Benutzer:Saure/Werkstatt

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Darstellung

Bei Wechselgrößen muss beachtet werden, dass sich die Augenblickswerte der Spannung und der Stromstärke periodisch ändern. Am ohmschen Widerstand besteht die Proportionalität zwischen Spannung und Stromstärke nicht nur für Gleichgrößen, sondern auch für Augenblickswerte zum jeweils betrachteten Zeitpunkt. Weitere auch als lineare Widerstände bezeichnete elektrische Bauelemente reagieren zeitabhängig. Bei einem idealen elektrischen Kondensator ist die Stromstärke aufgrund der Kapazität proportional zur zeitlichen Änderung der Spannung. Die dem Kondensator von einem Erzeuger gelieferte Energie wird zum Aufbau eines elektrischen Feldes verwendet. Die Energie wird darin zunächst gespeichert. Später, nach dem Wechsel des Vorzeichens der Stromstärke, wird das Feld wieder abgebaut und die Energie zurückgespeist. – Entsprechend ist bei einer idealen Spule die Spannung aufgrund der Induktivität proportional zur zeitlichen Änderung der Stromstärke.

In den Rechnungen mit Wechselgrößen ergibt sich, dass bei diesen Bauelementen eine sinusförmige Stromstärke

$i={\hat {\imath }}\cdot \sin(\omega t+\varphi _{i})$

mit der Frequenz $f$ oder der Kreisfrequenz $\omega =2\pi f$ eine zeitlich verzögerte, ebenfalls sinusförmige Spannung

$u={\hat {u}}\cdot \sin(\omega t+\varphi _{u})$

mit derselben Kreisfrequenz zur Folge hat – oder umgekehrt. Das Beibehalten der Sinusform im zeitlichen Verlauf ist mit ein Grund, das Verhalten der genannten Bauelemente als linear zu bezeichnen. Allerdings stellt sich durch die Verzögerung ein Phasenverschiebungswinkel ein:

$\varphi _{ui}=\varphi _{u}-\varphi _{i}\ .$

Er ist nur beim ohmschen Widerstand gleich null. Außer bei diesem ist das Verhältnis $u/i$ zeitabhängig, ohne Proportionalität und zur Beschreibung in der Wechselstromtechnik ungeeignet. Sinnvoll angeben lässt sich jedoch der Quotient ${\hat {u}}/{\hat {\imath }}$ der zeitunabhängigen Amplituden (oder gleichwertig der Quotient der Effektivwerte), der als Scheinwiderstand

$Z={\frac {\hat {u}}{\hat {\imath }}}={\frac {U_{\mathrm {eff} }}{I_{\mathrm {eff} }}}$

bezeichnet wird. Beim idealen Kondensator und bei der idealen Spule ist der Scheinwiderstand so groß wie der Betrag des Blindwiderstands $X$. Beide Widerstände werden wie der ohmsche Widerstand als unabhängig von Spannung, Stromstärke und Zeit angesehen. Aber sie sind abhängig von einem Parameter, der Frequenz.

Bei einer realen Spule ist meistens der ohmsche Drahtwiderstand $R$ nicht gegenüber dem Blindwiderstand zu vernachlässigen. Da er Energie nach außen abgeben kann, wird er als Wirkwiderstand bezeichnet. Der Gesamtwiderstand ergibt sich allerdings wegen der unterschiedlichen Phasenverschiebungen nicht wie gewohnt durch arithmetische Addition. Der Phasenverschiebungswinkel beträgt bei der Induktivität +90°, bei der Kapazität −90°. Damit ist eine Pythagoreische Addition erforderlich:

Links: Zwei mit konstanter Winkelgeschwindigkeit rotierende Zeiger.
Rechts: Deren Projektionen auf die senkrechte Ursprungsgerade ergeben die Augenblickswerte, sie haben über dem Phasenwinkel $\omega t$ oder der Zeit $t$ aufgetragen einen Sinusverlauf.
Die blau gezeichnete Schwingung läuft der rot gezeichneten um 60° vor.

$Z^{2}=R^{2}+X^{2}\ .$

Zu einer recht kompakten mathematischen Behandlung ist die komplexe Wechselstromrechnung entwickelt worden, in der reelle physikalische Größen formal durch komplexe Größen ersetzt werden; $u$ und $i$ werden durch in der komplexen Ebene rotierende Zeiger abgebildet. Sie drehen sich mit konstanter Winkelgeschwindigkeit $\omega$ um den Koordinatenursprung. Ihre Längen repräsentieren die Amplituden; die Abstände der Pfeilspitzen von der reellen Achse stehen für die Augenblickswerte; sie ändern sich mit der Zeit sinusförmig.

Formelzeichen komplexer Größen werden durch Unterstreichung gekennzeichnet:

Impedanz als Zeiger in der komplexen Ebene mit ihren Komponenten.
Auf der waagerechten Achse wird der Realteil der Impedanz aufgetragen, auf der senkrechten Achse der Imaginärteil.
Der Winkel $\varphi$ in der Zeichnung entspricht dem Winkel $\varphi _{ui}$ im Text.

${\underline {u}}={\hat {u}}\cdot \mathrm {e} ^{\mathrm {j} (\omega t+\varphi _{u})}\quad$und $\quad {\underline {i\,}}={\hat {\imath }}\cdot \mathrm {e} ^{\mathrm {j} (\omega t+\varphi _{i})}$

mit der imaginären Einheit $\mathrm {j}$, die durch $\mathrm {j} ^{2}=-1$ definiert wird. Ferner wird der komplexe Wechselstromwiderstand eingeführt, der auch Impedanz genannt wird:

${\underline {Z}}={\frac {\underline {u}}{\underline {i}}}\ .$

Anders als beim Bruch ${\tfrac {u}{i}}$ kürzt sich beim Bruch ${\tfrac {\underline {u}}{\underline {i}}}$ die im Faktor $\mathrm {e} ^{\mathrm {j} \omega t}$ enthaltene Zeitabhängigkeit heraus. Somit rotiert der zugehörige Zeiger nicht. Der komplexe Widerstand ermöglicht die Zusammenfassung von Wirk- und Blindwiderstand zu

${\underline {Z}}=R+\mathrm {j} X$

und die Zusammenfassung von Scheinwiderstand und Phasenverschiebungswinkel zu

${\underline {Z}}=Z\cdot \mathrm {e} ^{\mathrm {j} \varphi _{ui}}\ .$

Davon wird nachfolgend Gebrauch gemacht.