Benutzer:Ploetzlich/Vehring'sche Zahl

Dieser Artikel ist im Entstehen und noch nicht Bestandteil der freien Enzyklopädie Wikipedia.

Solltest du über eine Suchmaschine darauf gestoVorlage:SSen sein, bedenke, dass der Text noch unvollständig sein und Fehler oder ungeprüfte Aussagen enthalten kann. Wenn du Fragen zum Thema hast, nimm Kontakt mit dem Autor Ploetzlich auf.

Die vehringsche Zahl $veh$ ist eine mathematische Konstante, die von Herrn Professor Dr. Vehring (Hochschule Bremen) zu Übungszwecken für seine Studenten entwickelt wurde. Die Zahl $veh$ ergibt sich aus der Lösung für folgende Fragestellung:

Eine Ziege wird auf einer kreisförmigen Wiese am Rand angepflockt. Wie lang muss die Kette sein, damit die Ziege genau die Hälfte der Kreisfläche abweiden kannn?

Nach oben stehender Fragestellung und nebenstehender Zeichnung ergibt sich:

$y1(x)={\sqrt {R^{2}-x^{2}}}$

$y2(x)={\sqrt {r^{2}-(x-R^{2})}}$

Schnittstelle: $x=R-{\frac {r^{2}}{2R}}$

Nullstelle: $x=R-r$

Stammfunktionen:

$Y1(x)={\frac {\sin ^{-1}(x\cdot |{\frac {1}{R}}|)\cdot R^{2})}{2}}+{\frac {x\cdot {\sqrt {R^{2}-x^{2}}}}{2}}+C$

$Y2(x)={\frac {\sin ^{-1}((x-R)\cdot |{\frac {1}{r}}|)\cdot r^{2})}{2}}+{\frac {(x-R)\cdot {\sqrt {-x^{2}+2Rx+r^{2}-R^{2}}}}{2}}+C$

Bestimmte Integrale:

$\int _{0}^{R-{\frac {r^{2}}{2R}}}y1(x)\,\mathrm {d} x={\frac {R^{2}\cdot \sin ^{-1}\cdot ({\frac {2R^{2}-r^{2}}{2R^{2}}})}{2}}+{\frac {(2R^{2}-r^{2})\cdot {\sqrt {4R^{2}-r^{2}}}}{8r}}=A_{1}(r,R)$

$\int _{R-r}^{R-{\frac {r^{2}}{2R}}}y2(x)\,\mathrm {d} x={\frac {-r^{3}\cdot {\sqrt {4R^{2}-r^{2}}}}{8R^{2}}}-{\frac {r^{2}\cdot \sin ^{-1}{\frac {r}{2R}}}{2}}+{\frac {r^{2}\cdot \pi }{4}}=A_{2}(r,R)$

Definiere wie folgt:

$x=r,y=Rundf(x,y)=A_{1}(r,R),g(x,y)=A_{2}(r,R)$

Lösung

$g(x,1)=f(x,1),x)\Rrightarrow x=1,12600818435...$

Da sich die Verhältnisse durch zentrische Streckung auf alle Kreise übertragen lassen, gilt, dass das Verhältnis der beiden Radien konstant ist.

${\frac {r}{R}}=1,12600818435...=veh$