Benutzer:Siliurp/Ana2

Ana2

Basierend auf der Vorlesung der Uni Tübungen Ulrich Groh und den Analysis Vorlesungen für Physiker der HU Berlin

Vorlesung 1

Begriffe

Metrik (oder auch axiomatischer Abstandbegriff) - $d:X\times X\Rightarrow \mathbb {R}$ - Abbildung $d$ einer Menge $X$ auf den $\mathbb {R}$, für die gilt:

1. positiv Definitheit: $d(x,y)=0\iff x=y$ - der Abstand zwischen $x$ und $y$ ist gleich $0$, bzw. $x$ und $y$ sind gleich und $d(x,y)\geq 0$ - die Abbildung $d$ ist immer größer-gleich $0$
2. Symmetrie: $d(x,y)=d(y,x)$ - es ist egal von welchem Punkt $x$ oder $y$ gemessen wird, die "Länge" soll immer gleich bleiben
3. Dreiecksungleichung: $d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z)$

Das Paar $(X,d)$ heißt metrischer Raum.

Beispiele für eine beliebige Menge $X$ im $\mathbb {R}$

1. Der Betrag: $d(x,y):|x-y|={\sqrt {x^{2}-y^{2}}}$
2. diskrete Metrik: Fehler beim Parsen (Unbekannte Funktion „\begin{array}“): {\displaystyle d(x, y): \left\{ \begin{array} 0 für x = y \\ 1 für x = y \end{array} }
3. französische Eisenbahn-Metrik: Fehler beim Parsen (Unbekannte Funktion „\begin{array}“): {\displaystyle P,x,y \in X d(x,y): \left\{ \begin{array} 0 für x = y \\ \overline{xy} = \overline{xP} + \overline{Py} \end{array} }

offene Kugel $B(x_{0},r)$ mit Radius $r>0$ um $x_{0}$ $B(x_{0},r)={x\in X:d(x,x_{0})<r}$ (bei reellen Zahlen entspricht dies gerade dem offenen Intervall $in\mathbb {R} ]x_{0}-r,r+x_{0}[)$

abgeschlossene Kugel um $B[x_{0},r]$ ist gleich $B(x_{0},r)={x\in X:d(x,x_{0})\leq r}$

Sphäre: Fehler beim Parsen (Unbekannte Funktion „\B“): {\displaystyle S(x_0,r)=B[x_0,r]\B(x_0,r)={x:d(x,x_0)=r}}

Übung: Was ist $B(x_{0},r)$ und $B[x_{0},r]$ für $x_{0}>r$ oder $x_{0}<r$, für die Beispielmetriken?

Die Norm $\|\cdot \|$ - Die Norm ist eine Abbildung, die in einem Vektorraum den Abstand eines beliebigen Punktes in diesem Vektorraum zum Ursprung beschreibt. Sie ist eine gewichtete (also mit einer Länge versehen), orientierte (also ein Vektor mit definierter Richtung) Strecke mit den folgenden Eigenschaften: $X$ - Vektorraum im $\mathbb {R}$ $\|x\|=d:X\times X\Rightarrow \mathbb {R}$

1. positiv definit: $\|x\|\geq {\vec {0}}$ und $\|x\|={\vec {0}}\iff x=0$
2. Homogenität: $\|\lambda x\|=|\lambda |\|x\|$ - die Länge der Norm eines bestimmten Punktes $x$ mal eimem Skalar $\lambda$ ist genauso groß wie die Norm von diesem Punkt $x$ mal dem Skalar $\lambda$. Die Länge des $x$ -Vektors bleibt also auch bei Multiplikation mit einem Skalar gleich.
3. Dreiecksungleichung: $\|x+y\|\leq \|x\|+\|y\|$

In einem normierten Vektorraum ist immer schon eine Metrik vorhanden, allerdings setzt ein metrischer Raum keine Norm voraus. Eine Metrik ist also immer allgemeiner als eine Norm. Dieses Blatt wird sich allerdings mehr mit Normen, denn mit Metriken befassen.

Skalarprodukt (aka. euklidischer Vektorraum oder Hilbert Raum) gibt Auskunft darüber, wie Vektoren im Raum zueinander liegen, also wie der Winkel zwischen ihnen ist.

offene Menge: -> zu jedem x findet sich eine Umgebung epsylon $O\subseteq X$ $\forall x\in O\exists r=r(x):B(x_{0},r)\subseteq O$

abgeschlossene Menge: -> komplment ist offen

Vorlesung 3

Konvergenz

"Die Abstände werder klein."

