Diskussion:Automorphismus

Automorphie von Graphen

Ich halte die angegebenen Beispiele nicht für korrekt. bei 2--1 3--4 wird am Graphen gar nichts geändert! Dies ist lediglich ein trivialer Automorphismus! bei 1--3 2--4 handelt es sich sehr wohl um einen Automorphismus. Es wird eine Abbildungsfunktion unter Verwendung der gleichen Punkte erstellt, wobei diese natürlich zu einer neuen Adjazenzmatrix führt. Mittels Umkehr der Funktion erhält man wieder die alte Adjazenzmatrix.

Für mich klar ein Automorphismus. -- Nein folgende Bedingung ist nicht mehr erfüllt: Die permutierten Knoten müssen durch dieselben Kanten verbunden sein wie die ursprünglichen.

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Aha... Der Link auf den englischen Originalartikel ist gesetzt, der Kommentar "Aus en übersetzt" (der zwar nur in der Versionsliste zu lesen ist) ist dabei. Was wird noch verlangt? --SirJective 20:26, 4. Sep 2003 (CEST)

Inversenbildung ist Automorphismus

$(ab)^{-1}=a^{-1}b^{-1}$ ist äquivalent zu Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle ab=ba} .--80.136.162.240 12:06, 25. Nov 2005 (CET)

Automorphismus

Seien Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle G_1=(V_1,E_1)~und~G_2=(V_2,E_2)} ungerichtete Graphen. Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle G_1~und~G_2} heißen isomorph, wenn eine bijektive Abbildung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \varphi:V_1\rightarrow V_2} gibt mit $\{u,v\}\in E\Leftrightarrow \{\varphi (u),\varphi (v)\}\in E_{2}$. In diesem Fall heißt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \varphi} Isomorphismus zwischen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle G_1~und~G_2} . Gilt $G_{1}~=~G_{2}$, so heißt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \varphi} Automorphismus. (vgl. Graphenalgorithmen)

Automorphismen von Graphen

ich finde es etwas umständlich und nicht ganz klar formuliert. der automorphismus ist eine funktion f, die den graphen auf sich selbst abbildet. und das wenn es eine kante zwischen k1 und k2 im ursprünglichen graphen, auch eine zwischen f(k1) und f(k2) geben muss ist einigermassen ersichtlich, koennte man aber auch noch präzisieren, aber zum beispiel wird kein wort über den trivialen automorhpismus verloren, den jeder graph hat, nämlich wo alle punkte auf sich selbst abgebildet werden. denke da koennte etwas mehr erklärung in den artikel.

mfg markus

-- 87.176.204.9 12:18, 3. Apr. 2009 (CEST)

Automorphismen von Strukturen bilden stets eine Gruppe. Der genannte triviale Isomorphismus entspricht dem neutralen Element.--Hagman 23:48, 11. Okt. 2010 (CEST)

Meiner Meinung nach ist das Beispiel für den Isomorphismus, der kein Automorphismus ist falsch. Es handelt sich auch nicht um einen Isomorphismus, da für i,j benachbart gelten müsste f(i), f(j) benachbart. Das ist hier nicht der Fall.

--80.171.34.227 08:22, 11. Okt. 2010 (CEST)

Kannst du i,j angeben mit i,j benachbart und f(i),f(j) nicht? Beachte f(2)=3 und f(3)=2--Hagman 23:48, 11. Okt. 2010 (CEST)

Stimmt. Da habe ich mich wohl geirrt. -- 80.171.91.240 11:17, 16. Okt. 2010 (CEST)

Es ist schon tricky, aber ich glaube, die letzte Bemerkung von Hagman 23:48, 11. Okt. 2010 (CEST) ist eine Fehlspur.

Wie im Artikel Automorphismus#Automorphismen von Graphen ausgeführt, würde sie ja dazu führen, dass ein Isomorphismus eines Graphen auf sich selbst nicht notwendigerweise ein Automorphismus wäre, was für die 2 Begriffe Iso- und Auto-morphismus schon sehr gewöhnugsbedürftig wäre. Zweitens würde es m.E. dazu führen, dass jede Permutation der Knoten eines Graphen ein Isomorphismus wäre, was auch wieder unerwartet banal wäre.

