Beschränktes symmetrisches Gebiet

In der Mathematik sind beschränkte symmetrische Gebiete ein Begriff aus der komplexen Analysis. Es handelt sich um Teilmengen eines komplexen Vektorraumes, in denen man zu jedem Punkt eine Symmetrie an diesem Punkt (analog zur Punktspiegelung der euklidischen Geometrie) hat.

In der Funktionentheorie mehrerer Variablen und der modernen Zahlentheorie spielen verschiedene Quotientenräume beschränkter symmetrischer Gebiete eine große Rolle. Beispielsweise sind Shimura-Varietäten ein zentraler Teil des Langlands-Programms.

Definition

Ein beschränktes symmetrisches Gebiet ist ein beschränktes Gebiet Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Omega\subset\Complex^n} , zu dem es für jedes Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle z\in\Omega} eine biholomorphe Involution Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sigma_z\colon\Omega\to\Omega} mit $z$ als einzigem Fixpunkt gibt.

Beispiel

Datei:Rhombitriheptagonal tiling.svg

Zu jedem Punkt hat man eine “Punktspiegelung” als Symmetrie der hyperbolischen Ebene.

Die Einheitskreisscheibe Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle {\bf D}=\left\{z\in\C\colon\Vert z\Vert<1\right\}} ist ein beschränktes symmetrisches Gebiet. Man kann sie nämlich mit einer hyperbolischen Metrik Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \tfrac{4dz^2}{(1-\Vert z\Vert^2)^2}} versehen, die entsteht, indem man die euklidische Metrik mit ${\tfrac {4}{(1-\Vert z\Vert ^{2})^{2}}}$ multipliziert. Die mit dieser Metrik gemessenen Abstände zwischen zwei Punkten gehen also gegen Unendlich, wenn man sich dem Rand der Kreisscheibe annähert.

Die Kreisscheibe mit dieser hyperbolischen Metrik ist ein symmetrischer Raum, man hat also zu jedem Punkt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle z\in{\bf D}} eine isometrische “Punktspiegelung” an Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle z} . (Diese ist keine euklidische Isometrie, sondern eine Isometrie der hyperbolischen Metrik.) Andererseits sind die Isometrien der hyperbolischen Metrik alle biholomorphe Abbildungen, man bekommt also zu jedem Punkt eine biholomorphe Abbildung mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle z} als einzigem Fixpunkt.

Beschränkte symmetrische Gebiete als hermitesche symmetrische Räume

In der riemannschen Geometrie entsprechen die beschränkten symmetrischen Gebiete den nicht-kompakten, nicht-flachen, nichtpositiv gekrümmten hermiteschen symmetrischen Räumen.

Sei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle D} ein beschränktes symmetrisches Gebiet. Mit Hilfe des Bergman-Kerns Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle K(z,w)} definiert man die Bergman-Metrik auf Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle D} . Für diese Metrik ist jede biholomorphe Abbildung von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle D} eine Isometrie. Insbesondere ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle D} mit dieser Metrik ein hermitescher symmetrischer Raum.

Umgekehrt kann jeder hermitesche symmetrische Raum nichtkompakten Typs mittels der Harish-Chandra-Einbettung als beschränktes symmetrisches Gebiet realisiert werden.

Literatur

• L. K. Hua: Harmonic analysis of functions of several complex variables in the classical domains, Translations of Mathematical Monographs, 6, American Mathematical Society, Providence, 1979, ISBN 978-0-8218-1556-4

Weblinks

• Symmetric domain (Encyclopedia of Mathematics)