Diskussion:Boolesche Algebra

Gibt es ein algebraisches Symbol für XOR?

Ich hab schon das Symbol $\oplus$ dafuer gesehen, weiss aber nicht, ob das der allgemeine Standard ist. --SirJective 13:13, 31. Okt 2003 (CET)

Das OPlus ist in der Schreibweise mit Plus als OR und Punkt als AND vorgesehen. --KHood 11:07, 18. Mär. 2007 (CET)

Seltsam. Im Text werden nur Kästchen angezeigt statt das v und das umgekehrte . Editiere ich diese Seite (wie jetzt in diesem Moment), kann man die Zeichen sehen. Benutze IE 5.5.

neutrale Elemente vertauscht?

es steht im Artikel:

1 ist das neutrale Element von ∨ (OR), es ist eindeutig bestimmt.
0 ist das neutrale Element von ∧ (AND), es ist eindeutig bestimmt.

kann doch nicht ganz stimmen, oder?
es müsste so sein:
a AND 1 = a ==> neutrales Element von AND ist 1
a OR 0 = a ==> neutrales Element von OR ist 0

also genau vertauscht...

Oder irre ich mich jetzt total?

Nein, Du hast vollkommen recht. Das neutrale Element von AND ist 1, das von OR ist 0.

Ich kann das im Text leider nicht unterscheiden, da für AND und OR das gleiche Kästchen steht. Pard 22:59, 21. Apr 2005 (CEST)

Algebra vs. Verband

Kann man wirklich eine boolesche Algebra und einen booleschen Verband in einen Topf schmeißen? Stern !? 20:23, 12. Sep 2004 (CEST)

Nein, sicher nicht! Außerdem hat Boole zu den genannten Regeln nur zum Teil beigetragen. Ausdrücklich genannt in seinem Buch "The Law of Thougt" ist nur das Gesetz der Verträglichkeit oder Distributivität.

Aber damit war er auch nicht der erste. Dieses Axiom wurde schon vorher von Hermann Grassmann in seiner "Linealen Ausdehnungslehre" eingeführt und zwar als Bestandteil der Vektorraum-Axiome. Der größte Beitag von Boole zur Boolschen Algebra war wohl die Namensgebung. 129.247.167.235 13:54, 16. Sep 2004 (Unterschrift nachgetragen SirJective)

Von mir aus kann der Artikel gern aufgetrennt werden in boolesche Algebra und boolescher Verband. Was Boole selbst gemacht hat, weiss ich nicht, hab damals nur sortiert was schon dastand und mit dem englischen Artikel gemischt. Wenn die Artikel getrennt werden, sollte aber der Teil ueber boolesche Algebra (im engeren Sinne) ausgebaut werden, da er hier doch recht kurz ist. --SirJective 17:05, 4. Okt 2004 (CEST)

Boolscher Verband und Boolsche Algebra ist das selbe mathematische Objekt. Sie unterscheiden nur dadurch, dass wir einem Boolschen Verband von einer geordneten Menge ausgehen und gewisse Eigenschaften fordern. Eine Boolsche Algebra hingegen wir als eine Menge mit zwei! zweistelligen Verknuefungen definiert. Hier hat man den klassischen Fall dass das selbe Mathematische verschieden benannt wurde, weil unterschiedliche Forscher das Objekt erforscht haben. Was soll den bitteschoen das Kriterium sein was in den einen Artikel und was in den anderen Artikel kommt? Ich sehe keinen Grund ausser die Historie was fuer eine Aufspittung spricht. --Matthy 16:26, 11. Dez 2004 (CET)

Ich weiß nicht mehr genau, was ich im Oktober wollte, aber vermutlich bezog ich mich mit "boolesche Algebra im engeren Sinne" auf die zweielementige: Dafür, dass sie "Die wichtigste boolesche Algebra" ist, ist der Abschnitt recht kurz. --SirJective 21:39, 21. Apr 2005 (CEST)

Welche Zeichen sollten für die Operatoren verwendet werden?

Nach der Bildschirmanzeige meines PCs zu urteilen, ist dieser schöne Artikel wegen der Darstellung der Operatoren ein Ärgernis, wodurch er nahezu einem Schuß in den Ofen gleichkommt; beide Operatoren werden bei mir als kleine Quadrate dargestellt. Da ich keinerlei Ausnahme-Einstellungen im PC habe, ist es doch wahrscheinlich, dass viele User dieses Problem haben und daher irritiert aussteigen. Wäre es nicht sinnvoller, die Notation der Mathematiker zu nehmen (so hat man mir 1973 die Boolesche Algebra beigebracht): AND = ., OR = +, NOT(A) = A' ??? Ein weiterer Grund: Im Vergleich zur gewohnten Algebra gibt es doch nur einen Unterschied: 1+1=1. Weil eben mehr als 1 nicht möglich ist. Dann wäre die verallgemeinernde Verwendung der B.A. in der Wahrscheinlichkeitsrechnung leichter darstellbar: Statt boolscher Dichotomie 0,1 verwendet man in der Wahrscheinlichkeitsrechnung Werte von 0 bis 1 , usw. Pard 20:06, 21. Apr 2005 (CEST)

Ich stimme dir zu, dass die Operatorzeichen "∧, ∨, ¬" - wie viele mathematische HTML-Zeichen - den Nachteil haben, dass sie auf verschiedenen Systemen verschieden oder gar nicht angezeigt werden. Hier im Edit-Fenster werden sie bei mir wie erwartet dargestellt (analog zu $\land ,\lor ,\neg$), ebenso in der Vorschau. Im Artikel dagegen erscheint anstelle des UND ein kleiner Kreis.