Ich denke, man muss sich sehr genau überlegen, an welche Kennungen (im Text heißen sie Knoten-Identifikationsnummern) die Kanten gebunden sein sollen, genauer: ob die die Kanten kennzeichnenden Kennungen fest bleiben sollen oder mit der Permutation der Knoten eben auch durchgewirbelt werden.

Alle, die an dem Artikel mitgearbeitet haben, stimmen darin über ein, dass die letzte Permutation kein Automorphismus ist. Das sei einmal deutlicher gemacht:

Wir haben die Knotenmenge V1={1,2,3,4} und die Kantenmenge E1={1-2,3-4}. Nach der Permutation haben wir die Knotenmenge V2={1,3,2,4} und die Kantenmenge E2={1-2,3-4} und die Abbildung sieht so aus:

               V1  -  V2
               1   -   1
               2   -   3
               3   -   2
               4   -   4
               E1  -  E2
               1-2 – 1-2
               3-4 – 3-4

Es gilt G1=(V1,E1)=(V2,E2) und wir sind uns einig, dass das kein Automorphismus ist, weil die Kante {1-2} aus E1 zu {f(1)-f(2)}={1-3} übergeführt wird, was keine Kante aus E2 ist.

Was aber soll da jetzt anders sein, wenn f ein Isomorphismus ist? Dürfen wir jetzt die Knotenkennungen auch in der Aufschreibung der Kanten voll durchpermutieren und sagen, dass E2={1-3,2-4}? Im Gegensatz zum Automorphismus? Wenn dem so wäre, wäre jede Permutation der Kanten ein Isomorphismus eines Graphen auf sich selbst! Aus Isomorphie von Graphen#Definitionen ist das m.E. nicht herauszuholen! Trotzdem sind die beiden Graphen natürlich isomorph, aber eben nicht durch f (wie im Artikel behauptet), sondern durch eine andere Abbildung. -- Nomen4Omen 18:51, 13. Apr. 2011 (CEST)

Betrachtet werden hier Abbildungen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f\colon V\to V} der Knotenmenge in sich selbst, die durch Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (a,b)\mapsto(f(a),f(b))} auf die Kantenmenge fortgesetzt gedacht wird und so als Graphenmorphismus von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle G=(V,E)} nach Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f(G) = G'=(V,E')} mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E'=f(E)} aufgefasst wird. Ein Isomorphismus ist das (da Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle V} ohnehin unberührt gelassen wird), genau dann, wenn Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f} auf $V$ und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E} bijektiv ist, ein Automorphismus genau dann, wenn zusätzlich Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle G=G'} , also $f(E)=E$ gilt. Im Beispiel für einen Isomorphismus, der kein Automorphismus ist, haben wir offenbar Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f(1)=1, f(2)=3, f(3)=2, f(4)=4} . Mit diesem Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f} gilt genau dann, dass Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f(i)} mit $f(j)$ im Bildgraphen durch eine Kante verbunden ist, wenn dies für Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle i} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle j} im Urpsungsgraphen gilt. Beachte: Hierbei sind 1,2,3,4 als die Knoten der Graphen aufzufassen, nicht etwa als Kennzeichnungen gelabelter Graphen – vielleicht ein Punkt der besser darzustellen wäre.--Hagman 19:51, 13. Apr. 2011 (CEST)

Die Bedeutung von "Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f} auf $E$ bijektiv" müssen wir noch besser herausarbeiten! Was ist dann das Bild Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f(E)} von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E} ? Ist es Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \{\{1-3\},\{2-4\}\}} , dann ist es Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \ne E} und der Bildgraph ist $G^{\prime }\neq G$. Also vermittelt dieses Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f} einen Isomorphismus von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle G \to G^\prime} und nicht von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle G \to G} , obwohl natürlich Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle G \cong G} . Aber eben nicht vermöge Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f} , sondern vermöge einem andern Isomorphismus.

