Benutzer:Suhagja/Plus-Konstruktion

Die Plus-Konstruktion (häufig als Quillens Plus-Konstruktion bezeichnet) ist ein Verfahren der algebraischen Topologie, das unter anderem bei der Definition der algebraischen K-Theorie Anwendung findet.

Konstruktion

Satz: Sei $X$ ein zusammenhängender CW-Komplex mit $H_{1}(X;\mathbb {Z} )=0$. Dann gibt es einen einfach zusammenhängenden CW-Komplex $X^{+}$ und eine Inklusion $j:X\rightarrow X^{+}$, so dass die induzierten Morphismen der Homologiegruppen

$j_{n}:H_{n}(X;\mathbb {Z} )\rightarrow H_{n}(X^{+};\mathbb {Z} )$

für alle $n\in \mathbb {N}$ Isomorphismen sind.

Konstruktion/Beweisidee: Sei $\left\{e_{i}:S^{1}\rightarrow X\right\}_{i\in I}$ ein Erzeugendensystem der Fundamentalgruppe $\pi _{1}X$. Durch Ankleben von 2-Zellen $\left\{D_{i}\right\}_{i\in I}$ mittels der Abbildungen $e_{i}:\partial D_{i}\rightarrow X$ erhält man einen einfach zusammenhängenden CW-Komplex $X^{\prime }$. Die lange exakte Sequenz

$0\rightarrow H_{2}(X)\rightarrow H_{2}(X^{\prime })\rightarrow H_{2}(X^{\prime },X)\rightarrow 0=H_{1}(X)$

spaltet weil $H_{2}(X^{\prime },X)$ von den 2-Zellen $\left\{D_{i}\right\}_{i\in I}$ frei erzeugt wird, man hat also einen Isomorphismus

$H_{2}(X^{\prime })=H_{2}(X)\oplus H_{2}(X^{\prime },X)$

und der Summand $H_{2}(X^{\prime },X)$ wird von den $\left\{D_{i}\right\}_{i\in I}$ erzeugt. Weil $X^{\prime }$ einfach zusammenhängend sind nach dem Satz von Hurewicz die Elemente $\left[D_{i}\right]\in H_{2}(X^{\prime })$, von der Form $(f_{i})_{2}\left[S^{2}\right]$ für Abbildungen $f_{i}:S^{2}\rightarrow X^{\prime }$ und die Fundamentalklasse $\left[S^{2}\right]\in H_{2}(S^{2};\mathbb {Z} )$. Durch Ankleben von 3-Zellen $\left\{E_{i}\right\}_{i\in I}$ mittels der Abbildungen $f_{i}:\partial E_{i}\rightarrow X^{\prime }$ erhält man einen einfach zusammenhängenden CW-Komplex $X^{\prime }$ mit $H_{2}(X^{+})=H_{2}(X)$. Man kann zeigen, dass man auch für alle höheren Homotopiegruppen einen Isomorphismus hat.

Algebraische K-Theorie

Sei $R$ ein Ring, $GL(R)$ die Gruppe der invertierbaren Matrizen über $R$ und $BGL(R)$ der klassifizierende Raum von $GL(R)$, d.h. ein asphärischer Raum mit Fundamentalgruppe $GL(R)$. Weil diese Gruppe perfekt ist kann man die Plus-Konstruktion anwenden. Die algebraische K-Theorie des Ringes $R$ ist definiert als

$K_{i}(R):=\pi _{i}(BGL^{+}(R))$

für $i\geq 1$.

Beispiel: endliche Körper

Sei $K$ ein endlicher Körper mit $q$ Elementen, dann gibt es nach einem Satz von Quillen eine Homotopieäquivalenz

$BGL(k)^{+}\simeq E\Psi ^{q}$,

wobei $E\Psi ^{q}$ die Faser der Abbildung

$\Psi ^{q}-Id:BU\rightarrow BU$

(für $\Psi ^{q}$ die Wirkung der Adams-Operation auf dem klassifizierenden Raum der unitären Gruppe) ist. Die Homotopiegruppen von $E\Psi ^{q}$ können mit Bott-Periodizität berechnet werden, als Ergebnis erhält man

$K_{2i}(K)=0,K_{2i-1}(K)=\mathbb {Z} /(q^{i}-1)\mathbb {Z}$.

Literatur

Daniel Quillen: Cohomology of groups. Actes Congrès Internat. Math. , 2 , Gauthier-Villars (1973) S. 47–51 pdf

• Allen Hatcher: Algebraic topology. Cambridge University Press, Cambridge, 2002. ISBN 0-521-79160-X pdf