Gegen die Verwendung von "+" und "." (oder "*") spricht mMn die Symmetrie der Operationen (speziell die gegenseitige Distribution), die besser durch die symmetrischen Operatoren "$\land$" und "$\lor$" repräsentiert wird. Ich schlage daher vor, dem Vorbild des englischen Artikels zu folgen und diese beiden TeX-Zeichen zu verwenden. --SirJective 21:39, 21. Apr 2005 (CEST)

Mir ist alles recht, was bei mir zwei unterscheidbare Symbole anzeigt ;-)Pard 22:47, 21. Apr 2005 (CEST)

Done. (Ich hoffe, ich habe alle Quadrate richtig geraten...)--Gunther 17:09, 22. Apr 2005 (CEST)

Wesentliche Verbesserung, danke. — Martin Vogel 鸟 17:26, 22. Apr 2005 (CEST)

Logik

Die Boolesche Algebra wiederspricht meiner Meinung nach sich selbst.

Wenn Du besser ausführst, was du an der Booleschen Logik / Algebra nicht ganz verstanden hast, könnten wir dies möglicherweise klären. Boole wiederspricht sich nämlich keinesfalls selber. Eine präzisere Ausführung währe wünschenswert. --ZOiDberg 20:14, 12. Dez 2005 (CET)

Ein ziemlich starker Hinweis, dass die Boole'sche Algebra doch nicht so widersprüchlich ist wie gedacht, ist, dass dein Rechner, Browser, Internet funktioniert, deren Basis im wesentlichen elektronische Realisierungen von NAND- und NOR-Gattern sind. --FotoFux 11:41, 12. Jul. 2008 (CEST)

Ergänzung

So wie ich das sehe, fehlen zwei Boolesche Gesetze, ich weiß nur nicht ob diese wirklich zur Absorption gehören;

a and not a = 0

a or not a = 1

a and 1 = a

a or 0 = a

(ich würde mich - wenn es keiner direkt in den Artikel schreibt - natürlich an Eure "Und"/"Oder" Konvention halten) --ZOiDberg 20:22, 12. Dez 2005 (CET)

Das Shannonsche Gesetz fehlt auch, obwohl der oben erwähnt wird. Ich gugg mal ob ich das verständlich verfasst krieg und liefer dann demnächst 'nen Entwurf. --XaosSnog 12:25, 1. Okt. 2008 (CEST)

Von "auch" kann nicht die Rede sein, denn obige Gesetze sind mit den Punkten (9), (10) im aktuellen Artikel abgedeckt. Wenn ich das richtig verstehe, sagt das Schannonsche Gesetz einfach, dass $\neg (a\land b\land \dots )=\neg a\lor \neg b\lor \dots$, was sich trivial durch Induktion aus den De'Morganschen Gesetzen ableiten lässt. Wenn es dazu keine einschlägigen Quellen gibt denke ich nicht, dass wir es hier erwähnen müssen. --Drizzd 16:21, 1. Okt. 2008 (CEST)

Anwendung

Guter Artikel, aber Hinweise auf die Anwendung fehlen. Steuerung von Maschinen und Anlagen, speicherprogrammierbare Steuerung und für viele anschaulich UND = Serienschaltung ODER = Parallelschaltung usw.

--Kölscher Pitter 18:24, 9. Mär 2006 (CET)

Nö ;) Der Artikel beschäftigt sich mit den "Rechenregeln". Das was du suchst findet man bspw. unter "Konjunktion" usw. 82.97.141.172 22:03, 11. Apr 2006 (CEST)

Vielleicht ist ja ein kurzer Hinweis auf die betreffenden Seiten ein guter Kompromiss --132.230.166.76 15:36, 13. Nov. 2006 (CET)

... schließlich ist es einer Encyklopädie auch nicht abträglich. -- 88.71.97.248 19:16, 29. Dez. 2009 (CET)

Gesetze auf booleschen Algebren

Ich frage mich, ob dieser Abschnitt nicht redundant ist, denn das alles steht eigentlich schon im Abschnitt Definition? 84.156.56.161 14:45, 31. Jul 2006 (CEST)

Abwandlungen

Gibt es auch ähnliche math. Objekte, bei denen z. B. die Komplemente nicht existieren oder die Absorptionsgesetze nicht streng gelten müssen? Dann wäre ich über einen Link zu den entsprechenden Artikeln dankbar, z. B. so wie beim Artikel Magma (Mathematik). --132.230.166.76 15:37, 13. Nov. 2006 (CET)

ja, z.B. die Verallgemeinerung Heytingverband. (s. en:Heyting algebra)-- Claviceps purpurea 16:01, 29. Mär. 2007 (CEST)

Absorption?

