Benutzer:Psychrometer/Biegemoment

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Diese Seite enthielt ursprünglich eine Kopie von Biegemoment Stand 12. Jun 2013. Sie wird von mir als Scratchpad und Notizblatt zur Weiterentwicklung des Artikels genutzt.

Bisherige Autorenschaft bitte der dortigen Versionsgeschichte entnehmen. --Pyrometer (Diskussion) 13:14, 17. Jun. 2013 (CEST)

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Datei:Test-Krag.JPG

Biegung eines Kragträgers

In der technischen Mechanik wird ein physikalisches Drehmoment, das an einem schlanken Bauteil (Balken, Träger, …) oder einem flachen Bauteil (Schale, Platte, Membran,…) eine Biegung verursacht, als Biegemoment bezeichnet.

In der technischen Mechanik wird ein physikalisches Drehmoment, das an einem schlanken oder flachen Bauteil eine Biegung verursacht, als Biegemoment bezeichnet. Ursache für Biegemomente sind Kräfte, die senkrecht zur Längsrichtung auf das Bauteil einwirken. Biegemomente spielen eine zentrale Rolle in der Balkentheorie und sind maßgeblich für die Verformung eines Balkens unter Querkräften.

Die Einheit des Biegemoment ist das Newtonmeter.

Nachweis, dass in der Physik Drehmoment auch als Moment läuft: LandauS133 

Einzelheiten

Zur Berechnung der inneren Momente wird das Bauteil an der interessierenden Stelle gedanklich durchgeschnitten und es werden diejenigen Momente betrachtet, die an einem Teilstück in Bezug auf die Schnittstelle wirken. Das Biegemoment an einer Stelle $x$ ist damit die Summe aller Drehmomente, die von Kräften auf einer Seite der Schnittstelle $x$ verursacht werden.

Man kann diese Untersuchung an einem beliebigen der beiden Teilstücke durchführen, da sich aus Gleichgewichtsgründen für beide Seiten entgegengesetzt gleiche Werte ergeben.

Beispiel

Datei:Test-Mitte.JPG

Momentenverlauf am einem Balken mit mittiger Einzel-Last

Hinweis auf statisches Gleichgewicht mit $\sum _{i=1}^{N}F_{i}$ und $\sum _{i=1}^{N}F_{i}x_{i}$

Im einem ab beiden Enden gestützten Balken mit mittiger Einzellast (nebenstehende Zeichnung) unterliegt das linke Teilstück einem rechtsdrehenden Drehmoment (in der technischen Mechanik kurz Moment genannt), welches von der Auflagekraft $F_{L}=F/2$ am linken Lager verursacht wird. Das Moment wächst von Null am Lager linear bis zum Maximalwert in der Mitte. Rechts der Mitte kommt aus der belastenden Kraft $F$ ein linksdrehendes Drehmoment hinzu. Dieses Moment wächst vom Wert Null bis zum Maximalwert am rechten Lager. Die Summe dieser beiden Momente fällt vom Maximalwert in der Mitte linear bis Null am rechten Ende.

Für den Beispielfall der Zeichnung ergibt sich für das linke Teilstück ein rechtsdrehendes Moment, welches von der Kraft $F_{L}$ am linken Lager verursacht wird. Das Moment steigt vom linken Lager linear bis zum Maximalwert in der Mitte. Rechts der Mitte steuert die Kraft $F$ zusätzlich ein linksdrehendes Moment bei, so dass ab der Mitte bis zum rechten Lager die Summe der Momente linear bis null abnimmt.

