Benutzer:Suhagja/Hyperbolisches Volumen
In der Topologie, einem Teilgebiet der Mathematik, ist das hyperbolische Volumen das Volumen einer hyperbolischen Mannigfaltigkeit. Es ist eine topologische Invariante, weil es nach dem Starrheitssatz von Mostow-Prasad auf einer Mannigfaltigkeit der Dimension höchstens eine hyperbolische Metrik endlichen Volumens geben kann.
Flächen
Auf einer geschlossenen, orientierbaren Fläche vom Geschlecht ist die hyperbolische Metrik nicht eindeutig, sondern es gibt einen -dimensionalen Modulraum hyperbolischer Metriken, den sogenannten Teichmüller-Raum. Es folgt aber aus dem Satz von Gauß-Bonnet, dass alle diese Metriken das selbe Volumen
haben.
3-Mannigfaltigkeiten
Die hyperbolischen Volumina von 3-Mannigfaltigkeiten bilden eine wohlgeordnete Teilmenge der reellen Zahlen, d.h. jede Familie hyperbolischer 3-Mannigfaltigkeiten hat ein Element kleinsten Volumens.
Gerade Dimensionen
Aus dem Satz von Gauß-Bonnet-Chern folgt, dass das hyperbolische Volumen gerade-dimensionaler Mannigfaltigkeiten proportional zur Euler-Charakteristik mit einem nur von der Dimension abhängenden Proportionalitätsfaktor ist.
Ungerade Dimensionen
Auch für ungerade Dimensionen (mit Ausnahme der Dimension 3) bilden die hyperbolischen Volumina eine diskrete Teilmenge der reellen Zahlen.