Damit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f} ein Isomorphismus Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle G \to G} sein könnte, müsste also Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f(E)=\{\{1-2\},\{3-4\}\}} sein. Dann ist aber Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \{f(1)-f(2)\} = \{1-3\} \notin f(E)} . Oder was mache ich da falsch? -- Nomen4Omen 21:39, 13. Apr. 2011 (CEST)

Es hilft vielleicht, zu betonen, dass bei es einem Graph-Isomorphismus eben nicht nur um Abbildungen $f:V\to V$ als Ausgangspunkt geht. Es handelt sich vielmehr um eine beliebige rückgängigmachbare Umbenennung der Knoten Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f:V\to V'} unter Beibehaltung der eigentlichen Graphstruktur. Man könnte die Knoten (1,2,3,4) also auch nach (Hund, Pi, grün, 42) abbilden. Die Erweiterung dieser Knotenumbenennung auf die passende Kanten- und Graph-Operation sollte leicht ersichtlich sein. (und wenn Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f:V\to V'} bijektiv, dann natürlich auch das auf die (hier mal gerichtete) Kanten erweiterte Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f^*:V\times V\to V'\times V'} )

Wenn man nun aber einen Graphisomorphismus zwischen zwei Graphen mit gleicher Knotennamenmenge hat, kann es zusätzlich vorkommen, dass, obwohl der Knotenumbenennungsteil nicht die Identität ist, exakt der Eingangsgraph herauskommt. In dem Fall (und natürlich auch bei der identischen Knotenumbenennung) heißt der Isomorphismus Automorphismus. Ich zweifle zwar ein wenig am Nutzen dieses Graph-Automorphismus-Begriffs, aber so verstehe ich jedenfalls Isomorphie von Graphen#Definitionen. :) --Daniel5Ko 22:02, 13. Apr. 2011 (CEST)

Über Graph-Automorphismus haben wir uns bis jetzt nicht gestritten, nur über Graph-Isomorphismus. Auch nicht über Graph-Isomorphie. Und was bis jetzt vorgeschlagen wurde, macht m.E. eher den Graph-Isomorphismus auf sich selbst unnütz, denn jede Permutation der Knoten wäre dann ein den Graph-Isomorphismus. -- Nomen4Omen 22:15, 13. Apr. 2011 (CEST)

Achso, hab' irgendwie übersehen, dass es gar nicht um Automorphismen ging (dieser Umstand ist ja auch ein wenig unerwartet hier). Zu Isomorphie und Isomorphismus: Nun, Isomorphie wird meist über die Existenz eines Isomorphismus definiert, und das in keiner Weise weltbewegend. Zum Graph-Isomorphismus auf sich selbst: nun, das muss nicht extra definiert werden, sondern ist ein Spezialfall des allgemeinen Graph-Isomorphismus (ohne jedoch sofort Automorphismus zu sein, auch wenn's hier nicht darum geht). Und ja, es ist da lediglich eine Permutation der Knoten. So ist das halt mit bijektiven Abbildungen, a.k.a. Umbenennungen, von X nach X. --Daniel5Ko 22:27, 13. Apr. 2011 (CEST)

Und nun ist mir eingefallen, dass man zu einem gegebenen Graphen ja zumindest die Automorphismen zählen kann. Insofern ist der Begriff schon nicht mehr so unnützlich wie oben halbwegs vermutet. Isomorphismen gibt es beliebig viele, Automorphismen nicht. Die Anzahl der Isomorphismen bei gleichbelassener Knotenmenge V ist immer Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle |V|!} , die Anzahl der Automorphismen liegt irgendwo zwischen 1 und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle |V|!} . (Ich weiß zwar nicht, ob das hier weiterhilft, aber ich wollte das mal loswerden) --Daniel5Ko 23:09, 13. Apr. 2011 (CEST)

Ich glaube, ich habe meinen Hangup gefunden. Eine Darstellung, wo ich schneller davon (dem Hangup) loskommen würde, findet sich im Artikel. -- Nomen4Omen 07:27, 14. Apr. 2011 (CEST)

Definition + Bemerkung

1. Ist der erste Satz mit der Bijektivität nicht eine unmittelbare Folge der Definition ?
2. Lässt sich der Knackpunkt im zweiten Abschnitt nicht besser herauspräparieren ?

