Benutzer:Quadrie/Kreis-Quotient

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Kreisverhältnis=Kreis-Quotient $\pi$

Das Kreisverhältnis = Kreis-Quotient $\pi$ ist das beim Kreis gegebene und gedachte Verhältnis = Quotient von (Kreisumfang= Kreislinie = Kreiskurve) zum Durchmesser und auch der Quotient von (Kreisfläche= Kreisscheibe) zur( Quadratfläche über dem Radius). Dieses Kreis-Verhältnis wird heute mit dem griechischen Buchstaben $\pi$ symbolisiert. Dieser Buchstabe wurde ausgehend von dem Anfangsbuchstaben des griechischen Wortes περιφέρεια – zu lateinisch peripheria, „Randbereich“ oder περίμετρος – perimetros, „Umfang“ gewählt. Das Symbol $\pi$ wurde unter anderem von William Oughtred (Theorematum in libris Archimedis de Sphaera et Cylindro Declaratio, 1647) und William Jones (Synopsis palmariorum matheseos, 1706) verwendet. Durch die Schriften von Leonhard Euler wurde das Symbol $\pi$ im 18. Jahrhundert populär. Die geometrische Grösse des Kreis-Quotienten $\pi$ ist unabhängig von der Größe des Kreises und damit eine mathematische Konstante. Der Kreis-Quotient $\pi$ kommt in zahlreichen Teilgebieten der Mathematik vor, auch ausserhalb der Geometrie. Von Kreiszahl $\pi$_num wird gesprochen, wenn der Quotient = Masszahl des Kreisumfangs / Masszahl des Durchmessers betrachtet wird.

Grössendarstellung des Kreis-Quotienten

Gezeichnetes Berechnen, anschaulich logisch nachvollziehbar

Eine anschaulich Grössendarstellung vom geometrischen Kreis-Quotient $\pi$ wird durch einen rektifizierten, bei gleichbleibender Länge gerade gebogenen Kreisbogen des ganzen Kreisumfangs (= ganzeKreislinie = ganze Kreiskurve) erreicht. Das berechnete geometrische Ergebnis vom Kreis-Quotienten wird mit $\pi$_geo symbolisiert wird. Es kann mit nur endlich vielen, von bekannten unendlich viel möglichen gezeichneten Rechenoperationen (Rechenschritten) errechnet werden. Gerechnet wird hierbei mit gezeichneten endlosen Berechnungsprozessen, wie sie Fontana(ca.1783) und weitere fanden.

Numerisches Berechnen

Für eine numerische Grössenvorstellung vom geometrischen Kreis-Quotient $\pi$ wird der numerische Quotient = Kreiszahl = (Masszahl des Kreisumfangs / Masszahl des Durchmessers) berechnet. Er hat immer nur endlich vielen wahren Nachkommastellen und wird mit $\pi$_num symbolisiert. Heute wird diese genäherte Zahldarstellung mit endlich vielen, von unendlich viel hierzu bekannten Rechenoperationen berechnet. Unendliche numerische Berechnungsprozesse wurden als unendliche Produkte zuerst von Vieta(1540-1603), Wallis(1616-1703) gefunden. Spätere Mathematiker haben dann vor allem nach effizienterern numerischen unendlichen Prozessen mit schnellerer Konvergenz gesucht und auch gefunden.

Exaktes und genähertes Berechnen

Der numerische Kreis-Quotient $\pi$_num = Kreiszahl = (Masszahl des Kreisumfangs / Masszahl des Durchmessers) wird als eine reelle Zahl berechnet, die immer nur genähert abbildet. Obwohl jede diskrete Zahl ein Verhältnis ist, gibt es aber umgekehrt für ein beliebig gegebenes Verhältnis (= Quotient) keine restlos zutreffende Grössendarstellung als Zahl. D.Laugwitz formuliert diesen Sachverhalt in aller Kürze wie folgt: "Jedes Zahlenverhältnis läßt sich geometrisch darstellen, aber nicht jedes Streckenverhältnis arithmetisch.". Auch bei einer exakten Berechnungsvorschrift für die abbildende Zahldarstellung bleibt es immer bei einer genäherten Ergebnisdarstellung, die jedoch mit immer mehr Rechenaufwand immer weiter verbessert werden kann. Bei einem nur genäherten Berechnungszusammenhang kann das genäherte Ergebnis mit mehr Rechenaufwand nicht weiter verbessert werden. Die elementar gezeichnete genäherte Konstruktion von Kochanski (ca. 1683) für den gesuchten Kreis-Quotient $\pi$_geo ist ein Beispiel dafür. Die hierzu berechnete Zahldarstellung mit vier wahren Nachkommastellen kann deshalb mit mehr Aufwand beim Berechnen nicht weiter verbessert werden.