Benutzer:Robertp/Flächenformel

Unter der Flächenformel versteht man eine Integrationsregel für die Berechnung von Flächeninhalten m-dimensionaler Fächen im $R^{n}$ (m ≤ n), sie lautet

$H^{m}(A)=\int _{G}{\sqrt {\det(Df\,^{t}Df)}}\,dL^{m},$

wobei $A=f(G)$ eine in parametrisierter Form vorliegende Fläche bezeichnet bei einer injektiven differenzierbaren Funktion $f:G\to \mathbb {R} ^{n}$ (mit $G\subset \mathbb {R} ^{m}$). $H^{m}(A)$ ist das m-dimensionale Hausdorff-Maß (der m-dimensionale Flächeninhalt) von $A$ und $L^{m}$ das m-dimensionale Lebesgue-Maß (Volumenmaß) im $R^{m}$. Der Faktor im Integral wird die verallgemeinerte Jacobi-Determinante von $f$ genannt; $Df$ ist die Ableitung (Funktionalmatrix) von $f$ und $Df$ $^{t}$ deren Transponierte.

Eine allgemeinere Formulierung der Flächenformel lautet

$\int _{A}g\,dH^{m}=\int _{G}(g\circ f){\sqrt {\det(Df\,^{t}Df)}}\,dL^{m}$

und liefert den Wert des Integrals einer auf der Fläche $A$ definierten Funktion $g$ nach dem Hausdorff-Maß $H^{m}$.

Als Voraussetzungen für diese Formeln sind $L^{m}$-Messbarkeit von $G$ und $H^{m}$-Messbarkeit von $g$ zu nennen.

Im Spezial m = n ergibt die Flächenformel die Transformationsformel aus der Maß- und Integrationstheorie.

Literatur

• Herbert Federer: Geometric Measure Theory. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, Vol. 153, Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York, 1969