Blumenthalsches Null-Eins-Gesetz

Das Blumenthalsche 0-1-Gesetz, benannt nach R. M. Blumenthal, ist ein mathematischer Satz auf dem Gebiet der Wahrscheinlichkeitstheorie. Wie alle Null-Eins-Gesetze beschreibt er eine Klasse von Ereignissen, deren Wahrscheinlichkeiten stets 0 oder 1 sind.

Aussage

Sei $(\Omega ,{\mathcal {A}},\mathbb {P} )$ ein Wahrscheinlichkeitsraum und $(B_{t})_{t\geq 0}$ eine darauf definierte Brownsche Bewegung mit Filtrierung ${\mathcal {F}}_{t}=\sigma (\{B_{s}\mid s\leq t\})$. Dann ist die σ-Algebra ${\mathcal {F}}_{0}^{+}$, definiert durch $\textstyle {\mathcal {F}}_{0}^{+}=\bigcap _{t>0}{\mathcal {F}}_{t}$, $\mathbb {P}$-trivial, d. h. es gilt: $\mathbb {P} (A)\in \{0,1\}$ für alle $A\in {\mathcal {F}}_{0}^{+}$.

Anschaulich beinhaltet ${\mathcal {F}}_{0}^{+}$ genau jene Ereignisse, die nur von $(B_{t})_{0\leq t\leq \varepsilon }$, für beliebig kleines $\varepsilon$ abhängen. Beispielsweise ist das Ereignis $A=\{\forall \varepsilon >0\exists t>0:\;t<\varepsilon \wedge B_{t}=0\}\in {\mathcal {F}}_{0}^{+}$, es gilt also $\mathbb {P} (A)\in \{0,1\}$.

Literatur

• Blumenthal, R.M.: An extended Markov property. In: Transactions of the American Mathematical Society. Band 85, 1957, S. 52–72.
• Klenke, Achim: Wahrscheinlichkeitstheorie, Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2008, ISBN 978-3-540-76317-8