scriptscriptstyle -1$ $\scriptstyle -1$, $\textstyle b^{-1}$ is equal to $\scriptstyle 1/b$, and is the reciprocal of $\textstyle b$. $\textstyle \int _{a}^{b}$

log_b x – Logarithmus zu einer beliebigen Basis b berechnen

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{alignat}{2} \text{es sei} \\ y & = \log_b x &\qquad & \big| \ \text{auf beiden Seiten} \ b^{(\ )} \ \text{und mit} \ b^{\log_b x} = x \\ b^y & = x && \big| \ \text{auf beiden Seiten} \log_a{(\ )} \\ \log_a b^y & = \log_a x && \big| \ \text{mit} \log b^y = y \cdot \log a \\ y \log_a b & = \log_a x && \big| \ \text{auf beiden Seiten} \div \log_a b \\ \text{dann ist} \\ y = \log_b x & = \frac{\log_a x}{\log_a b} \end{alignat} }

Division

Find the equation of the line that is tangent to the following curve at Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x=1} :

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle y = x^3 - 12x^2 - 42.}

Begin by dividing the polynomial by Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (x-1)^2 = x^2-2x+1} :

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{array}{rclcl} x^3 - 12x^2 {\color{Red}\,+\,21x} -42 & \div & x^2-2x+1 & = & x \\ x^3 - 12x^2 + 21x - 42 \\ \underline{x^3 - {\color{Yellow}0}2x^2 + {\color{Red}1}x\,{\color{Red}-\,42}} \\ -10x^2 - {\color{White}01}x - 42 \\ \underline{-10x^2 + 20x - 10} \\ -21x - 32 \end{array} }

Drehmatrix

Drehung um die Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x} -Achse:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle R_x(\alpha) = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos\alpha & -\sin\alpha \\ 0 & \sin\alpha & \cos\alpha \end{pmatrix} }

Drehung um die Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle y} - und die Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle z} -Achse:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle R_y(\alpha) = \begin{pmatrix} \cos\alpha & 0 & \sin\alpha \\ 0 & 1 & 0 \\ -\sin\alpha & 0 & \cos\alpha \end{pmatrix}; \quad R_z(\alpha) = \begin{pmatrix} \cos\alpha & -\sin\alpha & 0 \\ \sin\alpha & \cos\alpha & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} }

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{align} & a^{(i)}=[{}^k_i A]\cdot a^{(k)}\\ & a^{(k)}=[{}^k_i A]^{-1}\cdot a^{(i)} \end{align} }

Inverse Drehmatrizen:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (A \cdot B \cdot C)^{-1} = C^{-1} \cdot B^{-1} \cdot A^{-1} }

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle Pose = \begin{pmatrix} r_{00} &r_{01} &r_{02} &t_{0} \\ r_{10} &r_{11} &r_{12} &t_{1} \\ r_{20} &r_{21} &r_{22} &t_{2} \\ 0 &0 &0 &1 \end{pmatrix} }

Kombinierte, hintereinander ausgeführte (innere) Drehungen um die Achsen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x} , Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle y} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle z} :

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{pmatrix} r_{00} &r_{01} &r_{02} \\ r_{10} &r_{11} &r_{12} \\ r_{20} &r_{21} &r_{22} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos\theta_y\cdot\cos\theta_z &-\cos\theta_y\cdot\sin\theta_z &\sin\theta_y\\ \sin\theta_x\cdot\sin\theta_y\cdot\cos\theta_z+\cos\theta_x\cdot\sin\theta_z &-\sin\theta_x\cdot\sin\theta_y\cdot\sin\theta_z+\cos\theta_x\cdot\cos\theta_z &-\sin\theta_x\cdot\cos\theta_y\\ -\cos\theta_x\cdot\sin\theta_y\cdot\cos\theta_z+\sin\theta_x\cdot\sin\theta_z &\cos\theta_x\cdot\sin\theta_y\cdot\sin\theta_z+\sin\theta_x\cdot\cos\theta_z &\cos\theta_x\cdot\cos\theta_y \end{pmatrix} }

