Borel-Summierung

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Die Borel-Summierung ist in der asymptotischen Analysis eine Summierungsmethode für eine divergente Folge oder Reihe, die dazu dient, dieser doch noch einen in gewisser Weise optimalen Wert zuzuordnen und sie zu „regularisieren“. Es gibt verschiedene leicht unterschiedliche Varianten und Verallgemeinerungen.

Sie ist nach Émile Borel benannt, der sie 1895 einführte.[1][2][3]

Die Methode der Borel-Summierung findet zum Beispiel in der theoretischen Physik Anwendung, um damit divergenten quantenmechanischen Störungsreihen doch noch einen aussagekräftigen Wert zuzuordnen.

Definition

Es gibt mehrere, leicht abweichende Varianten. Ist eine Methode bei einer divergenten Folge nicht anwendbar, kann eventuell eine Variante zum Ziel führen. Auf dieselben Folgen angewandt im selben Definitionsbereich der Variablen ergeben sie denselben Wert.

Die zu summierende Reihe sei

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A(z) = \sum_{k = 0}^\infty a_k \, z^k.}

Häufig wird dabei der Definitionsbereich der Variablen im Komplexen gewählt. Dann ist eine schwache Form der Borelsumme (Borel Methode B)[4][5] über die Partialsumme der Reihe

so definiert:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle a (z)= \lim_{t\rightarrow\infty} e^{-t}\sum_{n=0}^\infty \frac{t^n}{n!}A_n(z) }

Existiert der Grenzwert Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle a (z)} , sagt man, dass die ursprüngliche Reihe A(z) schwach Borel-summierbar ist mit schwacher Borel-Summe Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle a (z)} an der Stelle .

Den der Reihe zugeordneten Ausdruck

nennt man die Borel-Transformation der Reihe Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle A(t)} . Er entspricht dem Einfügen der Koeffizienten der ursprünglichen Potenzreihe in die Reihe für die Exponentialfunktion.

Eine „stärkere“ Form der Borel-Summierung besteht im Übergang von der Summe zum Integral (B'-Methode oder Borels Integral-Summierungsmethode):[5][6][7] Falls der Grenzwert

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle a (z)= \int_0^\infty e^{-t} \mathcal{B}A(tz) \, dt = \int_0^\infty e^{-t} \sum_{k=0}^\infty \frac{a_k}{k!}t^k \, z^k \, dt }

existiert und das Integral als uneigentliches Integral wohldefiniert ist, sagt man, dass die ursprüngliche Reihe Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle A(z)} an der Stelle Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle z} nach der Methode B' Borel-summierbar ist mit der Borel-Summe Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle a (z)} .

Könnte man Summierung und Integration vertauschen, erhielte man formal wegen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \int_0^\infty t^n \, e^{-t} \, dt = n \, !}

Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle \int _{0}^{\infty }e^{-t}{\mathcal {B}}A(tz)\,dt=\int _{0}^{\infty }e^{-t}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {a_{k}}{k!}}t^{k}\,z^{k}\,dt=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}z^{k}=A(z).}

Die spezielle Laplace-Transformation Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \int_0^\infty e^{-t} \mathcal{B}A(tz) \, dt } heißt deshalb manchmal auch inverse Borel-Transformation.[8]

Falls das Integral nicht überall konvergiert, sondern nur in einer Umgebung von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle t=0} , kann es eventuell analytisch entlang der positiven reellen Achse fortgesetzt werden.

Grundlegende Eigenschaften

Beide Summierungsmethoden sind regulär (Godfrey Harold Hardy 1904),[9] das heißt wenn die Reihe konvergiert, dann konvergieren auch die schwache und die Integral-Borel-Summierung, und zwar auf den gleichen Wert.

Jede schwach Borel-summierbare Reihe (Methode B) ist auch nach der Methode B' summierbar (Hardy) aber nicht umgekehrt, wie ein Satz von Hardy beweist.

Ist die Reihe Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A(z)} B'-summierbar an der Stelle Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle z} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \lim_{t \rightarrow \infty} e^{-t}\mathcal B A(zt) = 0 } , dann ist sie schwach Borel-summierbar.

