Diskussion:Algebraische Zahl

Beweisfehler

Zitat: "Dabei sind alle rationalen Zahlen a algebraisch, da sie die Gleichung x − a = 0 lösen". Gegenbeispiel:

x = 2/3. Es existiert aber keine ganze Zahl a, so dass die Gleichung 2/3-a=0 erfüllt ist. Wenn es eine Representation mit ganzzahlige Koeffizienten gewählt ist, muss man diesen Beweis auch dementsprechend anpassen. Etwa: Sei x eine beliebige rationale Zahl => Es existiert eine ganze Zahl z und eine natürliche Zahl n, so dass x=z/n => x ist eine Lösung von nx-z=0 => x ist eine algebraische Zahl. Update: Der Beweis wurde am 14. April 2008 korrigiert. Die aktuelle Version enthält diesen Fehler nicht mehr.

(Frage 1)

Warum sind hier Algebraische Zahl im Gegensatz zu Transzendente Zahl beim Polynom rationale statt ganzzahlige Koeffizienten gefordert? Sollte die Definition nicht möglichst einfach sein? Bzw. wäre es nicht schön - auch als Laie - direkt zu sehen, daß dies natürlich die gleichen Polynome sind?

Stimmt. Ich wär auch dafür, nur Polynome mit ganzzahligen Koeffizienten zu nehmen. Ehe ich das nun aber ändere, warte ich noch mal ab, ob jemand, der für rationale Koeffizienten ist, dies vielleicht auch gut begründen kann. :-) --RokerHRO 10:53, 15. Feb. 2008 (CET)

Ich kann mich da nur anschließen. Alternativ ließe sich ein normiertes Polynom ( a(n)=1) mit rationalen Koeffizienten verwenden. Bei der Gelegenheit ist mir aufgefallen, dass die Bedingung n>0 fehlte um f(x) = 0 auszuschließen. Das habe ich aber bereits korrigiert. --labus 15:53, 1. März 2008 (CET)

Die Def. mit ganzzahligen Koeffizienten wäre auch in meinen Augen schöner. In der Literatur bin ich bis jetzt aber meistens auf die rationale Variante als erste Def. gestoßen, und sie wird nicht nur im Nachsatz als Alternative angeboten. Ich finde, die Wikipedia-Darstellung sollte damit einheitlich und auch intern konsistent mit den anderen Artikeln sein. Übrigens war der Artikel nicht an die ganzzahlige Definition angepasst worden: die Alternativdefinition lautete ebenfalls noch auf ganzzahlig, die Grad-Definition verwendete noch rationale Koeffizienten und die bisherige Def. der ganzalgebraischen Zahlen passte sprachlich auch besser zur alten Version. Wenn die endgültige Definition festliegt, sollte der gesamte Artikel entsprechend angepasst werden. Ich habe die Def. fürs erste auf rationale Koeffizienten zurückgestellt, um die Missverständnisse zu vermeiden. --ezdvf 14:11, 6. Juni 2008 (CET)

(Frage 2)

Sagt man nicht: "Eine Zahl ist algebraisch über K"? Und die Koeffizienten hängen doch dann von K ab. Wieso müssen sie rational sein? - Michael

Weil man mit irrationalen Koeffizienten eben auch Zahlen wie Pi oder e bekommen könnte. z.B. bei dem Polynom: 1/Pi * x - 1 = 0. :-) --RokerHRO 10:53, 15. Feb. 2008 (CET)

Naja, aber wenn man z.B. eine Körpererweiterung Q(Wurzel(2)) betrachtet, ist pi über Q(Wurzel(2)) transzendent, und als Koeffizienten sind nun auch irrationale Zahlen (Wurzel(2)) zugelassen. edit: Also was ich sagen will, ist, daß die Definition von algebraisch wie sie im Artikel steht, zu verstehen ist als "algebraisch über Q". Aber eigentlich ist die Definition doch viel allgemeiner. edit2: Ok, wird bei der Def. vom algebraischen Element so gemacht. - Michael

Komplexe Zahl?

