Benutzer:Xorx77/Baustelle2

Die symmetrische Gruppe $S_{X}$ (oder ${\mathfrak {S}}_{X}$ oder $Sym_{X}$) einer Menge $X$ ist die Gruppe aller bijektiven Abbildungen von $X$ nach $X$ mit der Komposition als Verknüpfung. Die Elemente von $S_{X}$ werden auch Permutationen von $X$ genannt.

Häufig wird die symmetrische Gruppe über einer Menge $X$ mit $n$ Elementen gebildet; in diesem Fall schreibt man auch $S_{n}$ statt $S_{X}$ und nummeriert die Elemente in $X$ mit $1$ bis $n$ durch.

Die symmetrische Gruppe spielt in der Gruppentheorie eine wichtige Rolle: Zum einen historisch, da sie als eine der ersten untersuchten Gruppen sozusagen die Geburt der Gruppentheorie ist --- nämlich in der Galoistheorie, dort wird sie als Permutationen der Nullstellen eines Polynoms eingehend untersucht. Zum anderen in der Theorie, da zum Beispiel jede $n$-elementige Gruppe in die $S_{n}$ eingebettet werden kann und so prinzipiell die endliche Gruppentheorie als Studium der Untergruppen der $S_{n}$ durchgeführt werden kann.

Notation

Abbildungschreibweise

Die Elemente $\pi \in S_{n}$ sind Bijektionen von $\pi :\{1,\ldots ,n\}\rightarrow \{1,\ldots ,n\}$ und können als solche durch die Angabe der Bilder von $1,\ldots ,n$ beschrieben werden. Als Beispiel diene $\pi \in S_{6}$:

$\pi (1)=2,\ \pi (2)=4,\ ,\pi (3)=6,\pi (4)=5,\ \pi (5)=1,\pi (6)=3$

Diese Schreibweise jedoch ist sehr unhandlich. So kann man dasselbe Element $\pi$ kürzer schreiben:

$\pi ={\begin{pmatrix}1&2&3&4&5&6\\2&4&6&5&1&3\end{pmatrix}}$

Hierbei schreibt man oben der Reihe nach die Elemente der Grundmenge $\{1,\ldots ,n\}$ und in der Zeile darunter ihre Bilder. Häufig lässt man zusätzlich die erste Zeile der entstandenen Matrix weg und so schreibt sich unser Beispiel:

$\pi ={\begin{pmatrix}2&4&6&5&1&3\end{pmatrix}}$

Zykelschreibweise

Nicht zu verwechseln mit der Abbildungsschreibweise ist die Zykelschreibweise, in der unser Beipielelement wie folgt geschrieben wird:

$\pi ={\begin{pmatrix}1&2&4&5\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}3&6\end{pmatrix}}$

Ein Zykel ist hierbei die Zahlenfolge zwischen zwei Klammern: In jedem Zykel wird eine Zahl auf die nächststehende abgebildet, die letzte Zahl des Zykels wird auf die erste abgebildet. In unserem Beispiel wird also die 1 auf die 2, die 2 auf die 4, die 4 auf die 5 und die 5 auf die 1 abgebildet; desweiteren wird die 3 auf die 6 und umgekehrt abgebildet.

Die Zykelschreibweise ist die geläufigste Schreibweise für Permutationen, da sie kompakt ist und auf einem Blick mehrere Eigenschaften der Permutation preis gibt:

• sind die Zykel der Permutation elementfremd, also kommen in verschiedenen Zykeln nicht diesselben Zahlen vor, so ist die Ordnung der Permuationen das kleinste gemeinsame Vielfache der Zykellängen. In unserem Beispiel kann man so ablesen, dass die Ordnung von $\pi$ 6 ist.

Es gibt verschiedene Möglichkeiten, eine Permutation zu notieren; bildet zum Beispiel eine Permutation $p$ das Element $1$ auf $p_{1}$, das Element $2$ auf $p_{2}$ usw. ab, so kann man hierfür

$p={\begin{pmatrix}1&2&3&\dots \\p_{1}&p_{2}&p_{3}&\dots \end{pmatrix}}$

schreiben. (Es ist nicht unbedingt gefordert, dass die Zahlen in der oberen Zeile geordnet sind.) In dieser Schreibweise erhält man die inverse Permutation $p^{-1}$, indem man die obere und die untere Zeile vertauscht.

