Benutzer:Pyrrhocorax/Impulsstrom

Der Impulsstrom ist eine Größe der Kontinuumsmechanik, die den Transport von Impuls beschreibt.

Der Impuls kann (ähnlich wie die Ladung in der Elektrodynamik) als substanzartige Größe aufgefasst werden, die zwischen zwei Körpern (1) und (2) über eine dazwischenliegende Grenzfläche $A$ ausgetauscht werden kann. Dabei ist der Impuls eine Erhaltungsgröße. Das bedeutet, dass (1) genau den Impuls abgibt, der von (2) aufgenommen wird und umgekehrt. (Diese Aussage entspricht dem Wechselwirkungsgesetz). Man definiert nun die Impulsstromstärke durch die Grenzfläche $A$ als den von (1) nach (2) übertragenden Impuls pro Zeiteinheit

${\vec {I}}_{A}=-{\frac {\mathrm {d} {\vec {p}}_{1}}{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} {\vec {p}}_{2}}{\mathrm {d} t}}$

Zu beachten ist dabei, dass der Impuls im Gegensatz zur Ladung eine vektorielle Größe ist. Deswegen entspricht der skalaren elektrischen Stromstärke eine vektorielle Impulsstromstärke. Die Richtung dieses Vektors gibt die Richtung des von (1) nach (2) übertragenen Impulses an, nicht die „Fließrichtung“ des Impulses. Die Impulsstromstärke hat die Dimension einer Kraft und kann daher in der Einheit Newton angegeben werden.

Der Impulsaustausch kann auf unterschiedliche Weise erfolgen:

• Es kann ein Fluid durch die Grenzfläche strömen. Dieser Anteil berechnet sich durch ${\dot {m}}{\vec {v}}$, wobei ${\dot {m}}$ die Massenstromstärke und ${\vec {v}}$ die Strömungsgeschwindigkeit ist. Für das orientierte Flächenelement kann man auch schreiben: $\rho (\mathrm {d} {\vec {A}}\cdot {\vec {v}}){\vec {v}}$.
• An der Grenzfläche $A$ treten Oberflächenkräfte auf. Hierbei unterscheidet man zwischen Druckkräften, die einen Impuls übertragen, der normal zur Grenzfläche orientiert ist, und Scherkräften, deren Impulsübertrag parallel zur Grenzfläche ist. Beidem wird durch Verwendung des Spannungstensors Rechnung getragen: ${\vec {F}}_{A}=-\int _{A}{\underline {\sigma }}({\vec {r}})\,\mathrm {d} {\vec {A}}$.

Daraus folgt für die gesamte Stromstärke:

${\vec {I}}_{A}=\int _{A}\rho {\vec {v}}({\vec {v}}\cdot \mathrm {d} {\vec {A}})-\int _{A}{\underline {\sigma }}({\vec {r}})\,\mathrm {d} {\vec {A}}$

Unter Verwendung der Impulsstromdichte ${\underline {T}}({\vec {r}})$ vereinfacht sich das Integral zu

${\vec {I}}_{A}=\int _{A}{\underline {T}}({\vec {r}})\cdot \mathrm {d} {\vec {A}}$

Spezialfälle

Festkörper

Wenn keine Materie durch die Grenzfläche bewegt wird, ist die Impulsstromstärke identisch mit der dort wirksamen Oberflächenkraft:

${\vec {I}}_{A}={\vec {F}}_{A}$.

In diesem Sinne wird sie im Karlsruher Physikkurs anstelle des Kraftbegriffs eingeführt.

Impulserhaltung

Wird ein Volumen $V$ betrachtet, das von der geschlossenen Fläche $\partial V$ umschlossen ist, so ändert sich der Impuls des Volumenelements genau dann nicht, wenn der Impulsstrom über die Randfläche genau die Volumenkräfte ${\vec {F}}_{V}$ kompensiert:

${\vec {I}}_{\partial V}+{\vec {F}}_{V}={\vec {0}}$

Volumenkräfte greifen direkt am Volumenelement eines Körpers an. Beispiele sind die Gewichtskraft und Trägheitskräfte.