Diskussion:Ähnlichkeit (Matrix)

Frage: Wie kann man am einfachsten nachweisen, dass zwei Matrizen ähnlich sind? Es geht darum dies per Hand zu rechnen, ohne CAS. Mit dem Satz: Zwei Matrizen sind genau dann ähnlich, wenn ihre charakteristischen Matrizen äquivalent sind. kann ich nicht viel anfangen, da ich nicht weiß was eine charakteritische Matrix ist. --Derhman 18:29, 20. Aug 2006 (CET)

Ich kann mit dem letzten Satz auch nichts anfangen. Ich würde die Ähnlichkeit dadurch nachweisen, dass ich beide Matrizen auf JNF bringe und dann vergleiche (die JNF ist ähnlich zur ursprünglichen Matrix und ist bis auf Anordnung der Jordankästchen eindeutig). Das kann aber sehr aufwändig sein und ich weiß nicht, ob es im Allgemeinen bessere Lösungen gibt. --Floklk 12:01, 21. Aug 2006 (CEST)

Also wir haben heute noch was rausgefunden, aber es geht auch in deine Richtung. Wenn die beiden Matrizen diagonalisierbar sind, gilt: Zwei diagonalisierbare Matrizen A und B sind ähnlich gdw die beiden Charakteristische Polynome gleich ist. Das ist doch schon mal ein Anfang oder?

Ohne die Definition einer Charakteristischen Matrix, ist der oben genannte Satz nicht zu gebrauchen. Angeblich ist die Charakteristische Matrix $(A-\lambda I)$, dann wäre der Satz auch falsch oder? --Derhman 18:55, 21. Aug 2006 (CET)

Also ich würde vermuten, dass zwei Matrizen genau dann ähnlich sind, wenn $\forall \lambda \in \mathbb {R} :\forall m\;mit\;1\leq m\leq n:$$(A-\lambda I_{n})^{m}\;ist\;{\ddot {a}}quivalent\;zu\;A^{m}$; wobei zwei Matrizen genau dann äquivalent sind, wenn sie den selben Rang haben. Für diagonalisierbare Matrizen sollte m=1 reichen. --Floklk 11:40, 22. Aug 2006 (CEST) Zum Thema "Lemma von Frobenius" verweise ich erstmal auf Benutzer Diskussion:HeikoTheissen. Vielleicht schreibe ich irgendwann mal noch was dazu... --Floklk 17:22, 3. Sep 2006 (CEST)

Das ist aber auch nicht der einfachste Weg per Hand oder? --Derhman 16:14, 22. Aug 2006 (CEST)

zur frage von oben: irgendwelche matrix operationen von hand zu machen ist doch größenwahnsinnig! aber wenns schön einfach gehen soll det(A - lambda I) für beide matrizen ausrechnen (=das charakteristische polynom)und das Ergebniss muß übereinstimmen, sonst hätten sie nicht die selben eigenwerte (bzw. auf ebene der polynome: Nullstellen)

meine frage: genügt für P, dass es invertierbar ist oder müssen weitere anforderungen erfüllt sein? IngGrimm@web.de

Berichtigung

lese gerade im artikel: Ähnliche Matrizen haben auch die selbe Spur <- darüber könnte man es wohl am allerallereinfachsten bestimmen, ob sie ähnlich sind.

Aber Matrizen mit gleicher Spur müssen doch nicht ähnlich sein oder? Das wäre meiner Meinung nach höchstens ein Hinweis. Folgendes Beispiel mit 3x3-Matrizen: A = (1 1 0 ; 0 2 0 ; 0 0 1) und B = (2 0 0 ; 0 1 1 ; 0 0 1). Die beiden haben dieselbe Determinante (det=2) und dieselbe Spur (Spur=4), wie man leicht nachrechnen kann.

Bei beiden Matrizen sind die Eigenwerte 1, 1 und 2. Bei A kann man drei linear unabhängige Eigenvektoren finden, aber bei B nur zwei. Demnach ist A diagonalähnlich zu D mit A=T D T^-1 und T Spaltenmatrix aus den Eigenvektoren. Für B geht das nicht, weil man nur zwei Eigenvektoren hat.

Kann man folgern, dass A und B nicht ähnlich sind, wenn nicht beide diagonalähnlich sind? Wäre auch gut, wenn jemand das noch einmal nachrechnen würde.

Ueberschrift

Es hoert sich komisch an zu sprechen von "Ähnliche Matrix", als sei Ähnlichkeit eine Eigenschaft einer Matrize, Beser waere es als Ueberschrift: Ähnlichkeit (Matrix), oder Ähnliche Matrizen zu waehlen, Nijdam 22:02, 1. Sep. 2011 (CEST)

Das stimmt. Vielleicht: Ähnlichkeit (lineare Algebra)? --P. Birken 16:36, 4. Sep. 2011 (CEST)

Mein Vorschlag waere wie erwaehnt Ähnlichkeit (Matrix), im Einklang mit Äquivalenz (Matrix). Anscheinend existiert der Ueberschrift schon, und weist auf dieser Seite. Nijdam 19:21, 4. Sep. 2011 (CEST)

Jetzt wollte ich gerade verschieben, da habe ich gesehen, dass der Artikel im Januar erst hierher verschoben wurde. Ich spreche Benutzer:Christian1985 mal an. --P. Birken 15:54, 17. Sep. 2011 (CEST)

Ja ihr habt Recht, ich habe diese Seite wieder zurückverschoben. --Christian1985 (Diskussion) 16:37, 17. Sep. 2011 (CEST)

Habe nochmal eine Weiterleitung von Ähnliche Matrix hierhin erstellt. --sensorpixel (Diskussion) 16:42, 25. Mär. 2014 (CET)

Ich finde das Lemma Ähnlichkeit (Matrix) und auch die Weiterleitung Ähnliche Matrix etwas ungünstig, denn für Ähnlichkeit braucht man (wie bei Zwillingen) immer zwei. Besser wäre also Ähnlichkeit (Matrizen) bzw. Ähnliche Matrizen oder sogar Ähnlichkeit von Matrizen. Alternativ könnte man, wie oben vorgeschlagen, auch Ähnlichkeit (lineare Algebra) nehmen. Analog Kongruenz (Matrix) und Äquivalenz (Matrix). Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 16:14, 13. Feb. 2015 (CET)

Hast Recht. Besser wäre: Ähnlichkeit (lineare Algebra) und Ähnliche Matrizen. Nijdam (Diskussion) 10:52, 14. Feb. 2015 (CET)

Gleichheit ausgeschlossen

Es steht wenn A,B ähnlich, dann beschreiben sie dieselbe lineare Abb. aber mit unterschiedlichen Basen. Da gehört ja A=!B noch ausgeschlossen oder nicht..... (nicht signierter Beitrag von 178.115.130.246 (Diskussion) 17:27, 20. Nov. 2014 (CET))