-- Nomen4Omen 20:25, 7. Apr. 2011 (CEST)

Zu 1.: Wenn die betrachtete Kategorie eine durch einen Vergißfunktor $V$ konkretisierbare Kategorie ist, dann werden Morphismen $f,g$ mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f\circ g=g\circ f=\operatorname{id}_A} natürlich zu Abbildungen mit $V(f)\circ V(g)=V(g)\circ V(f)=\operatorname {id} _{V(A)}$ und diese Abbildungen sind dann selbstredend bijektiv. Wenn die Kategorie jedoch nicht konkret ist, sind die Morphismen nicht unbedingt Abbildungen und haben damit jegliche Chance, bijektive Abbildungen zu sein, verpasst.--Hagman 22:40, 11. Apr. 2011 (CEST)

Lieber Hagman und liebe Kategorienfuzzies,

• Sehr häufig waren die Begriffe und Symbole, die hinter den Pfeilen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \to \, } und Kringeln Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \circ \, } in der pfeil- und kringeltheoretischen Sprache der Kategorientheorie stehen, schon vor der Kategorientheorie vorhanden (jedenfalls beim Automorphismus). In diesen Fällen plädiere ich dringend dafür, dass in Wikipedia Begriffsbildungen und Schreibweisen immer zuerst im herkömmlichen, nicht-kategoriellen Stil definiert werden. Das scheint mir insbesondere wichtig im Licht der Aussage in Homomorphismus#Bemerkung (ich zitiere):

Homomorphismen lassen sich allgemeiner als spezielle Morphismen, also strukturverträgliche Abbildungen, definieren. Der Begriff des Morphismus wird wiederum in der Kategorientheorie noch allgemeiner gefasst, diese beiden Morphismus-Begriffe unterscheiden sich hinsichtlich ihrer Eigenschaften und sind nicht austauschbar.

• Insbesondere im Konflikt- und Spitzfindigkeitsfall, wo es ja viele zu geben scheint, soll der kategorielle Stil (z.B. als Bemerkung) hinter den herkömmlichen zurücktreten.
• Wenn die kategorielle Mathematik ein neues Licht auf herkömmliche Gegenstände wirft, so ist nix dagegen einzuwenden, dass dies auch in Wikipedia auftaucht.
• Aber ihr habt in Euren echt einschlägigen Artikeln Eure Hausaufgaben nicht gemacht, so dass man sich nicht einmal bequem auf irgendeinen Eurer Begriffe beziehen kann. Ihr solltet Euch eine richtige Strategie überlegen, wie Ihr diese Mathematik mit der herkömmlichen verbindet.

In diesem Sinn habe ich einen Vorschlag hingestellt. -- Nomen4Omen 17:38, 12. Apr. 2011 (CEST)

Ist "pfeil- und kringeltheoretisch" eine in der Literatur verbürgte Sprechweise oder so pejorativ wie "Kategorienfuzzies" gemeint? Übrigens ist Kategorientheorie herkömmliche Mathematik - in meiner Vorlesung Lineare Algebra I wurden die passenden Begriffe in dieser Reihenfolge eingeführt: Permutation einer Menge; Automorphismus einer Gruppe; Automorphismus in einer Kategorie samt Bemerkung, dass beide vorherigen Begriffe Spezialfälle sind. Kategorientheorie oder die entsprechenden Sprechweisen zogen sich weiter durch's gesamte Studium, etwa bei der Definition des Begriffs der Garbe.-Hagman 18:35, 12. Apr. 2011 (CEST)

Lieber Hagman,

1) "pfeiltheoretisch" habe ich gefunden in Kategorientheorie 4. Absatz, "und kringel" habe ich hinzugefügt, weil der Kringel in besagtem Automorphismus-Abschnitt vorkommt und wenn ich's recht verstanden hab dort nicht weiter definiert werden kann, wenn man auf "Abblidung" verzichten will.