Eine andere wichtige Schreibweise ist die Zyklenschreibweise: geht $p_{1}$ in $p_{2}$, $p_{2}$ in $p_{3}$, ..., $p_{k}$ in $p_{1}$ über, und bleiben alle anderen Elemente invariant, so schreibt man hierfür

$p={\begin{pmatrix}p_{1}&p_{2}&p_{3}&\dots &p_{k}\end{pmatrix}},$

und nennt dies einen Zyklus der Länge $k$. Jede Permutation kann als Produkt von disjunkten Zyklen geschrieben werden.

Eigenschaften

Erzeugende Mengen

• Jede Permutation kann als Produkt von Transpositionen (Zweierzyklen) dargestellt werden; je nachdem, ob diese Anzahl gerad- oder ungeradzahlig ist, spricht man von geraden oder ungeraden Permutationen. Die Menge der geradzahligen Permutationenen bilden eine Untergruppe der $S_{n}$, die alternierende Gruppe $A_{n}$.
• Auch die beiden Elemente ${\begin{pmatrix}1&2\end{pmatrix}}$ und ${\begin{pmatrix}1&2&\dots &n\end{pmatrix}}$ erzeugen die symmetrische Gruppe $S_{n}$.

Konjugationsklassen

Zwei Elemente der symmetrischen Gruppe sind genau dann zueinander konjugiert, wenn sie dieselbe Zyklenstruktur aufweisen, das heißt, die Anzahl der Einer-, Zweier-, Dreier- usw. -Zyklen stimmen überein. In diesem Fall handelt es sich nur um eine Umnummerierung der Elemente, die permutiert werden.

Normalteiler

Die symmetrische Gruppe $S_{n}$ besitzt außer den trivialen Normalteilern $\{1\}$ und $S_{n}$ nur die alternierende Gruppe $A_{n}$ als Normalteiler, für $n=4$ zusätzlich noch die Kleinsche Vierergruppe $V$.

Satz von Cayley

Nach dem Satz von Cayley ist jede endliche Gruppe $G$ zu einer Untergruppe der symmetrischen Gruppe $S_{n}$ isomorph, wobei $n$ nicht größer als die Ordnung von $G$ ist.

Rechenbeispiele

Die Verkettung zweier Permutationen $p_{1}$ und $p_{2}$ wird als $p_{2}\circ p_{1}$ geschrieben: zuerst wird die Permutation $p_{1}$ ausgeführt, dann wird auf das Ergebnis die Permutation $p_{2}$ angewandt (die Operationen sind von rechts nach links zu lesen).

Beispiel:

${\begin{pmatrix}1&2&3&4\\2&3&1&4\end{pmatrix}}\circ {\begin{pmatrix}1&2&3&4\\3&2&4&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&2&3&4\\1&3&4&2\end{pmatrix}}.$

In Zyklenschreibweise lautet dies:

${\begin{pmatrix}1&2&3\end{pmatrix}}\circ {\begin{pmatrix}1&3&4\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2&3&4\end{pmatrix}}.$

Zunächst bildet die „rechte“ Permutation die 4 auf die 1 ab, anschließend bildet die „linke“ Permutation die 1 auf die 2 ab; die gesamte Verkettung bildet also die 4 auf die 2 ab.

Für n > 2 ist die symmetrische Gruppe $S_{n}$ nicht kommutativ, wie man an folgender Rechnung sieht:

${\begin{pmatrix}1&2&3&\ldots \\2&3&1&\ldots \end{pmatrix}}\circ {\begin{pmatrix}1&2&3&\ldots \\2&1&3&\ldots \end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&2&3&\ldots \\3&2&1&\ldots \end{pmatrix}}\neq {\begin{pmatrix}1&2&3&\ldots \\1&3&2&\ldots \end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&2&3&\ldots \\2&1&3&\ldots \end{pmatrix}}\circ {\begin{pmatrix}1&2&3&\ldots \\2&3&1&\ldots \end{pmatrix}}.$

Siehe auch

• Alternierende Gruppe
• Gruppentheorie
• endliche Gruppe
• Young-Tableau