Cohen-Daubechies-Feauveau-Wavelet

Cohen-Daubechies-Feauveau-Wavelets (CDF-Wavelets) sind die historisch gesehen erste Familie der biorthogonalen Wavelets. Sie wurden von Albert Cohen, Ingrid Daubechies und Jean-Christophe Feauveau konstruiert und 1990 vorgestellt. CDF-Wavelets sind zu unterscheiden von den orthogonalen Daubechies-Wavelets, die andere Formen und Eigenschaften besitzen. Beide Wavelettypen gehen auf die gleiche Konstruktionsidee zurück, CDF-Wavelets verzichten zugunsten der Symmetrie auf Orthogonalität der Wavelets (bei Daubechies-Wavelets ist es umgekehrt).

Der JPEG-2000-Kompressionsstandard verwendet das biorthogonale CDF-5/3-Wavelet (auch LeGall-5/3-Wavelet genannt) zur verlustfreien Kompression und das CDF-9/7-Wavelet für die verlustbehaftete Kompression.

Datei:Jpeg2000 2-level wavelet transform-lichtenstein.png

Beispiel einer 2D-Wavelet-Transformation, die im JPEG2000-Standard verwendet wird

Eigenschaften

• Der Primgenerator ist ein B-Spline, wenn die einfache Faktorisierung $q_{\mathrm {prim} }(X)=1$ (siehe unten) gewählt wird
• Der Dualgenerator hat die maximale Anzahl an Glattheitsfaktoren, die für die Länge möglich ist
• Alle Generatoren und Wavelets dieser Familie sind symmetrisch.

Konstruktion

Für jede positive Ganzzahl Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A} gibt es ein eindeutiges Polynom Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle Q_A(X)} vom Grad Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A-1} , das der folgenden Identität genügt:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (1-X/2)^A\,Q_A(X)+(X/2)^A\,Q_A(2-X)=1} .

Es handelt sich um das gleiche Polynom, das bei der Konstruktion der Daubechies-Wavelets verwendet wird. Anstelle einer spektralen Faktorisierung wird hier jedoch versucht

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle Q_A(X)=q_{\mathrm{prim}}(X)\,q_{\mathrm{dual}}(X)}

zu faktorisieren. Die Faktoren Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle q_{\mathrm{prim}}(X),q_{\mathrm{dual}}(X)} sind dabei Polynome mit reellen Koeffizienten und Absolutglied Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle q_{\mathrm {prim} }(0)=q_{\mathrm {dual} }(0)=1} .

In diesem Fall formen

$a_{\mathrm {prim} }(Z)=2Z^{d}\,\left({\frac {1+Z}{2}}\right)^{A}\,q_{\mathrm {prim} }(1-(Z+Z^{-1})/2)$

und

$a_{\mathrm {dual} }(Z)=2Z^{d}\,\left({\frac {1+Z}{2}}\right)^{A}\,q_{\mathrm {dual} }(1-(Z+Z^{-1})/2)$

ein biorthogonales Paar von Skalierungsfolgen. Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle d} ist eine Ganzzahl, die zur Zentrierung der symmetrischen Folge auf Null verwendet wird, oder um die korrespondierenden diskreten Filter kausal zu machen.

Abhängig von den Wurzeln von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle Q_A(X)} gibt es bis zu Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 2^{A-1}} verschiedene Faktorisierungen. Eine einfache Faktorisierung ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle q_{\mathrm{prim}}(X)=1} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle q_{\mathrm{dual}}(X)=Q_A(X)} . In diesem Fall ist die primäre Skalierungsfunktion das B-Spline der Ordnung $A-1$. Für Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A=1} erhält man das orthogonale Haar-Wavelet.

Koeffiziententabelle

Datei:Wavelet Bior2.2.svg

Cohen-Daubechies-Feauveau-Wavelet 5/3, wie es im JPEG-2000-Standard verwendet wird.