2) Ich bestreite überhaupt nicht, dass Kategorientheorie ordentliche Mathematik ist, ja dass es außerordentlich wichtige Theoreme gibt, die anders noch nicht bewiesen werden konnten. Ferner sage ich ja, dass man viel Mathematik aus der Kategorien-Perspektive betrachten und betreiben kann. Mir scheint allerdings, dass es Kategorientheorie in unterschiedlicher "Lebensnähe" gibt, und mir kommen Deine Vorlesungsbeispiele eher lebensnäher vor. Nicht so doll finde ich die im Wikipedia nicht (oder doch?) erklärten abstrakten und wenig erklärten nicht-konkretisierbaren Teile. Und leider hast Du gerade die mir beim Automorphismus-Artikel vorgehalten. -- Nomen4Omen 19:37, 12. Apr. 2011 (CEST)

Klasse aller Automorphismen

Lieber Benutzer:Letkhfan, ich verstehe deinen Einschub nicht und lehne ihn ab!
Was soll denn sein, wenn die Klasse aller Automorphismen eines Objekts X keine Menge ist? Was soll der hier überhaupt nicht eingeführte Begriff »Klasse«? Lohnt es sich überhaupt, hierzu etwas Näheres zu sagen? Oder ist die frühere Formulierung nicht kürzer, klarer, verständlicher? --Nomen4Omen (Diskussion) 09:54, 21. Feb. 2016 (CET)

Entschuldigung, ich hätte wohl etwas zu meiner Bearbeitung sagen sollen.

Der Einschränkung, die ich eingeschoben habe, kommt von der Definition einer Kategorie. Man definiert in der Kategorientheorie "Objekt" und "Morphismus" unabhängig von der Mengenlehre für maximale Allgemeinheit. Es ist im Allgemeinen nicht der Fall, dass die Gesamtheit der Morphismen von einem Objekt zu einem anderen eine Menge bilden. Es gibt hierzu auch den Begriff der "lokal kleinen" Kategorie, bei der eben das doch immer gegeben ist. Für eine Gruppe wird aber eine zugrundeliegende Menge verlangt, daher die Einschränkung. Kürzer etc. mag die Version ohne den Einschub sein, aber sie ist nicht vollkommen korrekt. "Die Menge aller Automorphismen eines Objekts" ist nicht immer wohldefiniert.

In dem Kontext des Satzes ist ganz klar die kategorientheoretische Definition mitgemeint: direkt über dem Satz ist der Abschnitt "Kategorientheorie" und zwei Sätze weiter wird wieder kategorientheoretische Terminologie verwendet ("kovarianter Funktor"). Wenn der Artikel anders aufgebaut wäre, könnte man darüber streiten, ob der Halbsatz an dieser Stelle notwendig ist, aber so wie es ist, ist er notwendig, damit nichts Falsches da steht.--Letkhfan (Diskussion) 05:40, 22. Feb. 2016 (CET)

Nachtrag: Ich gebe dir aber recht, dass man nicht unbedingt das Wort "Klasse" verwenden muss. Man könnte auch schreiben "Wenn die Automorphismen eines Objektes X eine Menge bilden, ...". Implizit bezieht man sich dann immer noch auf eine Klasse, aber vielleicht ist es ein wenig verständlicher. --Letkhfan (Diskussion) 05:48, 22. Feb. 2016 (CET)

In Definition einer Kategorie steht aber, dass die Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \operatorname{Mor}_{\mathcal C}(X, Y)} Mengen sind. Und ich hab mal hier geschaut: Dort wird es auch so definiert (S. 21). Grüße -- HilberTraum (d, m) 10:08, 25. Feb. 2016 (CET)

@Letkhfan: Nach der Bemerkung meines Vorredners HilberTraum und der von ihm angeführten Literatur ist deine Aufbohrung nicht erforderlich. Für echte Kategorienfuzzies wäre dann vielleicht eine Fußnote im Sinne dieser Bemerkung hilfreich. Und dass sie sich sonst keine weiteren Sorgen machen müssen. --Nomen4Omen (Diskussion) 12:29, 25. Feb. 2016 (CET)

Man muss aufpassen, in einiger Literatur (anscheinend auch in der deutschen Wikipedia) werden überhaupt nur lokal kleine Kategorien als Kategorien definiert.