Also, was hier als Absorption aufgeführt ist, kenne ich in der abstrakten Algebra als Adjunktion bzw. Adjunktivität: a * (a # c) = a. Als Absorption kenne ich die Verknüpfung mit einer Konstanten, wobei diese die Variable absorbiert, z.B. a*0 = 0, im Gegensatz zum neutralen Element, wo die Variable das Element "absorbiert": a + 0 = a. Ich hatte den Artikel nach diesen Begriffen etwas aufgeräumt. Nun wurde der Eintrag zur Adjunktivität erneut durch Absorption ersetzt. Wäre schön, wenn wir uns auf ein Vokabular einigen könnten. Mein Vorschlag (siehe auch dtv-Atlas Mathematik, e ist ein einzelnes Element, a eine Variable):

Neutralität: a * e = a

Absorption: a * e = e

Idempotenz: a * a = a

Komplement: a * -a = e

Adjunktivität: a * (a # b) = a (nicht signierter Beitrag von Marathi (Diskussion | Beiträge) )

Hallo!

Die Bezeichnung Absorptionsgesetzt findet man für beides, a*e=a und a*(a#b)=a (z.B. gleich von den ersten beiden Google-Suchergebnissen verwendet [1] die Bezeichnung für beide, [2] nur für die derzeit im Artikel so bezeichneten Gesetze. Gefühlsmäßig hört man den Begriff Adjunktivität derzeit seltener – Google liefert anscheinend nur eine Fundstelle [3] – (innerhalb der Wikipedia wird sogar viel öfter der Begriff Absorption genannt, z.B. Hierarchie_mathematischer_Strukturen#Strukturen_mit_zwei_inneren_Verkn.C3.BCpfungen:_Verb.C3.A4nde.2C_Mengenalgebren_u..C3.A4., aber gerade wenn es mehrere Begrifflichkeiten gibt, kann und soll man natürlich gerne alle erwähnen.

Viele Grüße, --GottschallCh 18:55, 15. Feb. 2007 (CET)

Um anderen ähnliche Kopfschmerzen wie mir bei der Interpretation der Absorption zu ersparen: Die Absorption basiert darauf, dass UND-Verknüpfungen mit 0/falsch bzw. ODER-Verknüpfungen mit 1/wahr nicht weiter ausgewertet werden müssen . 84.173.228.175 22:08, 19. Mär. 2007 (CET)

Es gibt auch noch die Bezeichnung "Verschmelzung" für "Adjunktivität" bzw. "Absorption". "Absorption" ist dabei am schlechtesten, denn die "Extremalgesetze" sind tatsächlich Absorptionsgesetze, weil Elemente, die wie 0 und 1 diese erfüllen, absorbierende Elemente heißen! --RP 19:39, 17. Jan. 2008

quantorenfreie Definition

Man kann bekanntlich eine boolesche Algebra auch quantorenfrei (ohne Existenzquantor) definieren, so dass die Neutralelemente und die Negation als Operatoren vorausgesetzt werden. Das wäre noch übersichtlicher und m. E. vorzuziehen. Die Äquivalenz zum komplementären distributiven Verband bliebe bestehen.--Wilfried Neumaier 21:19, 20. Feb. 2007 (CET)

Ich fände die Definition auch übersichlicher, wenn sie wie im englischen Artikel formuliert wäre, etwa folgenden Sinn: "Eine boolesche Algebra ist eine Menge A mit zwei auf ihr definierten zweistelligen Verknüpfungen ∧ und ∨ sowie zwei [optional: verschiedenen] Elementen 1 und 0, sodass für alle Elemente x, y, z aus A folgende Axiome zutreffen" [Rest wie gehabt]. Viele Grüße, --GottschallCh 11:50, 21. Feb. 2007 (CET)

Hallo, ich habe eben die Sache optimiert durch das äquivalente Peano-Axiomensystem, das alle Wünsche befriedigt. Ich denke optimaler geht es nicht, und zugleich historisch hundertprozentig treu numeriert.--Wilfried Neumaier 12:13, 21. Feb. 2007 (CET)

Charakteristik 2?