Anders ausgedrückt: die beiden Methoden B und B' sind äquivalent genau dann, wenn die Zusatzbedingung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \lim_{t \rightarrow \infty} e^{-t}\mathcal B A(zt) = 0 } erfüllt ist.[10]

Satz von Watson

Die Borel-Summe gibt in vielen Fällen die beste Näherung an eine divergente Reihe in einem bestimmten Variablenbereich in dem Sinn, dass die Fehler einer Näherung auf endlicher Stufe durch die Borel-Summierung so klein wie möglich sind. Hierzu gibt es den Satz von Watson[11], der hier in der Form des Lehrbuchs von Reed/Simon dargestellt wird.[8][12]

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f(z)} sei holomorph in einem Gebiet , das durch (Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle z=r\,e^{i\,\varphi }} )

  • Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 0 < r < R} und
  • Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \varphi < \frac {\pi}{2} + \epsilon}

gegeben ist für positives Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \epsilon} .

Weiter sei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f} in diesem Gebiet durch die asymptotische Reihe Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sum_{k=0}^\infty \frac{a_k}{k!} \, z^k} dargestellt, so dass der Näherungsfehler bei jeder Partialsumme

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle |f(z)-a_0 -a_1z -\cdots -a_{n}z^{n}|}

nach oben durch

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle C \, \gamma^{n+1} \, (n+1)\, ! \, r^{n+1}}

beschränkt ist für alle Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle z \in G} und für alle Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n} mit positiven Konstanten , Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \gamma >0} . Dann ist nach dem Satz von Watson Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f(z)} im Gebiet Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle G} die Borel-Summierung ihrer asymptotischen Reihe Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle s (z)= \sum_{k=0}^\infty \frac{a_k}{k!} \, z^k} - Dabei ist die Borel-Summierung hier im Sinn einer analytischen Fortsetzung der Methode B' zu verstehen wie oben in der Definition dargestellt.

Der Satz bildet die Grundlage für viele Anwendungen der Borel-Summierung in der mathematischen Physik. Reed/Simon definieren, dass bei Erfüllung der oben angegebenen Voraussetzungen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f (z)} eine starke asymptotische Bedingung erfüllt (strong asymptotic condition) und durch ihre starke asymptotische Reihe Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle s(z)} dargestellt ist. Sie zeigten, dass analytische Funktionen eindeutig durch ihre starken asymptotischen Reihen bestimmt werden.

Wichtig für Anwendungen ist die Möglichkeit mit Hilfe der Borel-Summierung eine analytische Funktion analytisch längs der reellen Achse fortzusetzen. Reed/Simon zeigten, dass falls die obigen Voraussetzungen erfüllt sind, Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle s(z)} in einer Scheibe um den Nullpunkt analytisch ist und eine analytische Fortsetzung in den Sektor Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \varphi < \epsilon } besitzt:

Falls Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle r < R} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \varphi < \epsilon} gilt:[13]

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \int_0^\infty e^{-t} | s(tz) | dt < \infty}
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f(z) =\int_0^\infty e^{-t} | s(tz) | dt }

Der Winkel Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac {\pi}{2}} in der Definition des Gebiets ist in gewisser Weise bestmöglich, da nach Borel und Carleman für kleinere Winkel die Eindeutigkeit der Darstellung durch eine asymptotische Reihe verlorengeht.[14]

Der Satz von Watson ist in Hinblick auf den Grenzfall Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \epsilon \to 0} (rechte Halbebene) 1980 von Alan Sokal für Anwendungen in der Quantenfeldtheorie verbessert worden.[15][16] unter Anwendung von Ergebnissen von Rolf Nevanlinna (1919).[17]

Beispiele

Geometrische Reihe

Die geometrische Reihe

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A(z) = \sum_{k = 0}^\infty z^k,}

konvergiert im üblichen Sinn für Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle |z|<1} gegen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac {1}{1-z}} .

Ihre Borel-Transformation ist:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathcal{B}A(tz) \equiv \sum_{k=0}^\infty \frac{z^k}{k!}t^k = e^{zt}}

und die Borel-Summe nach Methode B'

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \int_0^\infty e^{-t}\mathcal{B}A(tz) \, dt = \int_0^\infty e^{-t} e^{tz} \, dt =\frac{1}{1-z}}

Sie konvergiert für Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle Re (z)<1} und liefert so eine analytische Fortsetzung der ursprünglichen divergenten Reihe.