$(X,d);x_{n},n\in \mathbb {N}$

$(x_{n})$ heißt konvergent gegen $x\in X$:

$\forall \epsilon >0\exists n_{0}=n(\epsilon )\forall n\in \mathbb {N}$ $n\geq n_{0}\Rightarrow d(x_{n},x)<\epsilon$ $\left(d(x_{n},x)\right)_{n\in \mathbb {N} }$ im $\mathbb {R}$ ist eine Nullfolge.

Beispiel 1: Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle (X, d_{diskret}), d(x,y) = \left{ \begin{array}{l l} 1 & x \neq y\\ 0 & x=y \end{array}} $x_{n}\rightarrow x:\epsilon ={\frac {1}{2}}\,\exists n_{0}:n\gg n_{0}d\,d(x_{n},x)<{\frac {1}{2}}$ $\Rightarrow x_{n}=x\forall n\geq n_{0}$

Stetigkeit

"Sowohl die Abstände, als auch die Bilder werden klein."

$f:(X,d_{x})\rightarrow (Y,d_{y})$ $x_{0}\in X:f$ stetig im $x_{0}$ $\forall \epsilon >0\exists \delta =\delta (\epsilon ,x_{0})\forall x\in X:$ $d_{x}(x,x_{0})<\delta \Rightarrow d_{y}(f(x),f(x_{0}))<\epsilon$

normierte Vektorräume

$X$ ist ein Vektorraum über $\mathbb {R} ,(\mathbb {C} )$ und sei Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle \| \cdot \|: X \rightarrow \mathbb{R} die Norm über diesen Raum. <math>\|x\| = 0 \Leftrightarrow x=0; \| \lambda x \| = | \lambda | \|x\|, \|x+y\| \leq \|x\| + \|y\| <math>d(x,y) = \|x-y\| und so ist <math>(X,d) ein metrischer Raum. Beispiele für Normen (Bild6) - aufschreiben und auf norm überprüfen (1) <math>X=\mathbb{R}, \|x\| := |x|, x \in \mathbb{R}, d(x,y)=|x-y|}

Manhattan Metrik: Blid7

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Konvergenz:

Aufgaben 1

1) Zeige ob die folgenden Abbildungen $\|\cdot \|:\mathbb {R} ^{n}\longrightarrow [0,\infty [$ Normen sind:

a) $n=2,\|(x_{1},x_{2})\|=\left({\sqrt {|x_{1}|+|x_{2}|}}\right)^{2}$

Allgemein ist eine solche Abbildung dann als Norm definiert, wenn die folgenden Bedingungen erfüllt sind:

• $\|x\|=0\leftrightarrow x=0$
• $\|\lambda x\|=|\lambda |\|x\|$
• $\|x+y\|\leq \|x\|+\|y\|$

Die ersten beiden Bedingungen sind erfüllt, bleibt noch zu zeigen, dass die Dreiecksunglechung gilt. Wir nehmen uns hier zu Probe einen möglichst einfachen, signifikanten Punkt heraus: $x=(0,1),y=(1,0)$

Es ergibt sich:

$\|x+y\|=\|(1,1)\|=4$ ist nicht kleiner-gleich $\|x\|+\|y\|=\|(0,1)\|+\|(0,1)\|=2$. Daher handelt es sich um keine Norm.

b) $n=3,\|(x_{1},x_{2},x_{3})\|={\sqrt {|x_{1}|^{2}+2|x_{2}|^{2}+3|x_{3}|^{2}}}$

Betrachtet man die abgefragte Abbildung so erkennt man die Ähnlichkeit zu der durch ein Skalarprodukt induzierten Norm (vgl. Norm_(Mathematik)#Induzierte_Normen. Wenn man nun zeigen kann, dass es sich bei dem Term unter der Wurzel um ein Skalarprodukt handelt, so handelt es sich bei der o.g. Abbildung um eine Norm.