Die Behauptung, jeder boolesche Ring habe die Charakteristik 2 ist nicht ganz richtig, weil er eine Ausnahme hat: den einelementigen Nullring mit Charakteristik 1, bei dem 1=0 gilt. Dieser "entartete" Ring ist nach den Definitionen in Wikipedia möglich. Anderswo (z.B: Meschkowski, Mathemtisches Begriffswörterbuch) werden daher Ringe als mindestens zweielementig definiert, was sicher nicht mathematisch elegant ist und hier nicht übernommen werden muss. Der Problemfall sollte aber einkalkuliert werden. Es gibt dann natürlich auch die entartete boolesche Algebra {0}.--Wilfried Neumaier 09:12, 21. Feb. 2007 (CET)

Axiome

Irgendwie dachte ich immer, dass die Axiome nur Assoziativität, Distributivität, Kommutativität seien. --Philipendula 20:56, 5. Mai 2007 (CEST)

Das sind Standardaxiome für sehr verschiedene Zwecke; man spricht hier grob von kommutativer Algebra, die viele Anwendungsgebiete hat, unter anderem in den Zahlenbereichen und auch in der Logik. Schon für die sehr elementare klassische Logik reichen diese Axiome aber nicht aus; sie sagen zum Beispiel gar nichts über die Negation, mit der man ja auch logisch rechnen können muss und Rechenregeln (Axiome) braucht.--Wilfried Neumaier 18:01, 8. Mai 2007 (CEST)

Müsste $x\wedge y$ im Boole'schen Ring nicht als $x+y+xy$ interpretiert werden? Für $x$ wahr und $y$ wahr wäre nämlich sonst: $1+1-1=0-1=0+0=0$, was ja wohl nicht der Bedeutung des inklusiven Oders entspricht.

Na gut, die Negation als inverse Operation kann man ja mit dazu nehmen. Aber alle anderen Rechenregeln sind aus den Axiomen abgeleitet. So wie das momentan im Artikel steht, ist es Unsinn. --Philipendula 10:21, 10. Mai 2007 (CEST)

Ganz recht, da hat jemand am 13. April im Artikel herumgemurkst. Ich mache das wieder rückgängig.--Wilfried Neumaier 17:37, 10. Mai 2007 (CEST)

DIN-Norm für Boolesche Algebra

Kennt jemand die Norm, in der die Booleschen Symbole genormt sind?

nö

Mathematiker aus Knetmasse?

ZITAT: "(...) Ihre heutige Form entstand aber erst durch Umformung und Erweiterung anderer Mathematiker wie (...)" - ?

Na, das wäre ja doll! Vorschlag:

"Ihre heutige Form verdankt sie der Weiterentwicklung durch Mathematiker wie (...)"

- greetz: joe average, 10.8.2007

Schaltalgebra und Boolesche Algebra

Der Schaltalgebra bezeichnet sich selbst als nahezu identisch mit der Booleschen Algebra. Darum wäre es logisch wenn das umgekehrt der Artikel Boolesche Algebra tun würde, danke --mik81 17:43, 17. Dez. 2007 (CET)

nahezu identisch stimmt nicht, denn die Schaltalgebra ist eine Anwendung der zweiwertigen booleschen Algebra. Der Link ist jetzt richtig plaziert.--Wilfried Neumaier 00:34, 18. Dez. 2007 (CET)

Vielleicht hast Du auch noch Zeit für was anderes. Unter Portal Diskussion:Informatik#Logische Verknüpfung habe ich eine Grafik erstellt, die die Verwirrungen um das Thema Verknüpfung lüftet. --mik81 18:45, 18. Dez. 2007 (CET)

Füllwortorgie

Mehr Füllwörter habe ich selten in einem Artikel lesen dürfen. Glaube Mathe-Menschen gerne das sie sich selbst für super schlaue und toll studierte Persönchen halten, aber hey, belästigt Dritte nicht mit euren vermeintlichen Wortkompetenzen.

"Eine boolesche Algebra ist ein distributiver komplementärer Verband." - Suuuuuper

Ausserdem fehlt dort ein Komma oder der/die Autoren sollten sich nochmal mit Flexion befassen.

Gruß! (nicht signierter Beitrag von 217.115.75.231 (Diskussion) 18:41, 12. Mär. 2008)

Aber doch bitte recht freundlich, 217.115.75.231 !! mach's doch einfach selber! Das ist ja das Schöne an Wikipedia: Ärger, Magengeschwüre und unnötige Folgekosten für die Allgemeinheit (oder allzu früh verfallene Rentenansprüche) lassen sich dadurch ganz einfach vermeiden - um gleich die extremsten (!) Auswirkungen anzuführen. "Textgärtner" sind hier immer willkommen, die sich an den kleinen Blüten korrekter Flexionen, richtig gesetzten Kommata und geschliffenen, treffenden Formulierungen nicht nur selbst erfreuen, sondern auch andere daran teilhaben lassen und so die Qualität des Gesamtprojektes heben helfen. --FotoFux 11:56, 12. Jul. 2008 (CEST)

Ich bin kein Linguist, aber ich glaube nicht, dass das unbedingt falsch ist. Immerhin geht es hier nicht einfach nur um irgendwelche Adjektive, sondern "komplementärer Verband" ist wie ein eigener Begriff, den man jetzt durch Distributivität noch näher einschränkt. Das ist so ähnlich wie z.B. "kommutativer unitärer Ring" oder "gerade natürliche Zahl". Da würde ich auf keinen Fall einen Beistrich schreiben.

