Benutzer:TDF/Zustandssumme

Die Zustandssumme ist ein wesentliches Werkzeug der statistischen Physik zur Beschreibung von physikalischen Systemen im thermischen Gleichgewicht. Formal handelt es sich bei der Zustandssumme um eine gewichtete Aufsummation aller möglichen physikalischen Zustände, wobei die Gewichtung der einzelnen Zustände von "externen" Parametern, wie z.B. der Temperatur, beeinflusst werden. Da die Gewichtung der Zustände bei der Summation von externen Parametern abhängt, kann die Zustandssumme mathematisch als Funktion dieser Parameter betrachtet werden. Aus der Struktur dieser Funktion lassen sich Informationen über das System gewinnen. Insbesondere können im Fall von thermodynamischen Systemen alle Zustandsgrößen (die nicht sowieso schon als externe Parameter vorgegeben sind) abgeleitet werden. Formal wird in diesem Fall die Summation oft durch Integrale formuliert.

Im Englischen wird die Zustandssumme mit grösseren Fokus auf die Gewichtung der Zustände und die funktionale Abhängigkeit von externen Parametern (und geringerem auf die Summation) partition function genannt. Auch im Deutschen wird sie gelegentlich mit Partitionsfunktion bezeichnet - nicht zu verwechseln mit der Partitionsfunktion aus der Kombinatorik.

Beispiele für Zustandssummen

Im Allgemeinen hängt bereits die formale Struktur der Zustandssumme vom betrachteten System und den gegebenen physikalischen Bedingungen und Fragestellungen ab. Dennoch haben sich in der Praxis drei Standardbeispiele aus dem Bereich einkomponentiger Gase und Flüssigkeiten etabliert, die in jedem Physik- und Chemiestudium gelehrt werden, und eigene Namen tragen: Die mikrokanonische Zustandssumme, die kanonische Zustandssumme und die großkanonische Zustandssumme.

Mikrokanonische Zustandssumme

Die mikrokanonische Zustandssumme Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle Z_\mathrm{m}(U,N,V)} wird für mikrokanonische Ensemble verwendet, also zur Beschreibung eines abgeschlossenen Systemes mit von extern vorgegebener innerer Energie Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle U} , Volumen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle V} und Teilchenzahl Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle N} . Das Gewicht der Zustände aus der Menge der möglichen Zustände eines Systems mit gegebenem Volumen und gegebener Teilchenzahl (dem Phasenraum Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Gamma} ) ist dabei zunächst folgendermassen definiert: Wenn ein Zustand Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \gamma} die Energie Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E(\gamma)=U} besitzt, ist das Gewicht Eins. Besitzt der Zustand eine andere Energie, so ist das Gewicht Null und der Zustand "trägt nicht zur Zustandssumme bei". Formal wird die mikrokanonische Zustandssumme meist als die Summe über alle Zustände mit Gewicht ungleich Null geschrieben, also

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle Z_\mathrm{m}(U,V,N) = \sum_{ \gamma: \, E(\gamma) = U } 1. }

Aufgrund des zu Eins gewählten Gewichts der Zustände ist der Wert der Zustandssumme identisch mit der Menge der unterschiedlichen Zustände, die das System annehmen kann. Sie ist daher eng verknüpft mit der Entropie.

In vielen Lehrbüchern wird diese Definition der mikrokanonischen Zustandssumme, die jegliche Energiefluktuationen verbietet, aufgeweicht: Anstatt zu fordern, dass ein Zustand exakt die Energie Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle U} hat, werden alle Zustände in einem kleinen Intervall um diese Energie herum gezählt. Diese Aufweichung ist insbesondere in der Quantenmechanik praktisch: In quantenmechanischen Systemen erlaubt der Phasenraum in der Regel nicht beliebige, sondern nur eng aneinanderliegende diskrete Energieen. Mit einem gegenüber diesen Differenzen grossen Intervall ist die mikrokanonische Zustandssumme nicht mehr unstetig in der Energie und fast immer Null, sondern eine näherungsweise stetige Funktion mit sinnvollem Wert.

