Benutzer:Saibo/Mittelwerte

Arithmetisches Mittel

Das arithmetische Mittel (auch Durchschnitt) ist der am häufigsten benutzte Mittelwert und wird deshalb auch als Standardmittelwert bezeichnet.

Liegen von einem Merkmal n Beobachtungen vor, errechnet sich das Mittel der Stichprobe als

Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle {\bar {x}}_{arithm}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{x_{i}}={\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}}{n}}}

Liegen die Beobachtungen als klassierte Häufigkeit vor, kann man das arithmetische Mittel näherungsweise mit den Klassenmitten bestimmen.

Das arithmetische Mittel einer Stichprobe ist nach vielen Kriterien eine geeignete Schätzung für den Erwartungswert der Verteilung, aus der die Stichprobe stammt. Es ist sehr empfindlich gegenüber Ausreißern (siehe „Median“ im Abschnitt "Sonstige Mittelwerte").

Geometrisches Mittel

Das geometrische Mittel ist die n-te Wurzel aus dem Produkt der Messwerte; es ist ein geeignetes Lagemaß für Größen, von denen das Produkt anstelle der Summe interpretierbar ist, z. B. von Verhältnissen oder Wachstumsraten.

${\bar {x}}_{geom}={\sqrt[{n}]{\prod _{i=1}^{n}{x_{i}}}}$

Im Gegensatz zum arithmetischen Mittel ist das geometrische Mittel offensichtlich nur für nichtnegative Zahlen $x_{i}$ definiert.

Harmonisches Mittel

Das harmonische Mittel ist ein geeignetes Lagemaß für Größen, die durch einen (relativen) Bezug auf eine Einheit definiert sind – der Bezug wird durch das Wort „pro“ signalisiert: z.B. Geschwindigkeiten (Strecke pro Zeiteinheit) oder Ernteerträge (Gewicht oder Volumen pro Flächeneinheit).

Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle {\bar {x}}_{harm}={\frac {n}{\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{x_{i}}}}}}

Mit dieser Formel ist das harmonische Mittel zunächst nur für von Null verschiedene Zahlen $x_{i}$ definiert. Geht aber einer der Werte $x_{i}$ gegen Null, so existiert der Grenzwert des harmonischen Mittels und ist ebenfalls gleich Null. Daher ist es sinnvoll, das harmonische Mittel als Null zu definieren, wenn mindestens eine der zu mittelnden Größen gleich Null ist.

Verallgemeinerter Mittelwert

Für positive Zahlen $x_{i}$ definiert man den verallgemeinerten Mittelwert als

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \bar{x}(k) = \sqrt[k]{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n{x_i^k}}}

Die Notation ist nicht einheitlich, alternativ sind auch Schreibweisen wie Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle M_k(x)} , Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle m_{k}(x)} oder Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mu_k(x)} üblich. Genauso wie die Schreibweise ist anscheinend auch die Aussprache uneinheitlich; möglich sind Varianten wie Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle k} -tes Mittel, Mittel der Ordnung oder vom Grad Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle k} oder Mittel mit Exponent Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle k} .

Mittels geeigneter Wahl des Parameters k können unter anderem die drei obigen Mittelwerte erzeugt werden:

• k -> $-\infty$: Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle \min(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})} ,
• k = 1: Arithmetisches Mittel,
• k -> 0: Geometrisches Mittel,
• k = -1: Harmonisches Mittel,
• k = 2: Quadratisches Mittel oder Effektivwert (in der Elektrotechnik),
• k -> $\infty$: Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \max(x_1, x_2, \dots, x_n)} .

Das harmonische Mittel lässt sich auch indirekt berechnen als Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle {\bar {x}}_{harm}={\frac {{\bar {x}}_{geom}^{2}}{{\bar {x}}_{arithm}}}} .

Für die Spezialwerte -1, 0, 1, 2 gilt:

${\bar {x}}_{min}\leq {\bar {x}}_{harm}\leq {\bar {x}}_{geom}\leq {\bar {x}}_{arithm}\leq {\bar {x}}_{quadr}\leq {\bar {x}}_{max}$.