Und was Du mit den Füllwörtern meinst habe ich jetzt beim Überfliegen des Artikels nicht erkennen können. Hast Du dazu vielleicht auch ein Beispiel? --Drizzd 12:37, 13. Jul. 2008 (CEST)

Definition...

Ne (ganz) kleine Frage: Es ist schon richtig, dass die Variablen {a,b,c} als Vertreter für 0 und 1 stehen oder? D.h. (5') mit a V 0 = a würde auch 1 V 0 = 1 sein und damit eigt. zum Extremalgesetz werden?! Grüße --WissensDürster 08:16, 7. Jan. 2009 (CET)

Die Variablen stehen auch für andere Elemente boolescher Verbände, {0,1} ist nur ein Spezialfall (siehe Beispiele). Daher ist 1 V 0 = 1 nicht das allgemeine Extremalgesetz.--Wilfried Neumaier 10:31, 7. Jan. 2009 (CET)

Definition... "unabhängige Axiome"

Noch was, woher rührt die Reihenfolge der "unabhängigen Axiome": unabhängigen Axiome (1)(1’)(2)(2’)(11)(11’)(4)(9)(9’) ? Wieso sind die nicht aufsteigend sortiert? Markiert das eine Art Wichtigkeit? Sollte eigt. nicht sein - bei unabhängigen Axiomen ? Also warum nicht: (1)(1’)(2)(2’)(4)(9)(9’)(11)(11’) ? Grüße nochmal --WissensDürster 08:18, 7. Jan. 2009 (CET)

Die Axiome (1)(1’)(2)(2’)(11)(11’) charakterisieren einen Verband, daher sind sie vor den anderen Spezialeigenschaften genannt. --Wilfried Neumaier 10:33, 7. Jan. 2009 (CET)

Ja ok, aber ich wollte auch darauf hinweisen, dass ich das (4) nicht falsch zitiert habe. Wieso sollte gerade (nur eins) der Distri-Gesetze da rein gehören? Dann kann man doch auch (4') mit nennen, oder was seh ich da nicht richtig? Grüße --WissensDürster 17:47, 21. Jan. 2009 (CET)

(4') kann man mit (4) leicht beweisen. Nimmt man (4') dazu, dann wären die Axiome nicht mehr unabhängig, sondern redundant. Man kann allerdings (4) durch (4') ersetzen und hätte ein alternatives unabhängiges Axiomensystem.--Wilfried Neumaier 22:02, 21. Jan. 2009 (CET)

Geschichte, weder or noch xor

Aus dem Abschnitt Geschichte: "In Booles originaler Algebra entspricht die Multiplikation dem UND, die Addition dagegen weder dem exklusiven ENTWEDER-ODER noch dem inklusiven ODER („mindestens eines von beiden ist wahr“)"

Addition soll also weder or noch xor sein. Was war es dann bei Boole? Dem Satz fehlt m.a. ein "sondern ....", oder hat er vielleicht doch xor verwendet?

Grüsse, -- Pbhd 05:23, 16. Sep. 2011 (CEST)

Lies bitte Artikel George Boole, dort ist die originale Boolesche Algebra erklärt.--Wilfried Neumaier 21:40, 17. Sep. 2011 (CEST)

Na ja, was im Artikel George Boole dazu steht, liest sich in Booles Originalarbeit aber ganz anders, siehe: Diskussion:George Boole#Booles Originalkalkül/Modifikationen von Booles Kalkül. Booles Axiomensystem ist zwar unvollständig, so fehlen die Assoziativgesetze, eine Erklärung der Subtraktion und der Null, aber berücksichtigt man, was er neben den ausdrücklich angegebenen Axiomen sonst noch erklärte und wie er rechnete, dann war seine algebraische Struktur ein Boolescher Ring mit Eins. Da darin bekanntlich $2x=x+x=0$ gilt (das wusste Boole offensichtlich nicht), entsprach Booles Addition dem xor. --RPI (Diskussion) 22:38, 17. Nov. 2013 (CET)

Boole rechnete immer im Potenzreihenring mit reellen Zahlen. Das war eben damals die Algebra. Er machte Taylorreihenentwicklungen und ähnliches. Unsere heutige abstrakte Algebra war damals noch nicht entwickelt. Ich habe sein Buch im PC und viel nachgerechnet. Man braucht an keiner einzigen Stelle den booleschen Ring mit x+x=0. Man könnte aber von moderner Sicht aus sagen, das seine Algebra einen booleschen Faktorring hat. --Wilfried Neumaier (Diskussion) 09:08, 18. Nov. 2013 (CET)

Nein, das tat er nicht! Man braucht dabei zwar nicht $x+x=0,$ aber das folgt aus seinen Rechengesetzen. Nur weil Boole das nicht wusste, heißt das nicht, dass es nicht so war! --RPI (Diskussion) 19:57, 18. Nov. 2013 (CET)

Die Zweifel wurden geklärt in Diskussion:George Boole#Booles Originalkalkül/Modifikationen von Booles Kalkül.--Wilfried Neumaier (Diskussion) 08:20, 21. Nov. 2013 (CET)

Absorbtion?

