Benutzer:Wolffmeister/Reduzierte Homologie

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In der algebraischen Topologie ist die sogenannte "reduzierte Homologie" eine Abwandlung zu einer gegebenen Homologietheorie. Ihr Vorteil ist, dass die Homologie eines Punktes in allen Graden Null ist und so allgemeinere Aussagen ohne Spezialfälle gemacht werden können, aber auch andere Eigenschaften machen sie zu einem nützlichen Werkzeug in Berechnungen und Beweisen.

Definition

Sei $P$ ein Raum bestehend aus einem Punkt, dann ist die reduzierte Homologie ${\tilde {H}}$ eines topologischen Raums $X$ zu einer gegebenen Homologietheorie $H_{n}$, definiert als ${\tilde {H_{n}}}(X)=ker(H_{n}(f))$, wobei $f$ die eindeutig definierte Abbildung $f:X\rightarrow P$ ist und $ker$ den Kern bezeichnet.

Eigenschaften

Sei $X$ ein topologischer Raum und $p\in X$. Dann gibt es einen Retrakt $r:X\rightarrow \{p\}$ mit dem die kurze exakte Sequenz

$0\longrightarrow H_{n}(\{p\})\longrightarrow H_{n}(X)\longrightarrow H_{n}(X,p)\longrightarrow 0$

zerfällt. Daraus folgt, dass man eine kurze exakte Sequenz in die andere Richtung erhält, für die gilt dass

$H_{n}(X,p)=ker(H_{n}(r))={\tilde {H}}_{n}(X)$

Durch die Eigenschaft, dass der Mittelteil einer kurzen exakten Sequenz die direkte Summe der äußeren Punkte ist erhält man zudem, dass

$H_{n}(X)=H_{n}(\{p\})\oplus H_{n}(X,p)=H_{n}(P)\oplus {\tilde {H}}_{n}(X)$

Daraus folgt auch, dass die reduzierte Homologie für Homologietheorien, die das Dimensionsaxiom erfüllen, reduzierte Homologie und unreduzierte Homologie in allen Graden größer Null übereinstimmen.

Zudem folgt aus $H_{n}(X)=H_{n}(P)\oplus {\tilde {H}}_{n}(X)$ mit $X=P$, dass

${\tilde {H}}_{n}(P)=0$ für alle Grade $n\in \mathbb {Z}$

Eine weitere grundlegende Eigenschaft der reduzierten Homologie ist ihre Beziehung zur relativen, unreduzierten Homologie.

Hierbei gilt, dass für einen topologischen Raum $X$ und einen absoluten Umgebungsretrakt $A\subset X$, die Restklassenabbildung $\pi :X\rightarrow A$, (die jeden Punkt in $A$ zu einem einzigen Punkt $a$ kollabieren lässt,) einen Isomorphismus induziert:

$H_{n}(X,A){\overset {\cong }{\longrightarrow }}H_{n}(X/A,A/A)=H(X/A,a)\cong {\tilde {H}}_{n}(X/A)$ für $n\in \mathbb {Z}$

Beweis:

Sei $U\subset X$ eine Umgebung, für die $A$ ein starker Deformationsretrakt ist.

If P is a single-point space, then with the usual definitions the integral homology group

H₀(P)

is isomorphic to $\mathbb {Z}$ (an infinite cyclic group), while for i ≥ 1 we have

H_i(P) = {0}.

More generally if X is a simplicial complex or finite CW complex, then the group H₀(X) is the free abelian group with the connected components of X as generators. The reduced homology should replace this group, of rank r say, by one of rank r − 1. Otherwise the homology groups should remain unchanged. An ad hoc way to do this is to think of a 0-th homology class not as a formal sum of connected components, but as such a formal sum where the coefficients add up to zero.

In the usual definition of homology of a space X, we consider the chain complex

$\dotsb {\overset {\partial _{n+1}}{\longrightarrow \,}}C_{n}{\overset {\partial _{n}}{\longrightarrow \,}}C_{n-1}{\overset {\partial _{n-1}}{\longrightarrow \,}}\dotsb {\overset {\partial _{2}}{\longrightarrow \,}}C_{1}{\overset {\partial _{1}}{\longrightarrow \,}}C_{0}{\overset {\partial _{0}}{\longrightarrow \,}}0$

and define the homology groups by $H_{n}(X)=\ker(\partial _{n})/\mathrm {im} (\partial _{n+1})$.

To define reduced homology, we start with the augmented chain complex

$\dotsb {\overset {\partial _{n+1}}{\longrightarrow \,}}C_{n}{\overset {\partial _{n}}{\longrightarrow \,}}C_{n-1}{\overset {\partial _{n-1}}{\longrightarrow \,}}\dotsb {\overset {\partial _{2}}{\longrightarrow \,}}C_{1}{\overset {\partial _{1}}{\longrightarrow \,}}C_{0}{\overset {\epsilon }{\longrightarrow \,}}\mathbb {Z} \to 0$

where $\epsilon \left(\sum _{i}n_{i}\sigma _{i}\right)=\sum _{i}n_{i}$. Now we define the reduced homology groups by

${\tilde {H_{n}}}(X)=\ker(\partial _{n})/\mathrm {im} (\partial _{n+1})$ for positive n and ${\tilde {H}}_{0}(X)=\ker(\epsilon )/\mathrm {im} (\partial _{1})$.

One can show that $H_{0}(X)={\tilde {H}}_{0}(X)\oplus \mathbb {Z}$; evidently $H_{n}(X)={\tilde {H}}_{n}(X)$ for all positive n.

Armed with this modified complex, the standard ways to obtain homology with coefficients by applying the tensor product, or reduced cohomology groups from the cochain complex made by using a Hom functor, can be applied.

References

• Hatcher, A., (2002) Algebraic Topology Cambridge University Press, Vorlage:ISBN. Detailed discussion of homology theories for simplicial complexes and manifolds, singular homology, etc.

[[Category:Homology theory]]