Die Bedingungen für ein Skalarprodukt lauten wie folgt:

1. bilinear:
   • $\langle x+y,z\rangle =\langle x,z\rangle +\langle y,z\rangle$
   • $\langle x,\lambda y\rangle =\lambda \langle x,y\rangle =\langle \lambda x,y\rangle$
2. symmetrisch: $\langle x,y\rangle =\langle y,x\rangle$
3. positiv definit: $\langle x,x\rangle \geq 0,$ und $\langle x,x\rangle =0$ genau dann, wenn $x=0$

Die Abbildung $\left(|x_{1}|^{2}+2|x_{2}|^{2}+3|x_{3}|^{2}\right)$ erfüllt diese Bedingungen, wie man durch z.B. durch Einsetzen nachprüfen kann.

• Für Biliniarität:

Fehler beim Parsen (Unbekannte Funktion „\begin{pmatrix}“): {\displaystyle \langle x+y,z\rangle = \begin{pmatrix} x_1+y_1 \\ 2x_2+y_2 \\3x_3+y_3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} z_1\\z_2\\z_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_1z_1\\2x_2z_2\\3x_3z_3 \end{pmatix} + \begin{pmatrix} y_1z_1\\y_2z_2\\y_3z_3 \end{pmatrix} = \langle x,z\rangle + \langle y,z \rangle _\blacksquare}

$\langle \lambda x,y\rangle ={\begin{pmatrix}\lambda x_{1}\\2\lambda x_{2}\\3\lambda x_{3}\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}y_{1}\\y_{2}\\y_{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\lambda x_{1}y_{1}\\2\lambda x_{2}y_{2}\\3\lambda x_{3}y_{3}\end{pmatrix}}=\lambda \langle x,y\rangle =\langle x,\lambda y\rangle _{\blacksquare }$

• Symmetrie: $\langle x,y\rangle ={\begin{pmatrix}x_{1}y_{1}\\2x_{2}y_{2}\\3x_{3}y_{3}\end{pmatrix}}=\langle y,x\rangle _{\blacksquare }$

• positiv definit:$\langle x,x\rangle \geq 0,$ und $\langle x,x\rangle =0$ genau dann, wenn $x=0$ ist erfüllt, wie man durch einsetzen leicht nachprüfen kann. $_{\blacksquare }$

Dadurch ergibt sich, dass $n=3,\|(x_{1},x_{2},x_{3})\|={\sqrt {|x_{1}|^{2}+2|x_{2}|^{2}+3|x_{3}|^{2}}}$ eine Norm auf $\mathbb {R} ^{3}$ ist.

2) Kontraktion von Abbildungen Eine Abbildung ist kontraktiv, wenn sie die Menge $M$ auf sich selbst abbildet und lipschitz stetig ist, also folgende Bedingung erfüllt: $\forall x_{1},x_{2}\in X:d_{Y}(f(x_{1}),f(x_{2}))\leq L\cdot d_{X}(x_{1},x_{2})$ und $L<1$.

a) Die folgende Abbildung ist keine Kontraktion, da sie den Banachschen Fixpunksatz nicht erfüllt: $n=1,X=[1,\infty [,f(x)=x+{\frac {1}{x}}bzgl.|\cdot |$

Banachscher Fixpunksatz: Existenz und Eindeutigkeit: Eine Kontraktion $\varphi \colon M\to M$ eines (nichtleeren) vollständigen metrischen Raumes $(M,d)$ besitzt genau einen Fixpunkt, also einen Punkt $\xi \in M$ mit $\varphi (\xi )=\xi$.

Dabei ist:

• zum Beispiel jeder Banachraum, und unter diesen jeder normierte endlichdimensionale reelle oder komplexe Vektorraum, ein vollständiger metrischer Raum,
• eine Kontraktion eine Abbildung $\varphi \colon M\to M$, welche Lipschitz-stetig mit einer Konstanten $0\leq \lambda <1$ ist.

Konstruktion: Für jeden Startwert $x_{0}\in M$ konvergiert die Folge $(x_{n})$ mit $x_{n+1}:=\varphi (x_{n})$ gegen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \x_i} .