Betrachtet man stattdessen die schwache Borel-Summierung (Methode B) ergibt sich mit den Partialsummen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A_N (z)= \frac {1-z^{N-1}}{1-z}} für die Summe:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \lim_{t \rightarrow \infty}e^{-t} \sum_{n=0}^\infty \frac{1 -z^{n+1}}{1-z} \frac{t^n}{n!} = \lim_{t \rightarrow \infty} \frac{e^{-t}}{1-z} \big( e^t - z e^{tz} \big) = \frac{1}{1-z}, }

die ebenfalls für Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle Re (z) < 1} konvergiert. Das folgt auch aus dem obigen Äquivalenzsatz von Hardy für B- und B'-Summierbarkeit (siehe den Abschnitt „Grundlegende Eigenschaften“) und aus dem Ergebnis für die B'-Summierbarkeit, denn

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \lim_{t \rightarrow \infty} e^{-t} (\mathcal{B} A)(zt) = e^{t(z-1)} = 0. }

Allgemein bildet der Konvergenzbereich für die schwache Borel-Summierung einer Potenzreihe zu einer in Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle z=0} regulären Funktion einen sternförmigen Bereich (sog. Borel-Polygon).[18]

Alternierende faktorielle Reihe

Die alternierende Reihe mit der Faktoriellen als Koeffizienten ist gegeben durch:[19]

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A(z) = \sum_{k = 0}^\infty k!(-1 \cdot z)^k,}

Sie konvergiert für keinen Wert ungleich Null.

Die Borel-Transformation ist:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathcal{B}A(t) \equiv \sum_{k=0}^\infty \left(-1 \cdot t\right)^k = \frac{1}{1+t} }

und die Borel-Summe nach Methode B' ist:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \int_0^\infty e^{-t}\mathcal{B}A(tz) \, dt = \int_0^\infty \frac{e^{-t}} {1+tz} \, dt = \frac 1 z \cdot e^{1/z} \cdot \Gamma\left(0,\frac 1 z \right)}

mit der unvollständigen Gammafunktion Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Gamma} . Damit lässt sich die ursprüngliche divergente Reihe längs der gesamten positiven reellen Achse analytisch fortsetzen.

Wegen

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \lim_{t \rightarrow \infty} e^{-t} (\mathcal B A)(zt) = \lim_{t \rightarrow \infty} \frac{e^{-t}}{1 + zt} = 0, }

kann wie im Fall der geometrischen Reihe auch hier aus dem Satz von Hardy geschlossen werden, dass dies auch für die schwache Borel-Summierung gilt.

Beispiel für Nicht-Äquivalenz der beiden Summierungsmethoden

Hardy bringt folgendes Beispiel dafür, dass die beiden Summierungsmethoden B und B' unterschiedliche Ergebnisse liefern.[20] Man betrachte die Reihe

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A(z) = \sum_{k = 0}^\infty \left( \sum_{\ell=0}^\infty \frac{(-1)^\ell(2\ell + 2)^k}{(2\ell+1)!} \right) z^k. }

Die Borel-Transformation ist:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{align} \mathcal B A(t)&= \sum_{\ell = 0}^\infty \left( \sum_{k=0}^\infty \frac{\big((2\ell+2) t\big)^k}{k!} \right) \frac{(-1)^\ell}{(2\ell+1)!} \\ &= \sum_{\ell=0}^\infty e^{(2\ell+2)t}\frac{(-1)^\ell}{(2\ell+1)!} \\ &= e^t \sum_{\ell=0}^\infty \big(e^t\big)^{2\ell+1} \frac{(-1)^\ell}{(2\ell+1)!} \\ & = e^t \sin(e^t). \end{align} }

Bei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle z=2} ist die Borel-Summe nach Methode B':

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \int_0^\infty e^t \sin(e^{2t}) \, dt = \int_1^\infty \sin(u^2) \, du = \sqrt{\frac{\pi}{8}} - S(1) < \infty, }

mit dem Fresnel-Integral Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle S(x)} .

