Diskussion:Affine Hülle

Unversell

Warum affine Hülle ist ein universeller Begriff? 212.87.13.72 16:07, 18. Okt. 2008 (CEST)

Die universellen Eigenschaften erbt die affine Hülle von ihrer Eigenschaft als Hüllenoperator. Es lohnt sich nicht, im vorliegenden Artikel auf die Details einzugehen, aber pragmatisch gesagt: Als kleinstes Objekt in der konkreten Kategorie der affinen Unterräume eines affinen Raums mit der Eigenschaft bestimmte Teilmengen des affinen Raumes zu enthalten, ist die Hülle eindeutig (und damit im Sinne der Kategorien universell). Wenn das für den ersten Satz eines Artikels zu anspruchsvoll ist, nehme ich das gern wieder raus.

Vektorraum vs. affiner Raum

Das ist in dem Artikel nicht einheitlich. Mal wird von Teilmengen eines Vektorraums gesprochen, dann von denen eines affinen Raums, einmal auch von beidem. -- Digamma 21:33, 18. Jul. 2010 (CEST)

Ist jetzt einheitlich. Die Konstruktion braucht den Raum der Verbindungsvektoren als Linearen Raum, alles andere spielt sich im affinen Punktraum ab.--KleinKlio 08:10, 19. Jul. 2010 (CEST)

Zusammenführung des Artikels Verbindungsraum mit Affine Hülle.

Nach Absprache mit dem Autor des Artikels Verbindungsraum habe ich Inhalte daraus in Affine Hülle eingearbeitet, insbesondere den Quellenverweis auf das Skript:

• http://www.uni-regensburg.de/Fakultaeten/nat_Fak_I/Mat4/waldi/skriptlinalg/kapV_para2.pdf

Der alte Arikel findet sich vorläufig hier: Benutzer:KleinKlio\Verbindungsraum. Hier folgt die Versionsgeschichte von Verbindungsraum als unsichtbarer Kommentar: --KleinKlio 07:51, 19. Jul. 2010 (CEST)

Ich habe die Unterseite "Benutzer:KleinKlio\Verbindungsraum" (s. o.) zur Löschung eingetragen; ich denke, es besteht kein Bedarf mehr dafür. --KleinKlio 12:52, 19. Nov. 2010 (CET)

Definition Affine Hülle

Ich bin wegen der Definition für affine Hülle hier angekommen. Aber die Definition ist für mich überhaupt nicht hilfreich. Muss ich mich jetzt erst durch ein paar Seiten klicken, bevor ich wieder weiß, was eine affine Hülle genau ist? Ich hätte mir eine formalere Definition gewünscht. Etwa

$\operatorname {aff} (v_{1},...,v_{n}):=\sum \limits _{i=1}^{n}{\lambda _{i}v_{i}}$ mit $\lambda _{i}\geq 0$

(zumindest glaube ich, dass das die Definition war. Ich wollte mich nur versichern...) (nicht signierter Beitrag von 90.136.79.204 (Diskussion) 15:55, 20. Nov. 2010 (CET))

(Ich habe mir mal erlaubt, TeX erzeugen zu lassen.)

Nein, das, was du schreibst, definiert den von $v_{1}$ bis $v_{n}$ aufgespannten Kegel. Die richtige Bedingung für die affine Hülle ist nicht $\lambda _{i}\geq 0$, sondern $\textstyle \sum \lambda _{i}=1$. -- Digamma 18:19, 21. Nov. 2010 (CET)

Formale Definition

Hallo Martin Thoma,

du hast unter Defintion die Darstellung mit Hilfe von Linearkombinationen ergänzt. Wenn man die affine Hülle als kleinsten affinene UR, der die Menge enthält, definiert, dann ist das aber nicht Bestandteil der Definition, sondern gehört eher in den nächsten Unterabschnitt "Konstruktion" als alternative Darstellung. Es wird außerdem nicht klar, was k ist. Ist das fest oder variabel? Im ersteren Fall, sollte man es deklarieren, im zweiten müsste innerhalb der Mengenklammer noch der Bereich, in dem k variiert, angegeben werden. --Digamma (Diskussion) 21:30, 24. Aug. 2012 (CEST)

Hallo Digamma,

ich habe die formale Definition erst mal entfernt:

$\operatorname {Aff} (M):=\left\{\left.\sum _{i=1}^{k}\lambda _{i}p_{i}\ \right|\ p_{i}\in M,\lambda _{i}\in \mathbb {K} ,\sum _{i=1}^{k}\lambda _{i}=1\right\}$

Ich versuche es morgen mal besser zu machen.

Ach ja, du darfst mich gerne einfach Martin nennen ;-)

Grüße, --Martin Thoma 23:41, 24. Aug. 2012 (CEST)

Verband der affinen Unterräume ist nicht distributiv

Genau wie der Verband der linearen Unterräume ist der Verband der affinen Unterräume nicht distributiv und insbesondere keine Boolesche Algebra (was sollte z.B. auch das Komplement einer Geraden im Raum sein?). Man betrachte z.B. drei paarweise verschiedene, parallele Geraden $a,b,c$ in der Ebene, dann gilt $(a\vee b)\wedge c=c\neq \emptyset =(a\wedge c)\vee (b\wedge c)$. --Jepperlein (Diskussion) 12:58, 14. Okt. 2016 (CEST)

Komplement zu einer Geraden im Raum ist eine Ebene, die die Gerade transversal schneidet, oder irre ich mich da? Mit dem "nicht distributiv" hast du sicher recht. --Digamma (Diskussion) 16:12, 14. Okt. 2016 (CEST)

Das Infimum wäre in dem Fall ein Punkt und nicht, wie für die Boolsche Algebra notwendig, die leere Menge (das kleinste Element des Verbandes). Außerdem wäre das Komplement dann alles andere als eindeutig. --Jepperlein (Diskussion) 12:05, 17. Okt. 2016 (CEST)