Nach der neuen deutschen Rechtschreibung müsste es eigentlich jetzt Absorbtion heißen. So erzähle ich es auch Studenten. Habe es jedoch nicht gleich geändert, um traditionalistischen Protesten vorzubeugen :) Meinungen? (nicht signierter Beitrag von Towopedia (Diskussion | Beiträge) 18:05, 26. Okt. 2011 (CEST))

Informier dich mal richtig: http://www.korrekturen.de/beliebte_fehler/absorbtion.shtml --Wilfried Neumaier 01:04, 28. Okt. 2011 (CEST)

Definitionen, Huntington

Ich habe den Abschnitt Definition strukturiert, um alternative Definitionen übersichtlich darzustellen.

Auch denke ich, dass die Dominanz der Verbandsdefinition nicht gut ist. Die Motivation für das Interesse an Boolescher Algebra kommt häufig aus der Computertechnik/Digitaltechnik sowie Logik/Programmierlogik. Eine mathematische Grundlage, die die Verbandstheorie umfasst, kann da im allgemeinen nicht vorausgesetzt werden. Daher das viel übersichtlichere Axiomensystem nach Huntington als Ergänzung. Towopedia 16:21, 28. Okt. 2011 (CEST)

Bitte mit Literaturangabe versehen, die ja als Quelle benutzt worden ist, damit mit man den Beweis der Gleichwertigkeit nachvollziehen kann. Formeln dem Artikel angleichen, denn nicht jeder kann die Symbole lesen.--Wilfried Neumaier 21:03, 29. Okt. 2011 (CEST)

Potenzmenge der leeren Menge als Mengenalgebra erledigtErledigt

Im Abschnitt "Mengenalgebra" steht "Die Potenzmenge einer Menge S wird mit Durchschnitt und Vereinigung zu einer booleschen Algebra. Dabei ist 0 die leere Menge und 1=S und die Negation das Komplement; der Sonderfall S=0 ergibt die einelementige Potenzmenge mit 1=0"

Bzgl. dem Sonderfall der leeren Menge: Ich denke, dass es für den Leser übersichtlicher ist, wenn man hier "der Sonderfall S=$\emptyset$" schreibt. Zwar wird vorher schon erwähnt, dass die leere Menge das 0-Element ist, aber zur Beschreibung des Sonderfalls der leeren Menge ist die direkte Notation "S=$\emptyset$" gegenüber der indirekten Notation "S=0" und "0=$\emptyset$" vorzuziehen. Es gibt keinen Grund für diesen "gedanklichen Umweg", insbesondere wo "0" nur innerhalb der Mengenalgebra eine Bedeutung hat und somit zur Beschreibung der Grundmenge denkbar ungeeignet ist. --Arno Nymus (Diskussion) 16:32, 28. Mär. 2012 (CEST)

Dieser Abschnitt kann archiviert werden. Arno Nymus (Diskussion) 22:36, 23. Apr. 2012 (CEST)

Verweis auf die Informatik

Ich würde es gut finden, wenn auch ein Absatz über die Bedeutung in der Informatik eingeführt würde. --Appelbuur (Diskussion) 10:47, 2. Mai 2012 (CEST)

Shannon

Im diesem Text steht im Abschnitt "zur Geschichte", dass Claude Shannon 1940 die boolesche Algebra erstmals zur Beschreibung elektrischer Schaltungen einsetzte. Im Artikel über eben diesen Claude Shannon 1937 seine Master-Arbeit "A Symbolic Analysis of Relay and Switching Circuits" verfasste. Welche Jahreszahl ist richtig oder bezieht sich die Angabe von 1940 hier gar nicht auf diese Masterarbeit? --31.150.169.138 14:36, 30. Mai 2013 (CEST)

Eben korrigiert.erledigtErledigt--Wilfried Neumaier (Diskussion) 20:40, 30. Mai 2013 (CEST)

Was hat der überhaupt mit Booleschen Algebren gemacht? Ich kann mir ja nur eine spezielle Boolesche Algebra vorstellen, die für den relevant war. Ist das Werk trotzdem wichtig? --Chricho ¹ ² ³ 20:46, 30. Mai 2013 (CEST)

Der Shannon-Text ist ein Relikt aus einer uralten Version. Er war nicht sachgerecht datiert. Ich stimme Dir zu: Er hat eigentlich im Artikel nichts verloren. Es ist eine bloße Anwendung der booleschen Algebra. Er gehört allenfalls in die Rubrik am Ende "Siehe auch", dann aber als Stichwort Schaltalgebra; in diesem Artikel ist dann der Verweis auf Shannon drin. Was meinst Du?--Wilfried Neumaier (Diskussion) 22:54, 30. Mai 2013 (CEST)