Gewichtetes Mittel

Das gewichtete Mittel wird verwendet, wenn man Mittelwerte aus Stichproben der gleichen Grundgesamtheit mit verschiedenen Stichprobenumfängen miteinander kombinieren will:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^n{w_i \cdot x_i}}{\sum_{i=1}^n {w_i}} }

Für die Unsicherheit des Mittelwerts gilt:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Delta \bar{x} = \frac{1}{\sqrt{\sum_{i=1}^n{w_i}}}}

Die Gewichte Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle w_i} sind die Umfänge der Teilstichproben oder, in anderen Anwendungen, ein Maß für die Zuverlässigkeit des jeweiligen Wertes, der dementsprechend den Mittelwert mehr oder weniger stark beeinflusst. Das Gewicht kann aus der Standardabweichung des Wertes berechnet werden..

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle w_i = \frac{1}{\sigma_{i}^2} }

Verallgemeinerter Mittelwert (f-Mittel)

Sei f eine auf einem reellen Intervall Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle I} streng monotone stetige (und daher invertierbare) Funktion und

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle w_i, 0\leq w_i\leq 1, \sum_i w_i =1}

Gewichtsfaktoren. Dann ist für Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_i\in I} das mit den Gewichten $w_{i}$ gewichtete f-Mittel definiert als

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \bar{x}_f = f^{-1}\left(\sum_{i=1}^n w_i f(x_i)\right)} .

Offensichtlich gilt

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \min(x_i)\leq \bar{x}_f \leq\max(x_i).}

Für $f(x)=x$ erhält man das arithmetische, für Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle f(x)=\log(x)} das geometrische, und für Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle f(x)=x^{k}} das verallgemeinerte Mittel mit Exponent $k$.

Winsorisiertes oder gestutztes Mittel

Kann man davon ausgehen, dass die Daten durch "Ausreißer", d.h. einige wenige zu hohe oder zu niedrige Werte kontaminiert sind, so sortiert man die Beobachtungswerte nach aufsteigender Größe, schneidet eine gleiche Anzahl von Werten am Anfang und am Ende der Folge ab und berechnet von den übrigbleibenden Werten den Mittelwert. Ein 10% winsorisiertes Mittel erhält man, wenn man 5% der Gesamtzahl aller Werte am unteren und 5% am oberen Ende auslässt.

Das "a-Mittel"

Für einen gegebenen reellen Vektor

$a=(a_{1},\dots ,a_{n})$

mit

$\sum _{i=1}^{n}a_{i}=1$

wird der Ausdruck

$[a]={1 \over n!}\sum _{\sigma }x_{\sigma _{1}}^{a_{1}}\cdots x_{\sigma _{n}}^{a_{n}},$

wobei über alle Permutationen σ von { 1, ..., n } summiert wird, als "a-Mittel" [a] der nichtnegativen reellen Zahlen x₁, ..., x_n bezeichnet.

Für den Fall a = (1, 0, ..., 0), ergibt das genau das arithmetische Mittel der Zahlen x₁, ..., x_n; für den Fall a = (1/n, ..., 1/n) ergibt sich genau das geometrische Mittel.

Für die a-Mittel gilt die Muirhead-Ungleichung

Sonstige Mittelwerte

Sonstige Mittelwerte, die in einem eigenen Artikel beschrieben werden sind der Modus (eigentlich kein Mittelwert, sondern der häufigste Wert) und der Median, der robust gegenüber extremen Abweichungen, sogenannten Ausreißern, ist. Der Median ist etwas komplizierter zu berechnen. Daher wird in vielen Statistiken auf das arithmetische Mittel zurückgegriffen, obwohl die Angaben kaum den gewollten Aussagewert haben (Beispiel: Einkommensverteilung in Deutschland).

Siehe auch

• Median, Modus, Stochastik, Varianz, Wahrscheinlichkeitsverteilung, Stage migration, Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel, Effektivwert

Weblinks

• Berechnung: 'geometrisches Mittel' zweier Werte und Vergleich dazu: 'arithmetisches Mittel'