$M(x)={\begin{cases}-F/2\cdot x&{\text{(links der Mitte)}}\\-F/2\cdot (l-x)&{\text{(rechts der Mitte)}}\end{cases}}$

In der Mitte des Balkens ($x=l/2$) ist das Biegemoment maximal und hat den Wert:

$M_{max}=-{\frac {F\cdot l}{4}}$

Biegelinie

→ Hauptartikel: Biegelinie

Die Form eines elastisch verbogenen Balkens wird mathematisch durch seine Biegelinie $w(x)$ beschrieben. Nach der Balkentheorie gilt folgende Näherungsformel:

$w''(x)={\frac {1}{R}}=-{M(x) \over E\cdot I}$     ($w''$ ist die Krümmung der Biegelinie, $R$ der Krümmungsradius)

Der Elastizitätsmodul $E$ ist eine Materialeigenschaft. Das axiale Flächenträgheitsmoment $I$ ist eine rein geometrische Größe, die den Einfluss von Größe und Form der Querschnittsfläche auf die Stärke der Krümmung angibt. Sie kann für Standardquerschnitte aus Tabellen entnommen werden und hat die SI-Einheit m⁴. Die Näherungsformel gilt für Balken gleichbleibenden Querschnitts (in x-Richtung) bei geringen Biegung um eine Symmetrieachse (genau gesagt: Hauptträgheitsachse) der Querschnittsfläche.

Die Krümmung $w''$ ist proportional zum Biegemoment $M$. Im Beispiel sind beide in Balkenmitte $(x=l/2)$ am größten.

$w''(l/2)=-{F\cdot l \over 4\cdot E\cdot I}$

Der Fall einer schiefen Biegung (nicht um eine Hauptträgheitsachse des Querschnittes) kann durch die Betrachtung einer ungestörten (sicherheitshalber verfizieren!) Überlagerung von zwei Fällen jeweils gerader Biegung um die beiden Hauptträgheitsachsen des Querschnittes beschrieben werden.

Anmerkung:
Das negative Vorzeichen des Biegemomentes ist eigentlich völlig willkürlich. 
Würde man den rechten Teilkörper betrachten, so ergäbe sich das entgegengesetzte Vorzeichen. 
Das erscheint paradox, denn man kann man doch wohl zu Recht erwarten, dass die Betrachtung(en) 
genau nur einen Wert für das Ergebnis liefern.

Biegespannung

Datei:Test-Inner.JPG

Innere Spannungen in einem gebogenen Balken

→ Hauptartikel: Biegespannung

Bei der Biegung wird das Material an der Innenseite des Bogens gestaucht und an der Außenseite gedehnt. Dabei entstehen im Inneren des Balkens Spannungen. In der inneren Randfaser herrscht die größte Druckspannung, in der äußeren Randfaser die größte Zugspannung. Durch den geometrischen Schwerpunkt der Querschnittsfläche verläuft eine waagerechte Fläche, genannt neutrale Faser, in der die Spannung null ist und deren Länge unverändert bleibt.

Die Höhe der Biegespannung bestimmt, ob der Balken sich bleibend verformt oder gar bricht.

Die Biegespannung $\sigma _{B}$ ist aus geometrischen Gründen proportional zum Abstand $z$ von der neutralen Faser:

$\sigma _{B}(z)={\frac {M}{I}}\cdot z$

Dividiert man das Flächenträgheitsmoment $I$ durch den Abstand $z_{r}$ der Randfaser von der neutralen Faser, so erhält man die Größe Widerstandsmoment $W$. Sie kann für Standardquerschnitte aus Tabellen entnommen werden und hat die SI-Einheit m³.

$W=I/z_{r}$

Mit dem Widerstandsmoment kann man die maximale Spannung unabhängig von der z-Koordinate ausdrücken:

$\sigma _{B}(z_{r})={\frac {M}{W}}$

Für das Beispiel entsteht mit den Werten   $x=l/2$   und   $M=F\cdot l/4$ folgende Grenz-Bedingung gegen Biegeversagen:

${\sigma _{B}}_{max}\geq {\frac {F\cdot l}{4\cdot W}}$

Spannung (Mechanik) (spannungstensor): Die Diagonalelemente \sigma stellen dabei die Normalspannungen dar, 
also die Kräfte, die senkrecht zur Fläche wirken. Sie werden je nach Richtung Zugspannung (positives Vorzeichen) 
oder Druckspannung (negatives Vorzeichen) (und deren skalare Größe Druck) genannt. 
Die nichtdiagonalen Elemente \tau werden als Schubspannungen bezeichnet...