Es ist etwas verwirrend, dass im Artikel geschrieben wird "ist eine komplexe Zahl", da viele Leute, die mathamtisch nicht ganz fit sind, denken werden, dass damit eine Zahl gemeint ist, deren komplexer Anteil unbedingt ungleich null ist - dass also eine algebraische Zahl keine relle sein darf. Und das ist falsch, wenn mich nicht alles täuscht - hat jemand eine Idee, wie man das umformulieren kann? Betrifft ebenfalls Transzendente Zahl--Liquidat 01:26, 1. Mai 2005 (CEST)

Ist es so besser? Ausgesprochen hübsch ist es nicht.--Gunther 01:48, 1. Mai 2005 (CEST)

Nicht hübsch, aber besser. --Liquidat 02:16, 1. Mai 2005 (CEST)

Formulierung

Zum Satz "Diese Definition kann auf reelle oder allgemeiner auf komplexe Zahlen angewandt werden." Gemeint ist vermutlich: Eine reelle bzw. komplexe Zahl heißt algebraisch, genau dann wenn sie Nullstelle eines Poynoms mit ganzzahligen koeffizienten ist.

Ja. Ist das irgendwie unverständlich oder missverständlich? Ich wollte vermeiden, dass der Leser schon im ersten Satz durch die Erwähnung komplexer Zahlen erschreckt wird. Und ich würde das in jedem Kontext anwenden, in dem ich von "Zahlen" spreche, deshalb die vage Formulierung im ersten Satz.--Gunther 14:00, 20. Mai 2005 (CEST)

Ich habe zuerst gedacht, es ginge um rationale bzw komplex-rationale Koeffizienten. Das war aber nicht gemeint.

Man kann die algebraischen Zahlen auch als Äquivalenzklassen von abbrechenden ganzzahligen Folgen der Mindestlänge 3 definieren. Dazu gibt die Folge ab dem zweiten Glied das Polynom vor, und das erste Folgenglied (modulo Polynomgrad) sagt, welche der Nullstellen gemeint ist, wobei man noch die Reihenfolge der Nullstellen festlegen muss, woraus dann die Äquivalenzrelation folgt. Diese Definition greift gar nicht auf reelle oder komplexe Zahlen zurück. Leider weiß ich nicht, wie man das für Laien formulieren kann.--134.102.43.70 19:58, 23. Mai 2005 (CEST)

(Unterschrift nachgetragen von Gunther 20:25, 23. Mai 2005 (CEST). Bitte mit --~~~~, also zwei Minussen und vier Tilden unterschreiben.)

Nein, das gibt nicht erst Probleme, wenn man es Laien erklären will. Wenn ich den Quotienten aus "erster" und "zweiter" Lösung von $X^{3}-2=0$ bilde, erhalte ich dann die "erste" oder die "zweite" Lösung von $X^{2}+X+1=0$?--Gunther 20:25, 23. Mai 2005 (CEST)

Das kommt darauf an, wie man die Nummerierung festlegt. Sortiert man nach Realteil, und bei gleichem Realteil nach Imaginärteil, dann liegt die erste Lösung des Polynoms $X^{3}-2$, also die Aquivalenzklasse mit dem Element (1,-2,0,0,1), unter der rellen Achse, und die zweite darüber. Der Quotient ist demnach eindeutig die Äquivalenzklasse mit dem Element (2,1,1,1).--134.102.43.70 21:35, 23. Mai 2005 (CEST)

Ich dachte, Du wolltest nicht auf reelle oder komplexe Zahlen zurückgreifen?--Gunther 21:47, 23. Mai 2005 (CEST)

Du hast recht. Ich habe für die Nummerierung die Struktur aus Realteil und Imaginärteil benutzt. Ich nehme alles zurück!--134.102.43.70 21:53, 23. Mai 2005 (CEST)

Abzählbarkeit - Beweis?

Mich würde eine praktikable bijektive Abbildungsvorschrift interessieren, die jede Zahl aus ${\overline {\mathbb {Q} }}$ auf je eine Zahl aus $\mathbb {N} _{0}$ abbildet. Gibt es so etwas? Oder gibt es nur theoretische Abbildungsvorschriften, die aber nicht berechenbar sind? --RokerHRO 10:14, 12. Apr 2006 (CEST)

Die erste Frage, die sich mir da stellt, ist die folgende: Wie gibst Du denn Zahlen aus ${\overline {\mathbb {Q} }}$ an? Die naheliegende Form wäre: "die $k$-te Nullstelle des Polynoms $p$ (in irgendeiner fest gewählten Anordnung von $\mathbb {C}$)".--Gunther 11:05, 12. Apr 2006 (CEST)

Hm, das heißt also, man muss zuerst alle (gannzahligen) Polynome ordnen? --RokerHRO 12:49, 12. Apr 2006 (CEST)