Es lässt sich zeigen, dass die analytische Fortsetzung der Borel-Summe auf der positiven reellen Achse für Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle z \leq 2} konvergiert und darüber divergiert.

Im Gegensatz dazu ist bei der schwachen Borel-Summierung

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \lim_{t \rightarrow \infty} e^{(z-1)t}\sin(e^{zt}) = 0 }

nur für Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle z <1} erfüllt und damit der Konvergenzbereich kleiner als bei der Methode B'.

Sätze vom Tauber-Typ

Sätze vom Tauber-Typ machen Aussagen darüber unter welchen Umständen die Konvergenz einer Methode die einer anderen Methode bedingt. Das wichtigste Resultat stammt von Hardy:[21][22]

Eine schwach Borel-summierbare Reihe ist im üblichen Sinn konvergent, wenn die Elemente der Potenzreihe Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle a_k \, z_0^k} (an der Stelle Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle z_0} ) von der Ordnung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{1}{\sqrt {k}}} sind (in Landau-Notation: Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle a_k \, z_0^k= 0 (\frac {1}{\sqrt {k}})} ).

Verallgemeinerung, Mittag-Leffler-Summierung

Die Borel-Summierung ist nur anwendbar, wenn die Koeffizienten der Reihe nicht zu schnell wachsen. Es gibt aber Verallgemeinerungen, die in Fällen anwendbar sind, in denen die Borel-Summierung versagt.

Die Mittag-Leffer-Summierung wurde 1906 von Gösta Mittag-Leffler[23] eingeführt und ist eine Verallgemeinerung der Borel-Summierung, die von Mittag-Leffler speziell für die divergente Reihe Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sum_{k=0}^\infty z^k} eingeführt wurde.[24][25]

Sie ist für die Reihe

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A(z) = \sum_{k = 0}^\infty a_k \, z^k}

mit Hilfe der Gammafunktion Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Gamma (z)} definiert über die Transformation:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \lim_{\delta \rightarrow 0} \, \sum_{k=0}^\infty \frac{a_k}{\Gamma(1+\delta k)} \, z^k }

Die Methode ist ebenfalls regulär und wird wie die Borel-Summierung bei der analytischen Fortsetzung von Funktionen angewendet.

Anwendungen

In der Quantenfeldtheorie können mit Hilfe der Borel-Summierung die Schwinger-Funktionen – das sind die Vakuumerwartungswerte des Produkts der Felder an n verschiedenen Punkten – aus der Störungsreihe gewonnen werden, zum Beispiel in der euklidischen Formulierung der Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle {\phi}^4} -Theorie in zwei Dimensionen.[26][27] im Rahmen der mathematisch strengen Behandlung der Quantenfeldtheorie (siehe Axiomatische Quantenfeldtheorie). Sie findet aber auch zum Beispiel bei der Summierung der Störungsreihe der Quantenchromodynamik Anwendung. Die Beiträge der N-ten Ordnung der Störungsreihe wird typischerweise durch eine Anzahl Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 0 ( N \, ! )} von Feynmandiagrammen bestimmt und ist entsprechend von gleicher Ordnung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 0 (N !)} in Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle N} . Die Singularitäten der Borel-Transformation in der komplexen Ebene entsprechen teilweise Instantonen und Renormalonen.

Eine weitere Anwendung ist das Feigenbaum-Szenario in der Chaostheorie,[28] der Berechnung kritischer Exponenten von Phasenübergängen[29] oder der anharmonische Oszillator.[30]

In den Anwendungen wird manchmal noch die Padé-Approximation auf die Borel-Summierung angewandt (Borel-Padé-Methode).