Stellt man nun die Fixpunktgleichung, für die $f(x)=x$, auf, so findet man den folgenden Fixpunkt:

$f(x)=x\rightarrow x+{\frac {1}{x}}=x\rightarrow x_{f}ix=\infty$ Da $\infty \notin X$ ist die Abbildung $f(x)=x+{\frac {1}{x}}$ keine Kontraktion auf $X=[1,\infty [$. $_{\blacksquare }$

b) Die folgende Abbildung $n=2,X=\mathbb {R} ^{2},f(x,y)={\frac {1}{2}}(sin(x),cos(y))\,bzgl.\,\|\cdot \|$ ist kontraktiv, d.h.: $\|f(x_{1},y_{1})-f(x_{2},y_{2})\|\leq |\lambda |\|(x_{1},y_{1})-(x_{2},y_{2})\|$

$\Rightarrow {\sqrt {|{\frac {1}{2}}sin(x_{1})-{\frac {1}{2}}sin(x_{2})|^{2}+|{\frac {1}{2}}cos(y_{1})-{\frac {1}{2}}cos(y_{2})|^{2}}}\leq |\lambda |{\sqrt {|x_{1}-x_{2}|^{2}+|y_{1}-y_{2}|^{2}}}$

Da die $sin$ und $cos$ Funktion um den Nullpunkt oszilleren, machen wir eine Abschätzung mithilfe des Mitterwertsatzes für Differentialrechnung. Der Mittelwertsatz besagt, dass: $|sin(x_{1})-sin(x_{2})|=|cos(\xi )||x_{1}-x_{2}|\leq |x_{1}-x_{2}|$ und $|cos(y_{1})-cos(y_{2})|=|-sin(\nu )||y_{1}-y_{2}|\leq |y_{1}-y_{2}|$

Daraus folgt für die Ursprungsgleichung: ${\sqrt {|{\frac {1}{2}}sin(x_{1})-{\frac {1}{2}}sin(x_{2})|^{2}+|{\frac {1}{2}}cos(y_{1})-{\frac {1}{2}}cos(y_{2})|^{2}}}$ $={\frac {1}{2}}\||cos(\xi )||x_{1}-x_{2}|+|-sin(\nu )||y_{1}-y_{2}|\|\leq {\frac {1}{2}}\||x_{1}-x_{2}|+|y_{1}-y_{2}|\|_{\blacksquare }$

c) Die folgende Abbildung ist kontraktiv: $n=2,X=\mathbb {R} ^{2},f(x,y)={\frac {1}{2}}(x+y,y)\,bzgl.\,\|\cdot \|_{2}$

$\|f(x_{1},y_{1})-f(x_{2},y_{2})\|={\frac {1}{2}}{\sqrt {|x_{1}+y_{1}-x_{2}-y_{2}|^{2}+|y_{1}-y_{2}|^{2}}}$

$={\frac {1}{2}}{\sqrt {|(x_{1}-x_{2})+(y_{1}-y_{2})|^{2}+|y_{1}-y_{2}|^{2}}}\leq {\frac {1}{2}}{\sqrt {|x_{1}-x_{2}|^{2}+2|(x_{1}-x_{2})(y_{1}-y_{2})|^{2}+2|y_{1}-y_{2}|}}$ Mit der Cauchy-Schwarzen Ungleichung ist weiter: $\leq {\frac {1}{2}}{\sqrt {3|x_{1}-x_{2}|^{2}+4|y_{1}-y_{2}|}}\leq {\frac {1}{2}}{\sqrt {4|x_{1}-x_{2}|^{2}+4|y_{1}-y_{2}|^{2}}}$ $<{\frac {2}{2}}{\sqrt {|x_{1}-x_{2}|^{2}+|y_{1}-y_{2}|^{2}}}_{\blacksquare }$

d) Der jeweilige Wert für $\|x\|_{infty}$ ist gegeben durch: $\|x\|_{infty}=max_{i=1,...,n}|x_{i}|$ (vgl. Maximumsnorm)

Wir überprüfen also zunächst Stichprobenartig, ob die Fixpunktgleichung für einige Punkte erfüllt ist: $max_{i}|({\frac {1}{2}}x_{1}+y_{1},y_{1})|-max_{i}|({\frac {1}{2}}x_{1}+y_{1},y_{1})|\leq \lambda max_{1}|(x_{1},y_{1})|-max_{2}|(x_{2},y_{2})|$ Setzen wir hier die Punkte $P_{1}=(1,1)$ und $P_{2}=(0,0)$ ein, so ist die Gleichung nur mit einem $\lambda =1$ erfüllt, woraus folgt, dass die Abbildung auf der unendlichen P-Norm nicht knotraktiv ist.