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle r_{02}=\sin\theta_y\quad\Longrightarrow\quad\theta_y=\text{asin}(r_{02}) }

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \text{(1) für}\quad\cos\theta_y\ne 0\quad\Longrightarrow\quad\theta_y\ne 90^\circ\quad\text{und}\quad\theta_y\ne -90^\circ }

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Longrightarrow\quad\sin\theta_x=\frac{-r_{12}}{\cos\theta_y}\quad\text{und}\quad\cos\theta_x=\frac{r_{22}}{\cos\theta_y};\quad \sin\theta_z=\frac{-r_{01}}{\cos\theta_y}\quad\text{und}\quad\cos\theta_z=\frac{r_{00}}{\cos\theta_y} }

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Longrightarrow\quad\theta_x=\text{atan2}(-r_{12}, r_{22});\quad\theta_z=\text{atan2}(-r_{01}, r_{00})\quad \text{mit}\quad\theta=\text{atan2}(\sin\theta, \cos\theta) }

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \text{(2) für}\quad\theta_y=90^\circ\quad\Longrightarrow\quad\sin\theta_y=1;\quad\cos\theta_y=0\quad\Longrightarrow\quad r_{00}=0;\quad r_{01}=0;\quad r_{02}=1;\quad r_{12}=0;\quad r_{22}=0 }

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{alignat}{3} &r_{10}=r_{21} &&=\sin\theta_x\cdot\cos\theta_z+\cos\theta_x\cdot\sin\theta_z\quad &&\Longrightarrow\quad r_{10}=r_{21}=\sin(\theta_x+\theta_z)\\ &r_{11}=-r_{20} &&=\cos\theta_x\cdot\cos\theta_z-\sin\theta_x\cdot\sin\theta_z\quad &&\Longrightarrow\quad r_{11}=-r_{20}=\cos(\theta_x+\theta_z) \end{alignat} }

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Longrightarrow\quad\theta_x+\theta_z=\text{atan2}(r_{10}, r_{11})=\text{atan2}(r_{21}, -r_{20})\quad \text{mit}\quad\theta=\text{atan2}(\sin\theta, \cos\theta)\quad\text{Lösung mit einem Freiheitsgrad,}\ \theta_x\ \text{oder}\ \theta_z\ \text{ist frei wählbar} }

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \text{(3) für}\quad\theta_y=-90^\circ\quad\Longrightarrow\quad\sin\theta_y=-1;\quad\cos\theta_y=0\quad\Longrightarrow\quad r_{00}=0;\quad r_{01}=0;\quad r_{02}=-1;\quad r_{12}=0;\quad r_{22}=0 }

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{alignat}{5} -r_{10}&=r_{21} &&=\sin\theta_x\cdot\cos\theta_z-\cos\theta_x\cdot\sin\theta_z\quad &&\Longrightarrow\quad -r_{10}&&=r_{21}&&=\sin(\theta_x-\theta_z)\\ r_{11}&=r_{20} &&=\cos\theta_x\cdot\cos\theta_z+\sin\theta_x\cdot\sin\theta_z\quad &&\Longrightarrow\quad r_{11}&&=r_{20}&&=\cos(\theta_x-\theta_z) \end{alignat} }

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Longrightarrow\quad\theta_x-\theta_z=\text{atan2}(-r_{10}, r_{11})=\text{atan2}(r_{21}, r_{20})\quad \text{mit}\quad\theta=\text{atan2}(\sin\theta, \cos\theta)\quad\text{Lösung mit einem Freiheitsgrad,}\ \theta_x\ \text{oder}\ \theta_z\ \text{ist frei wählbar} }

Kombinierte, hintereinander ausgeführte (innere) Drehungen um die Achsen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle z} , Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle y} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x} :

