Benutzer:Valehiro/Casimir's Trick

Casimirs Trick, nach dem niederländischen Physiker Hendrik Casimir benannt, ist ein Verfahren zur einfachen Berechnung von Spin-gemittelten quadrierten Matrixelementen in Quantenfeldtheorien.

Allgemeines

Ein in den Quantenfeldtheorien häufig vorkommender Ausdruck ist das Matrixelement der S-Matrix Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathcal M } , welche den Übergang von einem anfänglichen Zustand in einen Endzustand beschreibt. Dieses Matrixelement kann mithilfe von Feynman-Diagrammen graphisch dargestellt und in einen rigorosen mathematischen Ausdruck übersetzt werden. Sind Fermionen, also Teilchen mit einem Spin von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 1/2 } beteiligt, so treten in den Berechnungen der Matrixelemente Dirac-Spinoren, also vierkomponentige Vektoren mit zusätzlichen Spin-Indizes auf.

Eine lorentzinvariante, skalare Größe ist das quadrierte Matrixelement $\left|{\mathcal {M}}\right|^{2}={\mathcal {M}}^{*}{\mathcal {M}}$, welches im Allgemeinen komplexe Ausdrücke aus Produkten von Dirac-Spinoren enthält. Ist man in der Rechnung jedoch nur an einem über alle möglichen Spin-Einstellungen gemittelten Matrixelement interessiert, lässt sich das Matrixelement mithilfe von Casimirs Trick in ein Produkt aus Spuren über Dirac-Matrizen überführen, die auf Basis der Dirac-Algebra einfach ausgeführt werden können.

Details

Bezeichnen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle u(k), [\bar v(k)] } die Spinoren für einlaufende [Anti-]Teilchen in Feynman-Diagrammen und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \bar u(k) [v(k)]} Spinoren für auslaufende [Anti-]Teilchen, so gilt:

$\sum _{s_{1},s_{2}}\left[{\bar {v}}^{s_{1}}(k)\Gamma u^{s_{2}}(p)\right]\,\left[{\bar {v}}^{s_{1}}(k)\Gamma 'u^{s_{2}}(p)\right]^{*}={\text{Tr}}\left[\Gamma \left(\gamma ^{\alpha }p_{\alpha }+m_{2}\right){\bar {\Gamma }}'\left(\gamma ^{\beta }k_{\beta }-m_{1}\right)\right]$

Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle \sum _{s_{1},s_{2}}\left[{\bar {u}}^{s_{1}}(k)\Gamma v^{s_{2}}(p)\right]\,\left[{\bar {u}}^{s_{1}}(k)\Gamma 'v^{s_{2}}(p)\right]^{*}={\text{Tr}}\left[\Gamma \left(\gamma ^{\alpha }p_{\alpha }-m_{2}\right){\bar {\Gamma }}'\left(\gamma ^{\beta }k_{\beta }+m_{1}\right)\right]}

Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle \sum _{s_{1},s_{2}}\left[{\bar {v}}^{s_{1}}(k)\Gamma v^{s_{2}}(p)\right]\,\left[{\bar {v}}^{s_{1}}(k)\Gamma 'v^{s_{2}}(p)\right]^{*}={\text{Tr}}\left[\Gamma \left(\gamma ^{\alpha }p_{\alpha }-m_{2}\right){\bar {\Gamma }}'\left(\gamma ^{\beta }k_{\beta }-m_{1}\right)\right]}

$\sum _{s_{1},s_{2}}\left[{\bar {u}}^{s_{1}}(k)\Gamma u^{s_{2}}(p)\right]\,\left[{\bar {u}}^{s_{1}}(k)\Gamma 'u^{s_{2}}(p)\right]^{*}={\text{Tr}}\left[\Gamma \left(\gamma ^{\alpha }p_{\alpha }+m_{2}\right){\bar {\Gamma }}'\left(\gamma ^{\beta }k_{\beta }+m_{1}\right)\right]$

Dabei bezeichnet $\Gamma$ eine beliebige $4\times 4$-Matrix, $\gamma$ die Dirac-Matrizen und ein Überstrich die Dirac-Adjungierte Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle {\bar {\Gamma }}=\gamma ^{0}\Gamma ^{\dagger }\gamma ^{0}} . $m_{i}$ bezeichne die Massen der jeweiligen Teilchen/Antiteilchen wobei der Index Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle i} der Gleiche wie bei der Zuordnung der Spins ist.

