Bruhat-Tits-Gebäude

Datei:Bruhat-Tits-tree-for-Q-2.png

Bruhat-Tits-Baum für Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle SL(2,\Q_2)} .

In der Mathematik sind Bruhat-Tits-Gebäude eine nicht-archimedische Variante symmetrischer Räume. Sie sind nach François Bruhat und Jacques Tits benannt.

Bruhat-Tits-Gebäude für SL(n,K)

Sei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle K} ein Körper und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle v} eine diskrete Bewertung. Der Bewertungsring Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle {\mathcal O}_v} ist definiert durch ${\mathcal {O}}_{v}=\left\{x\in K\colon v(x)\geq 0\right\}$.

Das Bruhat-Tits-Gebäude für die spezielle lineare Gruppe $G=SL(n,K)$ ist ein (n-1)-dimensionaler Simplizialkomplex.

Ecken: Seine Ecken (0-Simplizes) sind die Homothetieklassen von Gittern in $K^{n}$. (Ein Gitter ist ein ${\mathcal {O}}_{v}$-Modul vom Rang $n$, zwei Gitter $\Lambda ,\Lambda ^{\prime }$ gehören zur selben Homothetieklasse wenn $\Lambda ^{\prime }=\alpha \Lambda$ für ein $\alpha \in K$.)

Simplizes: $m+1$ Ecken Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle s_0,\ldots,s_m} bilden genau dann einen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle m} -dimensionalen Simplex, wenn sie durch Gitter $\Lambda _{0},\ldots ,\Lambda _{m}$ mit

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \omega\Lambda_m\subset \Lambda_0\subset\Lambda_1\subset\ldots\subset \Lambda_m}

mit einem irreduziblen Element Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \omega\in{\mathcal O}_v} repräsentiert werden.

Insbesondere ist das Bruhat-Tits-Gebäude von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle SL(2,K)} ein unendlicher Baum, dessen Knoten die Valenz Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle char(k)+1} haben, wobei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle k} der zu Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle K} assoziierte Restklassenkörper ist. Man spricht in diesem Fall von einem Bruhat-Tits-Baum.

Allgemein kann ein Bruhat-Tits-Gebäude für jede reduktive Gruppe $G$ über einem lokalen Körper Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle K} definiert werden.

Eigenschaften

Das Bruhat-Tits-Gebäude ist ein euklidisches Gebäude und insbesondere ein CAT(0)-Raum. Der Link jeder Ecke ist ein sphärisches Tits-Gebäude und insbesondere ein CAT(1)-Raum.

Die Gruppe Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle G} wirkt eigentlich diskontinuierlich durch simpliziale Automorphismen auf ihrem Bruhat-Tits-Gebäude.

Das Bruhat-Tits-Gebäude ist kontrahierbar, endlich-dimensional und lokal endlich, letzteres heißt, dass jeder Simplex nur zu endlich vielen Simplizes adjazent ist.

Literatur

• Jean-Pierre Serre: Trees (= Springer Monographs in Mathematics.). Translated from the French original by John Stillwell. Corrected 2nd printing of the 1980 English translation. Springer, Berlin u. a. 2003, ISBN 3-540-44237-5.
• Ian G. MacDonald: Spherical functions on a group of p-adic type (= Publications of the Ramanujan Institute. 2, ISSN 0304-9965). University of Madras – Ramanujan Institute, Madras 1971.

Weblinks

• Witte Morris: Introduction to Bruhat-Tits buildings
• Rabinoff: The Bruhat-Tits building of a p-adic Chevalley group and an application to representation theory
• Remy-Thuillier-Werner: Bruhat-Tits buildings and analytic geometry