Literatur

Weblinks

Einzelnachweise

  1. ↑ Borel, Sur la sommation des séries divergents, Comptes Rendus Acad. Sci., Serie 1 (Math.), Band 126, 1895, S. 1125–1127
  2. ↑ Borel, Mémoire sur les séries divergentes, Ann. Sci. École Norm. Sup. (3), Band 16, 1899, S. 9–131, 132–136, numdam
  3. ↑ Borel, Lecons sur les Séries Divergentes, Paris, Gauthier-Villars, 1901, 2. Auflage 1928, englische Übersetzung Lectures on divergent series, Los Alamos Scientific Laboratories 1975
  4. ↑ Artikel Borel summation method in Encyclopedia of Mathematics, Springer, siehe Weblinks
  5. ↑ a b Bruce Shawyer, Bruce Watson: Borel's methods of Summability, Clarendon Press 1994, Kapitel 3 (Basic Definitions)
  6. ↑ Zeller (1958, siehe Literatur) bezeichnet B', also das Integralverfahren, als Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle B_0^*} und B als Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle B_0} .
  7. ↑ Hardy (1949, S. 182) bezeichnet die schwache Methode mit B und die Integral-Methode mit B' wie hier oder alternativ B als Borel's exponentielle Methode und B' als Borel's Integral-Methode.
  8. ↑ a b Reed, Simon, Methods of Modern Mathematical Physics, Band 4 (Analysis of Operators), Academic Press 1978, S. 44
  9. ↑ Hardy, Divergent Series, 1949, S. 182
  10. ↑ Hardy, Divergent Series, 1949, S. 183
  11. ↑ G. N. Watson, A theory of asymptotic series, Phil. Trans. Roya. Soc. A, Band 211, 1912, S. 279–313
  12. ↑ Bruce Shawyer, Bruce Watson: Borel's methods of Summability, Clarendon Press 1994, S. 204
  13. ↑ Bruce Shawyer, Bruce Watson: Borel's methods of Summability, Clarendon Press 1994, S. 205
  14. ↑ Hardy, Divergent Series, 1949, S. 191
  15. ↑ Sokal, An improvement of Watson's theorem on Borel summability, J. Math. phys. Band 21, 1980, S. 261–263
  16. ↑ D. W. H. Gillam, V. P. Gurarii, On functions uniquely determined by their asymptotic expansion, Functional Analysis and Its Applications, Band 40, Nr. 4, 2006, S. 273–284
  17. ↑ Nevanlinna, Zur Theorie der asymptotischen Potenzreihen, Ann. Acad. Sci. Fenn. Ser. A, Band XII, Nr. 3, 1919, S. 1–81
  18. ↑ Zeller, Theorie der Limitierungsverfahren, Springer 1958, S. 136
  19. ↑ Kurz bei Hardy (1949), S. 192, behandelt
  20. ↑ Hardy, Divergent Series, 1949, S. 183
  21. ↑ Zeller, Theorie der Limitierungsverfahren, 1. Auflage, Springer 1958, S. 138
  22. ↑ Hardy, Divergent Series, 1949, S. 220. Dort als Principal Tauberian Theorem bezeichnet
  23. ↑ Mittag-Leffler, Sur la reprèsentation analytique d'une branche uniform d'une fonction monogène, Acta Mathematica, Band 29, 1904, S. 101–181
  24. ↑ Mittag-Leffler, Sur la représentation arithmétique des fonctions analytiques d'une variable complexe", Atti del IV Congresso Internazionale dei Matematici (Rom 1908), Band 1, S. 67–86,
  25. ↑ Mittag-Leffler summation method, Encyclopedia of Mathematics, Springer
  26. ↑ Glimm, Jaffe, Quantum Physics. A Functional Integral Point of View, Springer 1981, S. 364. Mit Verweis auf J.-P. Eckmann, J. Magnen, R. Seneor, Decay properties and Borel summability of the Schwinger functions in Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P(\phi)_2} theories, Comm. Math. Phys., Band 39, 1975, S. 251–271.
  27. ↑ H. Kleinert, V. Schulte-Frohlinde, Critical properties of Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \phi^4} theories, World Scientific 2000
  28. ↑ J.-P. Eckmann, P. Wittwer, Computer methods and Borel-summability applied to Feigenbaum's equation, Lecture notes in physics 85, Springer 1985
  29. ↑ J. Le Guillou, Zinn-Justin, Critical exponents for the n-vector model in three dimensions from field theory, Phys. Rev. Lett., Band 39, 1977, S. 39–98
  30. ↑ S. Graffi, V. Grecchi, B. Simon, Borel summability: Application to the Anharmonic Oscillator, Phys. Lett. B, Band 32, 1970, S. 631&34
  31. ↑ In der 1. Auflage nur von Zeller auf S. 134–140 (Zusammenfassung von Ergebnissen)
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