Es kommt ja noch dazu, dass sie irreduzibel sein müssen (und der ggT der Koeffizienten sollte 1 sein, und der Leitkoeffizient positiv, um das ganze eindeutig festzulegen). Eine Formel gibt es also mit ziemlicher Sicherheit nicht.--Gunther 12:53, 12. Apr 2006 (CEST)

Moment! Es gibt doch das Diagonalverfahren. Die rationalen Zahlen lassen sich in einem zweidimensionalen Feld darstellen. --Arbol01 13:06, 12. Apr 2006 (CEST)

Ähm, ja?--Gunther 13:10, 12. Apr 2006 (CEST)

Das dabei eine Menge Zahlen mehrfach vorkommen können sollte doch egal sein. --Arbol01 13:12, 12. Apr 2006 (CEST)

Für eine Bijektion ist es eben nicht egal. Bijektionen zwischen $\mathbb {N}$ und $\mathbb {N} ^{2}$ sind leicht anzugeben (z.B. $(i,j)\mapsto 2^{i-1}(2j-1)$), aber daraus eine explizite Bijektion zwischen $\mathbb {N}$ und $\mathbb {Q}$ zu basteln scheint mir nicht so ohne weiteres möglich zu sein.

Wenn man im Fall der algebraischen Zahlen mit ganzzahligen Polynomen arbeitet, dann entspricht das genau der Bedingung, dass die Koeffizienten ggT 1 haben sollen (rationale Zahlen entsprechen Polynomen vom Grad 1). Man könnte auch mit normierten Polynomen mit rationalen Koeffizienten arbeiten, dann entfällt diese Schwierigkeit. Das (Haupt-)Problem der Irreduzibilität gibt es aber weiterhin.--Gunther 13:22, 12. Apr 2006 (CEST)

Ich verstehe! Es gibt AFAIK zwei möglichkeiten: Entweder man definiert z.B. ${\frac {3}{7}}$ und ${\frac {6}{14}}$ als zwei unterschiedliche Symbole, oder man baut das zweidimensionale Feld auf, und eliminiert die kürzbaren Brüche während des Diagonalverfahrens. --Arbol01 13:31, 12. Apr 2006 (CEST)

Mir fällt gerade noch auf, dass man über die Primfaktorzerlegungen eine relativ explizite Bijektion zwischen $\mathbb {N}$ und $\mathbb {Q} _{>0}^{\times }$ hinschreiben könnte. Aber wir schweifen vom Thema ab.--Gunther 13:41, 12. Apr 2006 (CEST)

Hier das Beispiel:

	1	2	3	4	5
1	${\frac {1}{1}},{\frac {-1}{1}}$	${\frac {2}{1}},{\frac {-2}{1}}$	${\frac {3}{1}},{\frac {-3}{1}}$	${\frac {4}{1}},{\frac {-4}{1}}$	${\frac {5}{1}},{\frac {-5}{1}}$
2	${\frac {1}{2}},{\frac {-1}{2}}$		${\frac {3}{2}},{\frac {-3}{2}}$		${\frac {5}{2}},{\frac {-5}{2}}$
3	${\frac {1}{3}},{\frac {-1}{3}}$	${\frac {2}{3}},{\frac {-2}{3}}$		${\frac {4}{3}},{\frac {-4}{3}}$	${\frac {5}{3}},{\frac {-5}{3}}$
4	${\frac {1}{4}},{\frac {-1}{4}}$		${\frac {3}{4}},{\frac {-3}{4}}$		${\frac {5}{4}},{\frac {-5}{4}}$
5	${\frac {1}{5}},{\frac {-1}{5}}$	${\frac {2}{5}},{\frac {-2}{5}}$	${\frac {3}{5}},{\frac {-3}{5}}$	${\frac {4}{5}},{\frac {-4}{5}}$

{ 0, 1, -1, 2, -2, 1/2, -1/2, 1/3, -1/3, 3, -3, 4, -4, 3/2, -3/2, 2/3, -2/3, 1/4, -1/4, 1/5, -1/5, 5, -1, 6, -6, 5/2, -5/2, 4/3, -4/3, 3/4, -3/4, 2/5, -2/5, 1/6, -1/6, ...} --Arbol01 13:50, 12. Apr 2006 (CEST)

Und was ist das 1000. Folgenglied?--Gunther 13:59, 12. Apr 2006 (CEST)