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{pmatrix} r_{00} &r_{01} &r_{02} \\ r_{10} &r_{11} &r_{12} \\ r_{20} &r_{21} &r_{22} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos\theta_y\cdot\cos\theta_z &\sin\theta_x\cdot\sin\theta_y\cdot\cos\theta_z-\cos\theta_x\cdot\sin\theta_z &\cos\theta_x\cdot\sin\theta_y\cdot\cos\theta_z+\sin\theta_x\cdot\sin\theta_z\\ \cos\theta_y\cdot\sin\theta_z &\sin\theta_x\cdot\sin\theta_y\cdot\sin\theta_z+\cos\theta_x\cdot\cos\theta_z & \cos\theta_x\cdot\sin\theta_y\cdot\sin\theta_z-\sin\theta_x\cdot\cos\theta_z\\ -\sin\theta_y &\sin\theta_x\cdot\cos\theta_y &\cos\theta_x\cdot\cos\theta_y \end{pmatrix} }

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle -r_{20}=\sin\theta_y\quad\Longrightarrow\quad\theta_y=\text{asin}(-r_{20}) }

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \text{(1) für}\quad\cos\theta_y\ne 0\quad\Longrightarrow\quad\theta_y\ne 90^\circ\quad\text{und}\quad\theta_y\ne -90^\circ }

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Longrightarrow\quad\sin\theta_x=\frac{r_{21}}{\cos\theta_y}\quad\text{und}\quad\cos\theta_x=\frac{r_{22}}{\cos\theta_y};\quad \sin\theta_z=\frac{r_{10}}{\cos\theta_y}\quad\text{und}\quad\cos\theta_z=\frac{r_{00}}{\cos\theta_y} }

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Longrightarrow\quad\theta_x=\text{atan2}(r_{21}, r_{22});\quad\theta_z=\text{atan2}(r_{10}, r_{00})\quad \text{mit}\quad\theta=\text{atan2}(\sin\theta, \cos\theta) }

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \text{(2) für}\quad\theta_y=90^\circ\quad\Longrightarrow\quad\sin\theta_y=1;\quad\cos\theta_y=0\quad\Longrightarrow\quad r_{00}=0;\quad r_{10}=0;\quad r_{20}=1;\quad r_{21}=0;\quad r_{22}=0 }

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{alignat}{3} &r_{01}=-r_{12} &&=\sin\theta_x\cdot\cos\theta_z-\cos\theta_x\cdot\sin\theta_z\quad &&\Longrightarrow\quad r_{01}=-r_{12}=\sin(\theta_x-\theta_z)\\ &r_{11}=r_{02} &&=\cos\theta_x\cdot\cos\theta_z+\sin\theta_x\cdot\sin\theta_z\quad &&\Longrightarrow\quad r_{11}=r_{02}=\cos(\theta_x-\theta_z) \end{alignat} }

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Longrightarrow\quad\theta_x-\theta_z=\text{atan2}(r_{01}, r_{11})=\text{atan2}(-r_{12}, r_{02})\quad \text{mit}\quad\theta=\text{atan2}(\sin\theta, \cos\theta)\quad\text{Lösung mit einem Freiheitsgrad,}\ \theta_x\ \text{oder}\ \theta_z\ \text{ist frei wählbar} }

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \text{(3) für}\quad\theta_y=-90^\circ\quad\Longrightarrow\quad\sin\theta_y=-1;\quad\cos\theta_y=0\quad\Longrightarrow\quad r_{00}=0;\quad r_{10}=0;\quad r_{20}=-1;\quad r_{21}=0;\quad r_{22}=0 }

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{alignat}{5} -r_{01}&=-r_{12} &&=\sin\theta_x\cdot\cos\theta_z+\cos\theta_x\cdot\sin\theta_z\quad &&\Longrightarrow\quad -r_{01}&&=-r_{12}&&=\sin(\theta_x+\theta_z)\\ r_{11}&=-r_{02} &&=\cos\theta_x\cdot\cos\theta_z-\sin\theta_x\cdot\sin\theta_z\quad &&\Longrightarrow\quad r_{11}&&=-r_{02}&&=\cos(\theta_x+\theta_z) \end{alignat} }