Im Artikel sind drei Bemerkungen zur Schaltalgebra eingestreut, die auch dort wenig hilfreich sind und eher stören.--Wilfried Neumaier (Diskussion) 22:58, 30. Mai 2013 (CEST)

Grammatikfrage

Mal eine Frage aus einem anderen Fachgebiet: Da die Bezeichnung "boolesche Algebra" auf George Boole zurückgeht, müsste es dann nicht als Eigenname "Boolesche Algebra" heißen? (Ich hab keine Ahnung, ich bin nur neugierig) --153.96.96.22 16:48, 6. Okt. 2015 (CEST)

Die Boolesche Algebra groß geschrieben wäre laut heutiger Grammatik die Algebra von Boole. Das ist die boolesche Algebra definitiv nicht; es ist eine Abstraktion aus Ideen von Boole. Daher ist die Kleinschreibung korrekt.--Wilfried Neumaier (Diskussion) 22:12, 6. Okt. 2015 (CEST)

Vielen Dank! --153.96.96.22 07:33, 7. Okt. 2015 (CEST)

Das stimmt nicht. Mathematische Begriffe werden mit dem großgeschriebenen Namen und der Endung -sch gebildet, wie z.B. Noethersch oder Hausdorffsch, die als Adjektive groß geschrieben werden. Es gibt nur wenige Ausnahmen wie abelsch oder euklidisch; diese sind in der mathematischen Tradition aber für grundlegendste Begriffe reserviert, die nach den ganz großen Mathematikern benannt sind. Boole und seine Algebra haben trotz ihrer immensen Bedeutung im Gebäude der heutigen Mathematik (noch?) nicht diesen Rang, und es obliegt auch nicht der Wikipedia, das zu ändern. (nicht signierter Beitrag von 192.124.237.237 (Diskussion) 14:39, 17. Feb. 2016 (CET))

Haha, Adjektive zu großen Mathematikern schreibt man klein und Adjektive zu kleinen Mathematiker schreibt man groß. Ich schmeiß mich weg … -- HilberTraum (d, m) 16:02, 17. Feb. 2016 (CET)

Die Kleinschreibung ist korrekt. Gibt man in einer aktuellen Duden-Online-Version folgende Testsätze ein: "Die boolesche Algebra ist eine Modifikation von Booles Algebra" und "Die Boolesche Algebra ist eine Modifikation von Booles Algebra", so enthält man bei der Großschreibung eine Fehlermeldung! Der Grund ist oben genannt.--Wilfried Neumaier (Diskussion) 14:58, 22. Feb. 2016 (CET)

Es ist richtig, dass die Kleinschreibung auch gebräuchlich ist. In der Mathematik ist sie ein Fauxpas. Es ist mir aber gerade zu doof, die vandalisierte Großschreibung wieder zu restaurieren. Das sollen andere machen. (nicht signierter Beitrag von 192.124.237.237 (Diskussion) 15:32, 1. Apr. 2016 (CEST))

Venn und Peirce

Venn und Peirce haben meines Wissens nichts zu tun mit der Weiterentwicklung der booleschen Algebra zur heutigen Form. Hier waren nur Jevons, Schröder,Peano maßgeblich.--Wilfried Neumaier (Diskussion) 00:16, 6. Okt. 2017 (CEST)

Relationsalgebra

erledigtErledigt

Vorschlag für einenneuen Abschnitt hier (oder einen eigenen Artikel), folgt im Wesentlichen (aber stark verkürzt) dem englischen Artikel

en:Relation algebra ist aber noch nicht ganz ausgegart. Referenzen:

• [4] (chapman.edu, WayBack) (englisch)
• Relationsalgebra (Mathepedia) (deutsch)
• Robin Hirsch, Ian Hodkinson: Relation algebras

Eine Weiterentwicklung davon ist die Peirce Algebra mit mehreren Trägermengen, die offenbar die Relationsalgebra zusammen mit Vor-/Nachbeschrämkung auf Mengen (die andeen Träger) abstrakt beschreibt:

• Chris Brink et al.:Peirce Algebras

In diesem Sinn haben Peirce u. a. die Boolesche Algebra dann doch weiterentwickelt.

/* Relationsalgebra */

Nicht zu verwechseln mit: Relationale Algebra (oder Relationenalgebra).

In der Mathematik und abstrakten Algebra ist eine Relationsalgebra (englisch: relation algebra) eine residuierte Boolesche Algebra, die um eine Involution als einstellige Operation, Konverse geannnt, erweitert wurde. Das für diese Begriffsbildung maßgebliche Beispiel einer Relationsalgebra ist die Algebra $2^{X^{2}}$ aller zweistelligen Relationen auf einer Menge $X$ (d. h. auf den Teilmengen des kartesischen Produkts $X\times X=X^{2}$), zusammen mit der Verkettung von Relationen und der Umkehrrelation (konversen Relation).