Soweit bin ich noch nicht! Das ist wie mit den Primzahlen: Wenn man die Tabelle bis dahin aufgestellt hat, weiß man es. --Arbol01 14:02, 12. Apr 2006 (CEST)

Das meinte ich mit "explizit". Der Algorithmus, um aus einer Surjektion $f\colon \mathbb {N} \to X$ eine Bijektion $g\colon \mathbb {N} \to X$ zu machen, ist trivial. Man kann diese aber trotzdem nicht einfach "angeben", es sei denn, man ist mit etwas wie

$g(n)=f(\min\{m\in \mathbb {N} \mid \#\{f(k)\mid k\leq m\}=n\})$

zufrieden.--Gunther 14:09, 12. Apr 2006 (CEST)

Der Beweis ist nicht so schwer. Wir betrachten den Polynomring $\mathbb {N} [X]$ (oder $\mathbb {Q} [X]$), der isomorph zum Raum der endlichen Folgen natürlicher Zahlen (rationaler Zahlen) ist (einfach die endliche Folge der Koeffizienten). Diese Menge ist abzählbar, denn die Folgen haben abzählbar viele Stellen, an denen abzählbar viele Zahlen stehen. Nun hat jedes Polynom endlich viele Nullstellen, und endlich mal abzählbar ist abzählbar. Hier ausführlich:http://matheplanet.com/default3.html?call=article.php?sid=98&ref=http%3A%2F%2Fwww.google.de%2Fsearch%3Fhl%3Dde%26q%3DTranszendente%2BZahlen%26btnG%3DGoogle-Suche%26meta%3D -- Kofi

Algebraische Zahlen $n$-ten Grades

Eine kurze Frage. Im Artikel steht: "Die Menge der algebraischen Zahlen ist abzählbar und bildet einen Körper." Wenn man nur die algebraischen Zahlen $n$-ten Grades betrachtet: Bilden die irgendwas? Eine Gruppe oder so? (Vielleicht ist das ja gemeint und ich habe es nur falsch verstanden. Ich kann mich allerdings dunkel erinnnern, dass wir in einem Zahlentheorie-Seminar einmal genau diese Zahlen btrachtet haben.) --Yuuutsuna 16:59, 7. Jun 2006 (CEST)

Betrachte die Zahlen ${\sqrt {2}}$ und $1+{\sqrt {3}}$. Sie haben beide Grad 2, aber ihre Summe und ihr Produkt haben beide Grad 4. Ich sehe nicht, dass die Menge eine vernünftige Struktur besäße.--Gunther 17:10, 7. Jun 2006 (CEST)

Kanonische Einbettung

Am Anfang des Artikels definieren wir die algebraischen Zahlen als gewisse komplexe Zahlen, Später steht dann Dieser Körper ist ein minimaler algebraisch abgeschlossener Oberkörper von $\mathbb {Q}$ und ist damit ein algebraischer Abschluss von $\mathbb {Q}$. [....] Dieser Körper hat viele Automorphismen, und jeder davon liefert eine Einbettung in die komplexen Zahlen $\mathbb {C}$. Das heißt, es gibt keine kanonische Einbettung, sondern man hat bei der Zuordnung von algebraischen Zahlen zu komplexen Zahlen gewisse Freiheiten.

Das passt nicht ganz zusammen. Wenn man die Menge der algebraischen Zahlen als Teilmenge der bereits definierten komplexen Zahlen auffasst, gibt es sehr wohl eine kanonische (oder jedenfalls ausgezeichnete) Einbettung, nämlich die Inklusion.

Wenn hingegen K ein beliebiger algebraischer Abschluss von $\mathbb {Q}$ ist (also ein minimaler algebraisch abgeschlossener Erweiterungskörper von $\mathbb {Q}$; alle solchen Erweiterungskörper sind isomorph, aber im Allgemeinen ohne kanonische Isomorphismen), dann gibt es tatsächlich keine kanonische Einbettung in die komplexen Zahlen. Da jede solche Einbettung als Wertebereich genau die algebraischen Zahlen hat, könnte ich den letzten Satz auch so formulieren: es gibt viele Einbettungen von K in die algebraischen Zahlen aber keine kanonische, bzw: es gibt viele Isomorphismen zwischen K und den algebraischen Zahlen, aber keinen kanonischen.