Der Grund für die Aufweichung ist nohc nicht so der Hammer

Kanonische Zustandssumme

Im kanonischen Ensemble wird nicht die Energie des Systems vorgegeben, sondern die Temperatur. Entsprechend ist die kanonische Zustandssumme eine Funktion von Temperatur Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle T} , Volumen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle V} und Teilchenzahl Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle N} . In diesem Ensemble ist das Gewicht eines möglichen Systemzustands gleich dem Boltzmann-Faktor Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \exp ( -E/k_{\mathrm{B}}T )} , wobei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E} die Energie des Zustands und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle k_{\mathrm{B}}} die Boltzmann-Konstante ist. Die kanonische Zustandssumme ergibt sich daher als folgende Summation über alle Zustände Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \gamma} des Phasenraums Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Gamma} :

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle Z_k(N,V,T) = \sum_{\gamma \, \in \, \Gamma} \mathrm{e}^{-\frac{E_{\gamma}}{k_\mathrm{B}T}} }

Großkanonische Zustandssumme

In der großkanonischen Gesamtheit wird statt der Teilchenzahl Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle N} das chemische Potential Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mu} vorgegeben. Das Gewicht eines Zustands ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \exp \left[ (-E + \mu N)/k_{\mathrm{B}}T \right] } , und summiert wird über alle möglichen Teilchenzahlen sowie alle Zustände der jeweiligen Phasenräume Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Gamma_N} :

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle Z_g(\mu, V, T) = \sum_{N=0}^{\infty} \sum_{\gamma \, \in \, \Gamma_N} \mathrm{e}^{-\frac{E_\gamma - \mu N}{k_\mathrm{B}T}} = \sum_{N=0}^{\infty} \mathrm{e}^{\frac{\mu N}{k_\mathrm{B}T}} Z_k(N,V,T) }

Berechnung der thermodynamischen Potentiale

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{align} S(N,V,E) &= k_\mathrm{B} \,\ln Z_m(N,V,E)\\ F(N,V,T) &= - k_\mathrm{B}T \,\ln Z_k(N,V,T)\\ \Omega(\mu, V, T) &= - k_\mathrm{B}T \,\ln Z_g(\mu, V, T) \end{align}}

Hier ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle S} die Entropie, Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle F} die Freie Energie und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Omega} das großkanonische Potential.

Literatur

• Richard Becker und Wolfgang Ludwig: Theorie der Wärme (Springer, Berlin, 1988), ISBN 3-540-15383-7
• Torsten Fließbach: Statistische Physik (1995), ISBN 3-86025-715-3 - Eine Einführung in die Statistische Physik und Thermodynamik

Siehe auch

• Ensemble (Physik)

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Thema "Mikrokanonische Zustandssumme"

In der klassischen Mechanik werden häufig Systeme betrachtet, deren Mikrozustand sich kontinuierlich ändern kann. Ein Beispiel ist das ideale Gas. Der Phasenraum eines idealen Gases hat Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 6N} Dimensionen: Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 3N} Dimensionen für die Ortskoordinaten und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 3N} für die Impulskoordinaten der Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle N} Teilchen. Jeder Punkt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (p,q)} im Phasenraum entspricht einem Zustand Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \psi} des Systems mit Energie Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E_{\psi} = H(p,q,N,V) } , wobei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle H(p,q,N,V) } die Hamiltonfunktion des Systems mit Teilchenzahl Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle N} und Volumen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle V} ist. Da die in der Mikrokanonik betrachteten abgeschlossenen Systeme eine konstante Energie haben, ergeben die erlaubten Zustände im Phasenraum eine Hyperfläche, auf der sich das System bewegen kann. Die Zustandssumme für ein solches Gas ist das von dieser Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle H(p,q,N,V)=U} -Hyperfläche umschlossene Volumen, welches sich als Zustandsintegral schreiben lässt:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle Z_\mathrm{m}(U,N,V) \;= \!\!\!\!\!\int\limits_{ H(p,q,N,V) \le U} \!\!\!\!\! \frac{d^{3N}p\; d^{3N} q}{h^{3N} N!}.}

Die Wahrscheinlichkeit, das Gas um einen bestimmten Zustand Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (p,q)} herum anzutreffen, ist:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle dP(p,q|U,N,V) = \frac{1}{z_\mathrm{m}(U,N,V)} \delta(U - H(p,q,N,V) ) \frac{d^{3N}p\; d^{3N} q}{h^{3N} N!} }

mit

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle z_\mathrm{m}(U,N,V) = \frac{\partial}{\partial U} Z_m(U,N,V) }

und der Dirac'schen δ-Funktion.