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Longrightarrow\quad\theta_x+\theta_z=\text{atan2}(-r_{01}, r_{11})=\text{atan2}(-r_{12}, -r_{02})\quad \text{mit}\quad\theta=\text{atan2}(\sin\theta, \cos\theta)\quad\text{Lösung mit einem Freiheitsgrad,}\ \theta_x\ \text{oder}\ \theta_z\ \text{ist frei wählbar} }

Kombinierte, hintereinander ausgeführte (innere) Drehungen um die Achsen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle z} , Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle y} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle z} :

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{pmatrix} r_{00} &r_{01} &r_{02} \\ r_{10} &r_{11} &r_{12} \\ r_{20} &r_{21} &r_{22} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos\theta_{z_1}\cdot\cos\theta_y\cdot\cos\theta_{z_2}-\sin\theta_{z_1}\cdot\sin\theta_{z_2} &-\cos\theta_{z_1}\cdot\cos\theta_y\cdot\sin\theta_{z_2}-\sin\theta_{z_1}\cdot\cos\theta_{z_2} &\cos\theta_{z_1}\cdot\sin\theta_y\\ \sin\theta_{z_1}\cdot\cos\theta_y\cdot\cos\theta_{z_2}+\cos\theta_{z_1}\cdot\sin\theta_{z_2} &-\sin\theta_{z_1}\cdot\cos\theta_y\cdot\sin\theta_{z_2}+\cos\theta_{z_1}\cdot\cos\theta_{z_2} &\sin\theta_{z_1}\cdot\sin\theta_y\\ -\sin\theta_y\cdot\cos\theta_{z_2} &\sin\theta_y\cdot\sin\theta_{z_2} &\cos\theta_y \end{pmatrix} }

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle r_{22}=\cos\theta_y\quad\Longrightarrow\quad\theta_y=\text{acos}(r_{22}) }

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \text{(1) für}\quad\sin\theta_y\ne 0\quad\Longrightarrow\quad\theta_y\ne 0^\circ\quad\text{und}\quad\theta_y\ne 180^\circ }

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Longrightarrow\quad\sin\theta_{z_1}=\frac{r_{12}}{\sin\theta_y}\quad\text{und}\quad\cos\theta_{z_1}=\frac{r_{02}}{\sin\theta_y};\quad \sin\theta_{z_2}=\frac{r_{21}}{\sin\theta_y}\quad\text{und}\quad\cos\theta_{z_2}=\frac{-r_{20}}{\sin\theta_y} }

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Longrightarrow\quad\theta_{z_1}=\text{atan2}(r_{12}, r_{02});\quad\theta_{z_2}=\text{atan2}(r_{21}, -r_{20})\quad \text{mit}\quad\theta=\text{atan2}(\sin\theta, \cos\theta) }

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \text{(2) für}\quad\theta_y=0^\circ\quad\Longrightarrow\quad\sin\theta_y=0;\quad\cos\theta_y=1\quad\Longrightarrow\quad r_{02}=0;\quad r_{12}=0;\quad r_{22}=1;\quad r_{20}=0;\quad r_{21}=0 }

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{alignat}{8} -r_{01}&=r_{10}&&=\sin\theta_{z_1}\cdot\cos\theta_{z_2}+\cos\theta_{z_1}\cdot\sin\theta_{z_2}\quad&&\Longrightarrow\quad -r_{01}&&=r_{10}&&=\sin(\theta_{z_1}+\theta_{z_2})\\ r_{00}&=r_{11}&&=\cos\theta_{z_1}\cdot\cos\theta_{z_2}-\sin\theta_{z_1}\cdot\sin\theta_{z_2}\quad&&\Longrightarrow\quad r_{00}&&=r_{11}&&=\cos(\theta_{z_1}+\theta_{z_2}) \end{alignat} }