--Wuzel 11:32, 17. Mär. 2008 (CET)

rationale Koeffizienten

In der Definition ist von rationalen Koeffizienten die Rede. Könnte man nicht auch ganze Zahlen nehmen, da jedes Polynom mit rationalen Koeffizienten durch Multiplikation mit dem Hauptnenner auf eins mit ganzzahligen Koeffizienten gebracht werden kann, ohne dass sich die Nullstellen ändern? --Jobu0101 19:52, 29. Aug. 2008 (CEST)

Habe eben gerade meinen Gedanken in diesem Schreiben bestätigt gefunden: Der Beweis (nach Hilbert) von Fritsch, dass $e$ transzendent ist (als PDF). Hier werden die algebraischen Zahlen mit ganzen Zahlen als Koeffizienten definiert. --Jobu0101 21:54, 29. Aug. 2008 (CEST)

Galoistheorie

ich zitiere mal:

"Ein Resultat der Galoistheorie ist, dass zwar jede komplexe Zahl, die man aus rationalen Zahlen durch Verwendung der Grundrechenarten +,-,*,/ und Ziehen n-ter Wurzeln (n eine natürliche Zahl) erhalten kann (man nennt solche Zahlen "durch Radikale darstellbar"), algebraisch ist, umgekehrt aber algebraische Zahlen existieren, die man nicht in dieser Weise darstellen kann; alle diese Zahlen sind Nullstellen von Polynomen des Grades ≥ 5."

Kann das mal bitte anhand eines Beispieles näher erklärt werden ? Das bedeutet, ich würde gerne mal eine algebraische Lösung eines Polynoms 5. oder höheren Grades sehen die NICHT wie voranstehend beschrieben darstellbar ist. Wie stellt man sie denn nun überhaupt dar ? 141.52.232.84 11:59, 18. Dez. 2008 (CET)

Die Frage ist zwar schon sehr alt, aber der Vollständigkeit halber: Man stellt sie in Form des Polynoms dar, wie z.B. $x\in \mathbb {R} _{+}\ \wedge \ x^{12}+3x-5=0$. Das beschreibt genau ein $x\in \mathbb {R}$. Einen expliziten Ausdruck im Sinne von $x=\dots$ gibt es dafür nicht. (Das Polynom ist jetzt mal so ins Blaue geraten, aber es wäre schon höchst erstaunlich, wenn ich ausgerechnet eines mit darstellbarer Nullstelle erwischt hab.) --DrPhimor (Diskussion) 15:14, 22. Aug. 2019 (CEST)

kanonische Einbettung

Es ist widersprüchlich, oben zu sagen, dass die algebraischen Zahlen eine Teilmenge von C sind und unten dann zu behaupten es gäbe keine kanonische Einbettung. Als Teilmenge von C ist natürlich die Inklusion die kanonische Einbettung. Mir ist schon klar, was gesagt werden soll: dass sich der abstrakt gebildete algebraische Abschluss von Q nicht kanonisch einbetten läast, aber so ist das falsch.--Frogfol (Diskussion) 02:31, 8. Aug. 2012 (CEST)

Sehe gerade, dass Wuzel dasselbe schon moniert hat, hat sich aber in den vier Jahren seitdem nix getan :-(--Frogfol (Diskussion) 03:06, 8. Aug. 2012 (CEST)

Ich lösch den einen Absatz mal. Es gibt vorher einen Verweis auf algebraisch abgeschlossene Körper, da ist das alles genauer erklärt. Hier stiftet das mE eher Verwirrung. Wie Wuzel oben richtig schreibt, müsste man für die hier gemachte Aussage erst einen beliebigen Abschluss einführen, um von dem dann zu sagen, dass er keine kanonische Einbettung hat; und dann ist man wirklich bei einem anderen Thema, nämlich algebraisch abgeschlossen.--Frogfol (Diskussion) 14:57, 18. Aug. 2012 (CEST)

Definition

Wie verhält es sich denn, wenn die Koeffizienten des Polynoms nicht rational, sondern Wurzel einer natürlichen Zahl sind? Gelten die daraus resultierenden NSt. nicht grundsätzlich als algebraisch?

Das ist zwar nicht die Definition, man kann aber beweisen, dass die Nullstellen in diesem Fall auch wieder algebraisch sind. Das ist aber ein Satz und keine Definition.—Hoegiro (Diskussion) 09:49, 28. Jul. 2020 (CEST)

entweder ganze Zahl oder irrational

[1] beweist (mit Gauss), dass eine ganze algebraische Zahl entweder eine ganze Zahl oder irrational ist. --Ralf Preußen (Diskussion) 15:41, 30. Jul. 2020 (CEST)