Iterative Grenzwerte

Überprüfung ob die Funktionen $f:{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}:x>0,y>0}\rightarrow \mathbb {R}$ einen Grenzwert $(x,y)\rightarrow (0,0)$ bzgl. einer (und folglich jeder) Norm in $\mathbb {R}$ besitzt, und Berechnung dieses Grenzwertes.

a) $f(x,y)={\frac {x}{y}}$

Man schreibt die Funktion als Skalarprodukt um, da gilt: $lim_{j\rightarrow \infty }\langle x_{j},y_{j}\rangle =\langle lim_{j\rightarrow \infty }x_{j},lim_{j\rightarrow \infty }y_{j}\rangle$. Ein Grenzwert für die gesamte Funktion existier immer dann, wenn beide Einzelgrenzwerte existieren.

$lim_{x\rightarrow 0}x=0$

$lim_{y\rightarrow 0}{\frac {1}{y}}=\infty$

Da für die ${\frac {1}{y}}$ Folge kein Grenzwert existiert, existiert für die gesamte Funktion kein Grenzwert. $_{\blacksquare }$

b) ${\frac {x}{y}}sin(y)$

Auch hier werden die Grenzwerte der Variablen wieden getrennt bestimmt, und, so vorhanden miteinander mulitpliziert:

$lim_{x\rightarrow 0}x=0<math><math>lim_{y\rightarrow 0}{\frac {sin(y)}{y}}={\frac {0}{0}}\,l'Hospital\longrightarrow lim_{y\rightarrow 0}{\frac {cos(y)}{1}}=1$

c) Ebenso für: ${\frac {x\cdot sin(x)}{y}}<math>lim_{x\rightarrow 0}x\cdot sin(x)=0$

$lim_{y\rightarrow 0}{\frac {1}{y}}=\infty$

Da für $y$ kein Grenzwert existiert hat die Funktion keinen Grenzwert.

d) $x\cdot sin({\frac {1}{y}}$

$lim_{x\rightarrow 0}x=0$

$lim_{y\rightarrow 0}sin({\frac {1}{y}})\leq 1$

Multiplizieren wir diese Grenzwerte, so erhalten wir als Grenzwert für die ganze Funktion $=0$

e) $lim_{x,y\rightarrow 0}x^{y}=0^{0}$ Wir wenden die Regel von l'Hospital an, um ggf. einen Grenzwert zu finden. Es ergibt sich (vgl. Bronstein S. 57): Fehler beim Parsen (Unbekannte Funktion „\righarrow“): {\displaystyle lim_{x \righarrow 0}ln(x) = - \infty } und $lim_{y\rightarrow 0}=0$ Da die Grenzwerte verschieden sind, existiert Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle lim_{x,y \rightarrow 0 } nicht.

f) $lim_{x,y\rightarrow 0}xy\cdot ln(x^{2}+y^{2})$ Wir schätzen den Grenzwert nach oben ab, um dann $x,y$ nacheinender gegen $0$ laufen zu lassen: $\Rightarrow lim_{x,y\rightarrow 0}xy\cdot ln(x^{2}+y^{2})\leq lim_{x,y\rightarrow 0}{\frac {1}{2}}(x^{2}+y^{2})\cdot ln(x^{2}+y^{2})\rightarrow lim_{x\rightarrow 0,y}{\frac {1}{2}}(x^{2}+y^{2})\cdot ln(x^{2}+y^{2})=lim_{y\rightarrow 0}{\frac {1}{2}}y^{2}\cdot ln(y^{2})=0\cdot \infty$ Wegen des Ergebnisses wenden wir die Regel von l'Hospital an und erhalten: $lim_{y\rightarrow 0}{\frac {1}{2}}y^{2}\cdot ln(y^{2})=lim_{y\rightarrow 0}{\frac {1}{2}}y\cdot (2y\cdot {\frac {1}{y}}=lim_{y\rightarrow 0}2y=0_{b}lacksquare$

g) $lim_{x,y\rightarrow 0}{\frac {x^{2}}{x^{2}+y^{2}}}={\frac {\infty }{\infty }}$ Daher wenden wir die Regel von l'Hospital an und erhalten: $lim_{x\rightarrow 0}-{\frac {4}{x^{2}}}=-\infty$ und $lim_{y\rightarrow 0}-{\frac {2}{y^{3}}}=-\infty$ Die Funktion konvergiert also nicht.

h) $lim_{x,y\rightarrow 0}{\frac {x^{3}}{x^{2}+y^{2}}}={\frac {\infty }{\infty }}$ Daher wenden wir die Regel von l'Hospital an und erhalten: $lim_{x\rightarrow 0}-{\frac {6}{x}}=-\infty$ und $lim_{y\rightarrow 0}-{\frac {2}{y^{3}}}=-\infty$ Die Funktion konvergiert also nicht.