Für Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A=2} erhält man das LeGall-5/3-Wavelet:

A	QA(X)	qprim(X)	qdual(X)	aprim(Z)	adual(Z)
2	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 1 + X}	1	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 1 + X}	${\frac {1}{2}}(1+Z)^{2}\,Z$	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac12(1+Z)^2\,\left(-\tfrac12 + 2\,Z - \tfrac12\,Z^2\right)}
				Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle =\frac12\,\left(Z+2Z^2+Z^3\right)}	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle =\frac14\,\left(-1+2Z+6Z^2+2Z^3-Z^4\right)}

Für Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A=4} erhält man das 9/7-CDF-Wavelet. Man erhält Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle Q_4(X)=1 + 2\,X + 5/2\,X^2 + 5/2\,X^3} . Dieses Polynom besitzt genau eine reelle Wurzel und ist somit das Produkt des linearen Faktors $1-c\,X$ und eines quadratischen Faktors. Der Koeffizient Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle c} , der das Inverse der Wurzel ist, hat einen Wert von etwa −1,4603482098.

A	QA(X)	qprim(X)	qdual(X)
4	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 1 + 2\,X + 5/2\,X^2 + 5/2\,X^3}	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 1-c\,X}	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 1 + (c + 2)*\,X + (c^2 + 2*c + 5/2)\,X^2}

Für die Koeffizienten der zentrierten Skalierungs- und Wavelet-Folgen erhält man numerische Werte in implementierungsfreundlicher Form:

k	Analyse-Tiefpassfilter (1/2 adual)	Analyse-Hochpassfilter (bdual)	Synthese-Tiefpassfilter (aprim)	Synthese-Hochpassfilter (1/2 bprim)
−4	0,026748757411	0	0	0,026748757411
−3	−0,016864118443	0,091271763114	−0,091271763114	0,016864118443
−2	−0,078223266529	−0,057543526229	−0,057543526229	−0,078223266529
−1	0,266864118443	−0,591271763114	0,591271763114	−0,266864118443
0	0,602949018236	1,11508705	1,11508705	0,602949018236
1	0,266864118443	−0,591271763114	0,591271763114	−0,266864118443
2	−0,078223266529	−0,057543526229	−0,057543526229	−0,078223266529
3	−0,016864118443	0,091271763114	−0,091271763114	0,016864118443
4	0,026748757411	0	0	0,026748757411

Nummernbezeichnung

Es gibt zwei parallele Nummerierungsschemata für Wavelets der CDF-Familie.

• Die Anzahl der Glattheitsfaktoren der Tiefpassfilter, oder (äquivalent) die Anzahl der verschwindenden Momente der Hochpassfilter, z. B. 2,2
• Die Längen der Tiefpassfilter, oder (äquivalent) die Längen der Hochpassfilter, z. B. 5,3

Das erste Schema wurde in Daubechies' Buch „Ten lectures on wavelets“ verwendet. Keine der Bezeichnungen ist eindeutig. Die Anzahl der verschwindenden Momente sagt nichts über die gewählte Faktorisierung aus. Eine Filterbank, deren Filterlängen 7 und 9 betragen, hat 6 und 2 verschwindende Momente, wenn man eine triviale Faktorisierung verwendet, oder 4 und 4 verschwindende Momente, wie in dem Fall des JPEG-2000-Wavelets. Das gleiche Wavelet kann daher als „CDF 9/7“ (basierend auf den Filterlängen) oder „biorthogonal 4/4“ (basierend auf den verschwindenden Momenten) heißen.

Lifting-Zerlegung

Für die trivial faktorisierten Filterbänke kann eine Lifting-Zerlegung explizit gegeben werden.

Literatur

• A. Cohen, I. Daubechies und J.C. Feauveau: Biorthogonal bases of compactly supported wavelets. Comm. Pure & Appl. Math 45, 1992, S. 485 bis 560. 
• I. Daubechies: Ten Lectures on wavelets. SIAM, 1992. 

Weblinks

• JPEG 2000: How does it work?
• CDF 9/7 Wavelet Transform for 2D Signals via Lifting: Source code in Python
• Open Source 5/3-CDF-Wavelet Implementierung in C#, für beliebige Größen