Mathematischer Hintergrund

Die Dirac-Spinoren lassen sich in zwei unabhängige Spinoren Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle u } für Teilchen und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle v } für Antiteilchen zerlegen. Diese erfüllen jeweils eine Vollständigkeitsrelation

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sum_\text{Spins} u(p) \bar u(p) = \gamma^\mu p_\mu + m }

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sum_\text{Spins} v(k) \bar v(k) = \gamma^\mu k_\mu - m } .

Im Matrixelement kommen typische Ausdrücke wie zum Beispiel Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathcal M \propto \bar v(k) \Gamma u(p)} vor. Das quadrierte Matrixelement lautet also:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \left| \mathcal M \right|^2 \propto \left[\bar v(k) \Gamma u(p)\right] \, \left[\bar v(k) \Gamma u(p)\right]^* = \bar v(k) \Gamma u(p)\, \bar u(p) \bar \Gamma v(k)}

Wenn über die Spin-Indizes summiert wird, so kann zuerst im mittleren Paar der Dirac-Spinoren die Vollständigkeitsrelation angewandt werden. Es ist im Folgenden zweckmäßig, die Spin- und Raumzeit-Indizes aus Gründen der Nachvollziehbarkeit nicht zu unterdrücken, wobei $s_{1},s_{2}$ über die Spins, Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \alpha,\beta} über die vier Dirac-Matrizen und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mu,\nu,\rho,\sigma} über die vier Komponenten der Spinoren summieren:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sum_{s_1,s_2} \left| \mathcal M \right|^2 \propto \sum_{s_1,s_2} \bar v^{s_1}_\mu(k) \Gamma^{\mu\nu} u^{s_2}_\nu(p) \bar u^{s_2}_\rho(p) \bar \Gamma^{\rho\sigma} v^{s_1}_\sigma(k)= \sum_{s_1} \bar v^{s_1}_\mu(k) \Gamma^{\mu\nu} \left(\gamma^\alpha p_\alpha + m_2\right)_{\nu\rho} \bar \Gamma^{\rho\sigma} v^{s_1}_\sigma(k)} .

In Komponentenschreibweise ist offensichtlicher, dass die Summation über Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle s_1 } einfach vollzogen werden kann, da alle Objekte nun kommutieren; es gilt somit

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sum_{s_1,s_2} \left| \mathcal M \right|^2 \propto \Gamma^{\mu\nu} \left(\gamma^\alpha p_\alpha + m_2\right)_{\nu\rho} \bar \Gamma^{\rho\sigma} \left(\gamma^\beta k_\beta - m_1\right)_{\sigma\mu} = \text{Tr} \left[\Gamma \left(\gamma^\alpha p_\alpha + m_2\right) \bar \Gamma \left(\gamma^\beta k_\beta - m_1\right)\right]}

Für die anderen drei Fälle läuft der Beweis analog.

Beispiel: Elektron-Myon-Streuung

Bezeichnen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle p [p'] } den Impuls des ein[aus]laufenden Elektrons und $k[k']$ den des ein[aus]laufenden Myons, so lautet das Matrixelement der Elektron-Myon-Streuung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle e^- \mu^- \rightarrow e^- \mu^- } in niedrigster Ordnung in der Quantenelektrodynamik:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathcal M = \bar u(p) (\mathrm i e \gamma^\mu) u(p') \frac{\mathrm i g_{\mu\nu}}{(p+k)^2} \bar u(k') (\mathrm i e \gamma^\nu) u(k) }

Wird über die Spins der einlaufenden Teilchen gemittelt und über die Spins der auslaufenden Teilchen summiert, so ergibt sich nach zweimaliger Anwendung von Casimirs Trick

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{1}{4} \sum_{s_1,s_2,s'_1,s'_2} \left| \mathcal M \right|^2 = \frac{1}{4} \frac{e^4}{(p+k)^4} \text{Tr} \left[ \gamma^\mu (\gamma^\alpha p_\alpha + m_e) \gamma^\nu (\gamma^\beta p'_\beta + m_e) \right]\, \text{Tr} \left[ \gamma_\mu (\gamma^\alpha k_\alpha + m_\mu) \gamma_\nu (\gamma^\beta k'_\beta + m_\mu) \right]}

Literatur

• David Griffiths: Einführung in die Elementarteilchenphysik. Übersetzt von Thomas Stange. Akademie-Verlag, Berlin 1996, ISBN 3-05-501627-0.
• Abraham Pais: Inward Bound. Oxford, New York 1986, ISBN 978-0198519713.