Benutzer:SigmaB/Hilbertscher Nullstellensatz

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Der hilbertsche Nullstellensatz ist ein zentraler Satz in der klassischen algebraischen Geometrie. Er liefert für einen algebraisch abgeschlossene Körper $K$ eine Bijektion zwischen algebraischen Mengen in $K^{n}$ und Radikalidealen im Polynoming $K[X_{1},\dotsc ,X_{n}]$. Damit erhält man eine Verbindung zwischen den mathematischen Teilgebieten der algebraischen Geometrie und der kommutativen Algebra. Benannt ist der Nullstellensatz nach David Hilbert, der ihn 1893 veröffentlichte.

Formulierung des Nullstellensatzes

Sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und ${\mathfrak {a}}\subseteq K[X_{1},\dots ,X_{n}]$ ein Ideal. Dann gilt:

${\sqrt {\mathfrak {a}}}=I(V({\mathfrak {a}})).$

Hierbei ist

• ${\sqrt {\mathfrak {a}}}$ das Radikal von ${\mathfrak {a}}$, also ${\sqrt {\mathfrak {a}}}:=\{f\in K[X_{1},\dots ,X_{n}]\mid \exists n\in \mathbb {N} :f^{n}\in {\mathfrak {a}}\}$.
• $V({\mathfrak {a}}):=\{x\in K^{n}\mid f(x)=0\forall f\in {\mathfrak {a}}\}\subseteq K^{n}$ die Menge aller gemeinsamen Nullstellen von ${\mathfrak {a}}$ (wie oben), und
• $I(X):=\{f\in K[X_{1},\dotsc ,X_{n}]\mid f_{X}=0\}$ das Ideal aller Polynome, die auf $X\subseteq K^{n}$ verschwinden.

Die Inklusion ${\sqrt {\mathfrak {a}}}\subset I(V({\mathfrak {a}}))$ ist dabei trivial, denn jede Nullstelle von $f(T)^{r}$ ist auch Nullstelle von $f(T)$.

Äquivalente Versionen des Nullstellensatzes

Schwacher Nullstellensatz

• Ist $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und ${\mathfrak {a}}\subsetneq K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ ein echtes Ideal, so gibt es ein $x\in K^{n}$, so dass

$f(x_{1},\ldots ,x_{n})=0$ für alle $f\in {\mathfrak {a}}$.

$x$ ist also eine gemeinsame Nullstelle aller Elemente von ${\mathfrak {a}}$.

• Es sei $K$ ein Körper und ${\mathfrak {m}}$ ein maximales Ideal in $A=K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$. Dann ist der Grad der Körpererweiterung $[A/{\mathfrak {m}}:K]$ endlich.

• Es sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und ${\mathfrak {m}}$ ein maximales Ideal in $K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$. Dann ist ${\mathfrak {m}}=(x_{1}-a_{1},\ldots ,x_{n}-a_{n})$ für einen Punkt $(a_{1},\ldots ,a_{n})\in K^{n}$

Zariskis Lemma

• Es sei $K$ ein Körper und $L/K$ eine Körpererweiterung, die als $K$-Algebra endlich erzeugt ist. Dann ist $[L:K]$ endlich; insbesondere ist die Erweiterung algebraisch.

Folgerungen

Aus dem hilbertschen Nullstellensatz folgt, dass die Abbildungen $V$ und $I$ für einen algebraisch abgeschlossenen Körper eine bijektive Beziehung zwischen affinen algebraischen Mengen in $K^{n}$ und Radikalidealen in $K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ definieren. Diese lässt sich einschränken auf bijektive Beziehungen zwischen irreduziblen algebraischen Mengen und Primidealen und zwischen Punkten in $K^{n}$ und maximalen Idealen.

Siehe auch

• Noetherscher Normalisierungssatz
• Artin-Tate Lemma

Literatur

• David Hilbert: Über die vollen Invariantensysteme. Math. Ann. 42, 1893, S. 313-373, http://gdz.sub.uni-goettingen.de/dms/load/img/?PID=GDZPPN002254263.
• J. L. Rabinowitsch: Zum Hilbertschen Nullstellensatz Math. Ann. 102, 1930, S. 520, http://gdz.sub.uni-goettingen.de/dms/load/img/?PID=GDZPPN002273764.
• Oscar Zariski: A new proof of Hilbert's Nullstellensatz.. Bull. Amer. Math. Soc. 53, no. 4, 1947, S. 362-368, http://projecteuclid.org/euclid.bams/1183510605.

Weblinks

• 

  Wikiversity: Ein Beweis des Hilbertschen Nullstellensatzes – Kursmaterialien
• Terence Tao Hilberts Nullstellensatz