Binomische Reihe

Die binomische Reihe ist eine Potenzreihe, die sich bei einer Verallgemeinerung des binomischen Lehrsatzes auf Potenzen mit reellen oder komplexen Exponenten ergibt:

$(x+y)^{\alpha }=\sum _{k=0}^{\infty }{\binom {\alpha }{k}}x^{\alpha -k}y^{k}$

Ist der Exponent $\alpha$ eine natürliche Zahl, so bricht die Reihe nach dem Glied mit $k=\alpha$ ab und ist daher dann nur eine endliche Summe. Die Koeffizienten der binomischen Reihe sind die Binomialkoeffizienten, deren Name vom Auftreten im binomischen Lehrsatz abgeleitet ist. Für sie gilt

${\binom {\alpha }{k}}={\frac {\alpha ^{\underline {k}}}{k!}}=\prod _{j=1}^{k}{\frac {\alpha +1-j}{j}}$

mit der fallenden Faktorielle $\alpha ^{\underline {k}}$, wobei für $k=0$ das leere Produkt den Wert 1 zugewiesen bekommt.

Ein Spezialfall der binomischen Reihe ist die Maclaurinsche Reihe der Funktion $f$ mit $f(x)=(1+x)^{\alpha },\;|x|<1,\,\alpha \in \mathbb {C}$:

$(1+x)^{\alpha }=\sum _{k=0}^{\infty }{\binom {\alpha }{k}}\cdot x^{k}$

Geschichte

Die Entdeckung der Binomialreihe für ganze positive Elemente, d. h. eine Reihenformel für Zahlen der Form $(a+b)^{n}$ kann heute Omar Chayyām aus dem Jahr 1078 zugeordnet werden.

Newton entdeckte im Jahre 1669, dass die binomische Reihe für jede reelle Zahl $\alpha$ und alle reellen $x$ im Intervall $\left]-1,1\right[$ das Binom $(1+x)^{\alpha }$ darstellt. Abel betrachtete 1826 die binomische Reihe für komplexe $\alpha ,x\in \mathbb {C}$. Er bewies, dass sie den Konvergenzradius 1 besitzt, falls $\alpha \in \mathbb {C} \setminus \mathbb {N}$ gilt.

Verhalten auf dem Rand des Konvergenzkreises

Es sei $|x|=1$ und $\alpha \in \mathbb {C} \setminus \mathbb {N}$.

• Die Reihe $\textstyle \sum _{k=0}^{\infty }{\binom {\alpha }{k}}x^{k}$ konvergiert genau dann absolut, wenn $\operatorname {Re} (\alpha )>0$ oder $\alpha =0$ ist ($\operatorname {Re} (\alpha )$ bezeichnet den Realteil von $\alpha$).
• Für alle $x\neq -1$ auf dem Rand konvergiert die Reihe genau dann, wenn $\operatorname {Re} (\alpha )>-1$ ist.
• Für $x=-1$ konvergiert die Reihe genau dann, wenn $\operatorname {Re} (\alpha )>0$ oder $\alpha =0$ ist.

Beziehung zur geometrischen Reihe

Setzt man $\alpha =-1$ und ersetzt $x$ durch $-x$, so erhält man

${\frac {1}{1-x}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\binom {-1}{k}}(-x)^{k}.$

Wegen ${\tbinom {-1}{k}}=(-1)^{k}$ für alle natürlichen Zahlen $k$ lässt sich diese Reihe auch schreiben als $\textstyle \sum _{k=0}^{\infty }x^{k}$. Das heißt, die binomische Reihe enthält die geometrische Reihe als Spezialfall.

Beispiele

• $(1+x)^{2}={\binom {2}{0}}x^{0}+{\binom {2}{1}}x^{1}+{\binom {2}{2}}x^{2}=1+2x+x^{2}$ (ein Spezialfall der binomischen Formel für das Quadrat einer Summe)
• ${\frac {1}{1+x}}=(1+x)^{-1}=\sum _{k=0}^{\infty }{\binom {-1}{k}}x^{k}=\sum _{k=0}^{\infty }(-x)^{k}=1-x+x^{2}-x^{3}+x^{4}-x^{5}+\dotsb$
• ${\sqrt {1+x}}=(1+x)^{1/2}=\sum _{k=0}^{\infty }{\binom {1/2}{k}}x^{k}=1+{\frac {x}{2}}-{\frac {x^{2}}{8}}+{\frac {x^{3}}{16}}-{\frac {5x^{4}}{128}}+{\frac {7x^{5}}{256}}-\dotsb$
• ${\frac {1}{\sqrt {1-x}}}=(1-x)^{-1/2}=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}{\binom {-1/2}{k}}x^{k}=1+{\frac {x}{2}}+{\frac {3x^{2}}{8}}+{\frac {5x^{3}}{16}}+{\frac {35x^{4}}{128}}+{\frac {63x^{5}}{256}}+\dotsb$

Quellen

• Otto Forster: Analysis Band 1: Differential- und Integralrechnung einer Veränderlichen. Vieweg-Verlag, 8. Aufl. 2006, ISBN 3-528-67224-2.