Siehe hier in Remarks 1.3b auf Seite 2.--Letkhfan (Diskussion) 05:00, 26. Feb. 2016 (CET)

@Letkhfan:Ich finde das Gedöns um die Kategorien richtig störend und schrecklich. Da kommen diese Leute in den 50er-Jahren daher und usurpieren rücksichtslos alle Begriffe der Algebra, deuten sie um und tun so, als ob erst sie jetzt richtig kapiert hätten, was bspw. ein Automorphismus ist. Das ist unanständig! Kann sein, dass ich und Du nichts dagegen tun können. Für die Darlegungen in Wikipedia könnte man sich allerdings dahingehend einigen, dass in Fällen, wo es sinnvolle Begriffsbildungen schon vor der Kategorientheorie gegeben hat, diese Vorrang haben. Haben die Kategorienleute noch etwas dazu zu bemerken, sollen sie ihre Sichtweise – mit allen Streitigkeiten und Unsicherheiten – in einem extra Teil weiter hinten im Artikel ausbreiten. --Nomen4Omen (Diskussion) 20:28, 27. Feb. 2016 (CET)

Hallo, ich denke, dass Letkhfans Ergänzung in den Artikel gehört, insbesondere da es in fraglichem Abschnitt gerade um Kategorientheorie geht. Über eine Umstrukturierung dieses Artikels und eine Verbesserung des Artikels Kategorientheorie kann man aber durchaus nachdenken.--Christian1985 (Disk) 20:44, 27. Feb. 2016 (CET)

Zustimmung zu Nomen und 2mal Widerspruch zu Christian. 1.: Nein, es geht hier nicht um Kategorientheorie, im Artikel nicht und auch nicht in diesem Abschnitt. Schau mal die Einleitung an: Ein Autom ist ein Iso... Ein Iso ist eine Abbildung, in der Kategorientheorie ist er das aber nicht unbedingt.

„Wenn die Automorphismen eines Objekts X eine Menge bilden“ Keine Menge? Was ist das denn dann? Hier fehlt der Kontext, der Leser wird hier alleine gelassen und verwirrt. Das "Keine Menge" betrifft spezielle Automorphismen (die noch nicht einmal Abb sind), nämlich die von Kategorien, und dort auch nur spezielle Defs von Kategorien, die nämlich, die Klassen von Automorphismen zulassen.

Daher 2.: Muss raus, mE sollten die Automorphismen in Kategorien unter einem Abschnitt von Verallgemeinerungen stehen.--Frogfol (Diskussion) 22:01, 19. Sep. 2017 (CEST)

Automorphismus/Gruppen/Beispiele

Im Text steht:

„... die Automorphismengruppe der Gruppe Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (\mathbb{Q} ^{*},\cdot )} ist überabzählbar“

Das ist erstaunlich und müsste belegt werden. --Nomen4Omen (Diskussion) 11:51, 18. Sep. 2017 (CEST)

Im Prinzip schon, das ist aber klar wg Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (\mathbb{Q} ^{*} ,\cdot ) \cong \bigoplus_{i=1}^\omega \Z} (Primfaktorzerlegung!), damit hast du eine Einbettung von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle S_\omega} in die Automorphismengruppe.--Frogfol (Diskussion) 15:17, 18. Sep. 2017 (CEST)

Danke, soweit bin ich auch gekommen. Das hat aber abzählbare ${\rm {{Card}(\bigoplus _{i=1}^{\omega }\mathbb {Z} )=\aleph _{0}^{2}=\aleph _{0}}}$ und nicht überabzählbare. Was dann die "Einbettung von $S_{\omega }$ in die Automorphismengruppe" noch soll, erschließt sich mir nicht. --Nomen4Omen (Diskussion) 16:52, 18. Sep. 2017 (CEST)

Die Abzählbarkeit von Q* stand doch außer Frage, hier geht es um die Automorphismen. Jede Permutiation der Primzahlen induziert einen Automorphismus von Q*, es gibt überabzählbar viele Permutatiomen.--Frogfol (Diskussion) 17:23, 18. Sep. 2017 (CEST)

Ja, die Abzählbarkeit stand doch außer Frage!!