Hier im Artikel kommen wir zum entgegengesetzten Vorzeichen für die Spannung. Warum?

ToDo: In den Artikeln (Flächen-)Trägheitsmoment/Widerstandsmoment klarer herausarbeiten:
Das Flächenträgheitsmoment ist ein Moment der Mechanik. Das Widerstandsmoment nicht, es ist eine abgeleitete Größe von Trägheitsmoment.
Das Trägheitsmoment ist ein Proportionalitätsfaktor zwischen Biegemoment und Krümmung (für ein bestimmtes E-Modul) 
und beschreibt (zusammen mit  dem E-Modul vollständig) den Zusammenhang Moment->Verformung. 
Das Widerstandsmoment nimmt zusätzlich die Ausdehnung in z-Richtung in Betracht und gibt Aufschluss 
über das Verhältnis zwischen Moment und Maximalspannung. 
Bei unsymmetrischen Querschnitten (neutrale Faser nicht mittig) gibt es stets ZWEI verschiedene Widerstandsmomente
von denen in Tabellen meist nur das kritische (höhere Spannung in weiter entfernter Außenfaser) angegeben wird.

Herleitung der Biegeline aus Drehmoment-Gleichgewicht zwischen äußeren Kräften den inneren Spannungen (=Schnittreaktionen)

Kann vielleicht rein, aber muss nicht. Just for fun.

Datei:Test-Inner.JPG

Innere Spannungen in einem gebogenen Balken

Durch die Biegung wird das Material des Balkens an der Oberseite gestaucht und an der Unterseite gedehnt. Dabei entstehen im Inneren des Balkens Spannungen. In der oberen Randfaser herrscht die größte Druckspannung, in der unteren Randfaser die größte Zugspannung. Durch den geometrischen Schwerpunkt der Querschnittsfläche verläuft eine waagerechte Fläche, genannt neutrale Faser, in der die Spannung null ist und deren Länge unverändert bleibt.

Aus der Betrachtung von Dehnung und Stauchung der axialen Fasern des Balkens bei einer Biegung mit dem Radius R ergibt sich aus dem Strahlensatz:

Die Biegespannung $\sigma _{B}$ ist (aus diesen geometrischen Gründen) proportional zum Abstand $z$ von der neutralen Faser:

$\sigma _{B}(z)={\frac {E}{R}}\cdot z$

Mit E-Modul $E$ und Biegeradius $R$.

Erwähnenswert?: Summe aller (waagerechten) Spannungskräfte ist null. Eine senkrechte Schubkraft von F/2 ist vorhanden, bleibt aber wegen vergleichsweise kleiner Wirkung außer Betracht.

Wegen des statischen Gleichgewichtes (Momentensumme gleich null) ist

• die Summe aller (Dreh-)Momente der Druck- und Zugkräfte in der Schnittfläche in Bezug auf die neutrale Faser

$M_{Summe-Schnitt}=\int _{A}z\cdot \sigma _{B}(z)dA$

entgegengesetzt gleich zu dem Moment

• $M_{Summe-Aussenkraefte}(x)$ ,

welches die äußeren Kräfte an dem abgeschnittenen Teilbalken auf die Schnittfläche bei $x$ erzeugen.

Anmerkung: Die erste Summe ist unabhängig davon, wo innerhalb der Schnittfläche der Bezugspunkt für die Momente dieser Summe gewählt wird. Es muss nicht unbedingt die neutrale Faser sein, aber diese Wahl macht die Sache übersichtlicher.