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Longrightarrow\quad\theta_{z_1}+\theta_{z_2}=\text{atan2}(-r_{01}, r_{00})=\text{atan2}(r_{10}, r_{11})\quad \text{mit}\quad\theta=\text{atan2}(\sin\theta, \cos\theta)\quad\text{Lösung mit einem Freiheitsgrad,}\ \theta_x\ \text{oder}\ \theta_z\ \text{ist frei wählbar} }

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \text{(3) für}\quad\theta_y=180^\circ\quad\Longrightarrow\quad\sin\theta_y=0;\quad\cos\theta_y=-1\quad\Longrightarrow\quad r_{02}=0;\quad r_{12}=0;\quad r_{22}=-1;\quad r_{20}=0;\quad r_{21}=0 }

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{alignat}{8} -r_{01}&=-r_{10}&&=\sin\theta_{z_1}\cdot\cos\theta_{z_2}-\cos\theta_{z_1}\cdot\sin\theta_{z_2}\quad&&\Longrightarrow\quad -r_{01}&&=-r_{10}&&=\sin(\theta_{z_1}-\theta_{z_2})\\ -r_{00}&=r_{11}&&=\cos\theta_{z_1}\cdot\cos\theta_{z_2}+\sin\theta_{z_1}\cdot\sin\theta_{z_2}\quad&&\Longrightarrow\quad r_{00}&&=r_{11}&&=\cos(\theta_{z_1}-\theta_{z_2}) \end{alignat} }

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Longrightarrow\quad\theta_{z_1}-\theta_{z_2}=\text{atan2}(-r_{01}, r_{00})=\text{atan2}(-r_{10}, r_{11})\quad \text{mit}\quad\theta=\text{atan2}(\sin\theta, \cos\theta)\quad\text{Lösung mit einem Freiheitsgrad,}\ \theta_x\ \text{oder}\ \theta_z\ \text{ist frei wählbar} }

Imperial Measures

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (\,(\,\underbrace{ \underbrace{ \underbrace{ \underbrace{ \underbrace{ \underbrace{ \underbrace{25.4\text{ mm}}_\text{= 1 inch}\;\times\; 2\cdot 2\cdot 3\;=304.8\text{ mm} }_\text{= 1 foot = 12 inch}\,)\;\times\;3\;=914.4\text{ mm} }_\text{= 1 yard = 3 foot = 36 inch}\,)\;\times\;5.5 }_\text{= 1 rod = 5.5 yard}\;\times\;2\cdot 2 }_\text{= 1 chain = 4 rod = 22 yard}\;\times\;2\cdot 5 }_\text{= 1 furlong = 10 chain = 220 yard}\;\times\;2\cdot 2\cdot 2\;=1{,}609{,}344\text{ mm} }_\text{= 1 mile = 8 furlong = 80 chain = 1,760 yard = 5,280 foot = 63,360 inch} }

Continuously Variable Transmission

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{alignat}{4} \text{with} \quad & i_{12} = \frac{\omega_1}{\omega_2} \ \text{and} \ \omega_3 = 0 \ && \Longrightarrow \ i_{23} = 1 - \frac 1{i_{12}} \ ; \ \ \text{with} \ i_{23} = \frac{\omega_2}{\omega_3} \ \text{and} \ \omega_1 = 0 \qquad \text{and} \qquad i_{31} = \frac 1{1 - i_{12}} \ ; \ \ \text{with} \ i_{31} = \frac{\omega_3}{\omega_1} \ \text{and} \ \omega_2 = 0 \\ \text{with} \quad & i_{12} = \frac nm && \Longrightarrow \ i_{23} = \frac {n-m}n \qquad \text{and} \qquad \ i_{31} = \frac m{m-n} \\ & \qquad \ i_{12} \ \cdot \ i_{23} \ \cdot \ i_{31} && = \quad i_{12} \ \cdot \ \frac{-(1-i_{12})}{i_{12}} \ \cdot \ \frac 1{1 - i_{12}} \quad = \quad \frac nm \ \cdot \ \frac {n-m}n \ \cdot \ \frac m{-(n-m)} \quad = \quad -1 \end{alignat} }