Aufgabe 4*) ....

Aufgaben 2

1) zunächst berechnet man die Ableitung:

$\left({\begin{matrix}{\frac {\partial }{\partial x}}&{\frac {\partial }{\partial y}}\\{\frac {\partial }{\partial x}}&{\frac {\partial }{\partial y}}\\{\frac {\partial }{\partial x}}&{\frac {\partial }{\partial y}}\\\end{matrix}}\right)\cdot \left({\begin{matrix}xy\\{\frac {x}{y}}\\x^{y}\end{matrix}}\right)=\left({\begin{matrix}y&x\\{\frac {1}{y}}&-{\frac {x}{y^{2}}}\\y\cdot x^{y-1}&x^{y}\cdot ln(x)\\\end{matrix}}\right)$

Für einzelne Werte ergibt sich dann, wie folgt:

$f(1,1)=\left({\begin{matrix}1&1\\1&-1\\1&0\\\end{matrix}}\right)$

$f(1,2)=\left({\begin{matrix}1&2\\{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{4}}\\2&ln(2)\\\end{matrix}}\right)$

$f(2,2)=\left({\begin{matrix}2&2\\{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2}}\\4&4\cdot ln(2)\\\end{matrix}}\right)$

2) Um die Ableitugng der Funktion zu finden bildet man die Stammfunktionen der einzelnen Funktionen: $F_{x}=x+a$ und $F_{y}=y+b$ $\Longrightarrow f(x,y)=x+y+a+b$

Damit die Randbedingung $f(0.0)=0$ erfüllt ist, müssen die Konstanten so gewählt werden, dass $c=a+b=0$.

Somit gibt es genau eine differenzierbare Abbildung mit den geforderten Eigenschaften: $f(x,y)=x+y_{\blacksquare }$

3) Zu überprüfen ist, ob die Funktionen 1. im Nullpunkt Stetig sind, 2. im Nullpunkt beide partielle Ableitungen existieren, 3. ob sie im Nullpunkt differenzierbar sind und für welche Werte von $x,y$ die Richtungsableitung $\lim _{t\rightarrow 0}{\frac {1}{t}}(f(tx,ty)-f(0,0))$ existiert.

a) Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle f(x,y) = \left{ \begin{matrix} \frac{xy}{x^2+y^2} & für & x^2+y^2>0 \\ 0 & für & x=y=0 \\ \end{matrix} }

1. Stetigkeit im Nullpunkt:

Es gilt das Epsilon-Delta-Kriterium: Die Funktion $f(x,y)\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R}$ ist stetig in $x_{0}\in \mathbb {R} ^{2}$, wenn zu jedem $\varepsilon >0$ ein $\delta >0$ existiert, so dass für alle $x\in \mathbb {R} ^{2}$ mit $\|x-x_{0}\|<\delta$ gilt: $\|f(x)-f(x_{0})\|<\varepsilon$

Daher lassen wir den Abstand zwischen $x$ und $x_{0}$ klein werden, bilden also den Limes von $\lim _{x\rightarrow x_{0}}f(x)$ und wenn dieser $=f(x_{0})$ entspricht, dann ist $f(x)$ in $x_{0}$ stetig.

Für die o.g. Funktion bilden wir also den Grenzwert entsprechend: $\lim _{x,y\rightarrow 0}{\frac {xy}{x^{2}+y^{2}}}\leq \lim _{x,y\rightarrow 0}{\frac {1}{2}}{\frac {x^{2}+y^{2}}{x^{2}+y^{2}}}={\frac {1}{2}}$ mit $xy\leq {\frac {1}{2}}x^{2}+y^{2}$.Also ist $f(x,y)$ in $x,y=0$ stetig.

2. partielle Ableitung im Nullpunkt: Die partielle Ableitung ist definiert durch:

$\!\ {\frac {\partial f}{\partial h}}(a)=\partial _{h}f(a):=\lim _{t\to 0}{\frac {f(a+th)-f(a)}{t}}$

Wir setzen also entsprechend ein: ${\frac {\partial f}{\partial x}}(0)=\partial _{x}f(0):=\lim _{t\to 0}{\frac {f(0+tx)-f(0)}{t}}=\lim _{t\rightarrow 0}$