Eine Relationsalgebra ist ein 9-Tupel $(L,\land ,\lor ,\neg ,0,1,\circ ,\operatorname {I} ,{}^{\smile })$, für das gilt:

• $(L,\land ,\lor ,\neg ,0,1)$ ist eine Boolesche Algebra,
• $(L,\circ ,\operatorname {I} )$ ist ein Monoid,
• ${}^{\smile }$ ist eine Involution, genannt Konverse,
• $\forall a,b\in {L}:(a\circ b)^{\smile }=b^{\smile }\circ a^{\smile }$, d. h. die Konverse ist treu gegenüber der Verknüpfung ∘.
• $\forall a,b\in {L}:(a\lor b)^{\smile }=a^{\smile }\lor b^{\smile }$, und
• $\forall a,b,c\in {L}:(a\lor b)\circ {c}=(a\circ {c})\lor (b\circ {c})$ (Distributivität)
• $\forall a,b\in {L}:(a^{\smile }\circ \neg (a\circ {b}))\lor \neg {b}=\neg {b}$, was nichts anderes bedeutet als $a\circ {b}\leq \neg {c}\Leftrightarrow a^{\smile }\circ c\leq \neg {b}\Leftrightarrow c\circ b^{\smile }\leq \neg {a}$ (Peircesches Gesetz) (siehe: Chris Brink et al. Seite 12)

Veranschaulichung Peircesches Gesetzt, hier mit u, v, w statt a, b, c

Für homogene zweistellige Relationen $R\subseteq A\times A$ führt dies auf

${\mathfrak {Re}}(X)=(2^{X^{2}},\cap ,\cup ,{}^{^{-}},\emptyset ,X^{2},\circ ,id_{X},{}^{\smile })$

(nach Hirsch u. Hodkinson, das Tupel an obige Schreibweise angeglichen)
wobei in anderer Notation $X^{2}=X\times X,\;\ 2^{X^{2}}={\mathcal {P}}(X\times X)$
--Ernsts (Diskussion) 21:27, 25. Jan. 2018 (CET), Korrekturen angebracht --Ernsts (Diskussion) 01:30, 26. Jan. 2018 (CET)

Würde für einen extra Artikel plädieren.--Wilfried Neumaier (Diskussion) 22:36, 25. Jan. 2018 (CET)

Erledigt, siehe Relationsalgebra --Ernsts (Diskussion) 01:08, 27. Jan. 2018 (CET)

Orthogonalprojektionen kommutieren nicht

Ich verstehe das Beispiel mit den Orthogonalprojektionen ehrlich gesagt nicht wirklich. Dort steht "In beiden Fällen wird $P(H)$ zu einer booleschen Algebra". $P(H)$ war hier die Menge aller Orthogonalprojektionen auf dem Hilbertraum $H$. Es gibt doch aber für $\operatorname {dim} H>1$ stets Orthogonalprojektionen $P,Q$ mit $PQ\neq QP$ und damit wäre bereits Axiom $(1)$ verletzt. Wenn man stattdessen wie im Beispiel darüber die Menge aller Orthogonalprojektionen auf $H$ nimmt, die mit allen anderen kommutieren, würde man nur $0$ und $I$ erhalten, oder nicht? Muss man vielleicht eine gewisse Teilmenge von $P(H)$ wählen, die nur aus paarweise kommutierenden Operatoren besteht? --InvisibleNoName (Diskussion) 22:56, 11. Mär. 2021 (CET)

Ich glaube ehrlich gesagt, dass das Beispiel für $n=2$ selbst für paarweise kommutierende Operatoren keine boolesche Algebra liefert, da eine ganze Reihe von Axiomen nicht erfüllt sind... Für $n=1$ liefert das im Vergleich zum Beispiel davor kaum etwas neues. --InvisibleNoName (Diskussion) 16:40, 12. Mär. 2021 (CET)

Ich lösche den Abschnitt

"Ist $H$ ein Hilbertraum und $P(H)$ die Menge der Orthogonalprojektionen auf $H$, dann definiert man für zwei Orthogonalprojektionen $P$ und $Q$

$P\lor Q=P+Q-nPQ,\quad P\land Q=PQ$,

wobei $n$ gleich $1$ oder $2$ sein soll. In beiden Fällen wird $P(H)$ zu einer booleschen Algebra. Der Fall $n=2$ ist in der Spektraltheorie von Bedeutung.",

obwohl die so definierten Operatoren wieder orthogonale Projektionen sind, wenn $P$ und $Q$ kommutieren. Für $n=1$ ergibt sich wohl tatsächlich eine Boolesche Algebra, wenn man von einer maximalen Menge paarweise kommutierender orthogonaler Projektionen ausgeht. Für $n=2$ ergibt sich auch bei Einschränkung des Definitionsbereichs keine Boolesche Algebra, denn die Idempotenz für $\lor$ ist dann verletzt: $P\lor P=P+P-2P^{2}=0$. --PhiRho~dewiki (Diskussion) 17:03, 4. Mär. 2022 (CET)