"Es gibt überabzählbar viele Permutatiomen" wovon?? --Nomen4Omen (Diskussion) 17:38, 18. Sep. 2017 (CEST)

Es gibt überabzählbar viele Permutationen einer abzählbaren Menge wie zB der Menge der Primzahlen.--Frogfol (Diskussion) 17:52, 18. Sep. 2017 (CEST)

Ein konkretes Element aus Q braucht nur endlich viele Primzahlen! Du meinst, man braucht den projektiven Limes über alle endlichen Permutationen? Eine Aussage darüber wäre schon fast sowas wie ein Beleg. --Nomen4Omen (Diskussion) 18:03, 18. Sep. 2017 (CEST)

So, ich gebs auf. Eigentlich hatte ich das bereits alles im ersten Post erklärt. Ich versteh nicht, dass du, wenn ich schreibe "Jede Permutiation der Primzahlen induziert einen Automorphismus von Q*, es gibt überabzählbar viele Permutatiomen", schreibst "'Es gibt überabzählbar viele Permutatiomen' wovon??" Das ist doch klar wovon, wenn es in dem Satz vorher da steht. Ich versteh auch nicht, warum du die Abzählbarkeit von $\bigoplus _{i=1}^{\omega }\mathbb {Z}$ ins Spiel bringst, um die es überhaupt nicht geht, sondern um Kardinalität der Menge der Automorphismen dieser Gruppe. Also, nochmasl: Jede Permutation der Primzahlen, also jede bijektive Abbildung der Primzahlen auf sich, induziert einen Automorphismus der Gruppe (es geht um die Gruppe $\bigoplus _{i=1}^{\omega }\mathbb {Z}$ bzw Q*), und es gibt überabzählbar viele Permutationen bzw. bijektive Abbildungen (der Primzahlen (auf sich), damit du nicht fragst, wovon...)--Frogfol (Diskussion) 18:26, 18. Sep. 2017 (CEST)

Du sagst sehr nett: "Jede Permutiation der Primzahlen induziert einen Automorphismus von Q*, es gibt überabzählbar viele Permutatiomen". Stimmt! So rum: vom Unendlichen ins Endliche gedacht! Es gibt unendlich viele Primzahlen, und ich brauche 3 Stück, dann sind die unter den unendlich vielen allen. Wenn ich aber die rationale Zahl 15/2 habe, dann brauche ich 3 Primzahlen und evtl noch mal 3, und nicht alle. Und ich brauche nicht alle (und überhaupt nie alle) Permutationen, sondern nicht so furchtbar viele. Also: vom Endlichen ins Unendliche!

Du hast nicht erklärt, dass man alle überabzählbaren braucht. Oder, ob man mit weniger auskommt. --Nomen4Omen (Diskussion) 19:10, 18. Sep. 2017 (CEST)

Ich lese in en:Symmetric group#Definition and first properties:

"Symmetric groups on infinite sets behave quite differently from symmetric groups on finite sets."

Es gibt dort noch andere Erwähnungen von Besonderheiten der unendlichen symmetrischen Gruppe. Obwohl die von mir inkriminierte Aussage möglicherweise richtig ist, nehme ich sie raus: Sie hat keinen Beleg, keine Begründung, keine Erläuterung und in WP fast keinen Kontext. --Nomen4Omen (Diskussion) 20:14, 19. Sep. 2017 (CEST)

Die Aussage ist richtig, den Beweis hab ich mehrfach versucht dir zu erklären. Es geht hier auch nicht um unendliche Symmetriegruppen, sondern um Automorphismen (und der Kardinalität der Automorphismengruppe im Besonderen). Aber in dem wichtigen Punkt stimme ich dir zu: Sie hat keinen Kontext, die Kardinalität von (unendliche) Automorphismengruppen ist auch nicht im besonderen Gegenstand von Forschung. Hier scheint es eher zu verwirren, deshalb raus. (Kein Beleg ist so eine Sache, bei leicht zu beweisenden Aussagen wie hier braucht man nicht unbedingt einen Beleg.) --Frogfol (Diskussion) 21:51, 19. Sep. 2017 (CEST)