Mit $\sigma _{B}(z)=E/R\cdot z$ wird das Gesamtmoment der Zug- und Druckkräfte zu:

$M_{Summe-Schnitt}=E/R\cdot \int _{A}\mathrm {z} ^{2}\,\mathrm {d} A$

Das Integral darin wird als „Flächenträgheitsmoment“ definiert. Das Flächenträgheitsmoment ist eine rein geometrische Größe (Einheit m^4), die den Einfluss von Größe und Form der Querschnittsfläche auf das Biegeverhalten des Balkens angibt.

Damit lautet die Gleichgewichtsbedingung $-M=E/R\cdot I$ und daraus ergibt sich als Bedingung für die Biegelinie $w(x)$ der Zusammenhang:

$w''(x)=1/R=-{\frac {M(x)}{E\cdot I}}$

Notizen

In Biegelinie gibt es diese Herleitung schon, aber sie ist um einiges abstrakter formuliert. Redundanz abklopfen und ggf. vorbeugend die Existenz dieser Herleitung gegen Redundanz-Bedenken begründen!

Eigentlich hat der ganze Artikel schon von der Anlage her etwas von einem Rohrkrepierer. Hätte man als Beipiel den einseitig eingespannten Kragbalken verwendet, würden einige Darstellungsprobleme gar nicht erst auftauchen. Mit x=0 an der Spitze eins Balkens, der rechts eingespannt ist, würde der Momentenverlauf ohne weitere Überlegungen direkt ins Auge springen, und es wären "von Haus aus" positive Momente. Der ganze Komplex "Schnittreaktionen" könnte dann außen vor bleiben.

Kein Weg für äöüß im Index von math-Ausdrücken?

Das folgende passt mir nicht so recht im Biegemoment, aber in Moment (Technische Mechanik) (und vielleicht auch in Drehmoment) könnte es (oder ein Teil davon) passen:

Der Begriff Moment der tech. Mech. ist identisch zum Drehmoment der Physik definiert. Im realen Umgang werden Momente der TM im statischen Fall (also ohne Drehbewegung) einfach als Moment oder auch als statisches Moment bezeichnet. Zu diesem (statischen) Moment hinzu gesellt sich ein ganzer Zoo von speziellen Erscheinungsformen dieser (Dreh-)Momente, die nach dem jeweiligen Auftreten/Anwendungsfall z. B. Biegemoment, Kippmoment, Torsionsmoment usw. benannt sind. Im Falle von Drehbewegungen wird auch in der TM das Wort Drehmoment bevorzugt. Auch davon werden weitere Begriffe abgelitten: Kippmoment, Antriebsmoment, Anzugsmoment etc. Dabei fällt nur die gelegentliche Bezeichnung des Torsionsmomentes als Drehmoment etwas aus der Systematik heraus.

Des weiteren gibt es im der TM eine ganze Sammlung von gänzlich anderen Momenten, die nicht mit dem (physikalischen) Drehmoment identisch sind, sondern wegen ihrer gleichartigen Definition durch den mathematischen Momentbegriff unter diesem Begriff versammelt sind: Fächenträgheitsmoment, Massenträgheitsmoment Widerstandsmomet usw.

Um die Verwirrung zu komplettieren ist es in manchen Fällen so, dass ein "echtes Drehmoment" (im physikalischen Sinn) als ein Moment (im Sinne der mathematischen Definition entsteht. (Integral über Volumen: Erdbeschl. * Achsabstand x Rho dV ergibt ein Drehmoment.)

"Es ist die Summe der links oder rechts an einem Schnitt durch das Bauteil angreifenden Momente (Drehmomente) aller Kräfte." Diese wunderbar einfache Definition gab es schon mal im Artkel. Leider ist sie irgendwann unter die Räder gekommen.

Siehe auch

• Balkentheorie
• Torsionsmoment
• Moment (Technische Mechanik)
• Statische Berechnung