Blackwell-Girshick-Gleichung

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Die Blackwell-Girshick-Gleichung ist eine Gleichung in der Stochastik, mit der sich die Varianz von zufälligen Summen von Zufallsvariablen berechnen lässt.

Sie ist nach David Blackwell und Abe Girshick benannt.

Aussage

Ist eine Zufallsvariable mit Werten in und sind unabhängig und identisch verteilte Zufallsvariablen, die auch von unabhängig sind, und existiert für alle und das zweite Moment, dann besitzt die durch

definierte Zufallsvariable die Varianz

.

Die Blackwell-Girshick-Gleichung lässt sich mit Hilfe der bedingten Varianz und der Varianzzerlegung herleiten. Sind die auch Zufallsvariablen auf , so kann die Herleitung schon elementar mittels der Kettenregel und der wahrscheinlichkeitserzeugenden Funktion erfolgen.

Beispiel

Sei Poisson-verteilt zum Erwartungswert und die Bernoulli-verteilt zum Parameter . Dann ist

.

Verwendung und verwandte Konzepte

Die Blackwell-Girshick-Gleichung wird in der Schadensversicherungsmathematik verwendet, um die Varianz zusammengesetzter Verteilungen wie zum Beispiel der zusammengesetzten Poisson-Verteilung zu berechnen. Ähnliche Aussagen über den Erwartungswert von zusammengesetzten Verteilungen liefert die Formel von Wald.

Literatur

  • Achim Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 3. Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2013, ISBN 978-3-642-36017-6, doi:10.1007/978-3-642-36018-3.