Diskussion:Cantor-Menge

Mächtigkeit

Ein Professor von mir meinte einmal:

$2^{Cantor-Dust}$ ist isomporph zur Prädikatenlogik.

Was halten Sie davon? (Der vorstehende, unsignierte Beitrag wurde um 13:44, 11. Mai 2004 (CEST), von 81.189.88.8 erstellt.)

Da die Cantor-Menge überabzählbar ist, würde das für alle überabzählbaren Mengen gelten. Außerdem glaube ich nicht, dass 2^Cantor-Menge isomoproh zur Prädikatenlogik ist, zumindest die erste Stufe ist doch nur abzählbar, oder? --84.160.254.46 01:30, 28. Feb. 2008 (CET)

Sachfragen

Ein paar Sachfragen:

• (1) Sind die zu entfernenden Streckenstücke offen oder geschlossen oder ist das egal? Ich vermute letzteres.

• (2) "Derartige Konstrukte sind in Mengen mit überabzählbar vielen Elementen konstruierbar." - soll das heißen, dass sie es immer sind? Falls nicht wäre diese Aussage ja trivial, da die Cantor-Menge selbst ja schon überabzählbar ist.

• (3) "Cantor-Mengen sind Beispiele für Fraktale." - heißt das, dass sie es immer sind? Wie steht's mit der Selbstähnlichkeit? Was wäre, wenn ich z. B. die Vorschrift für die Position bzw. Länge der zu entfernenden Streckenstücke irgendwie aus der Dezimaldarstellung von π ableite? Oder gibt es den Satz, dass ihre Haussdorff-Dimension stets keine ganze Zahl ist?

Das sollte man alles eindeutiger formulieren. --Wolfgangbeyer 15:05, 12. Jul 2004 (CEST)

Meine Informationen stammen aus "Chaos and Fractals: New Frontiers of Science" von Heinz-Otto Peitgen, Hartmut Jürgens, Dietmar Saupe. (1) Ich erinnere mich nicht mehr, aber es war nicht egal, ob das entfernte Stück offen oder abgeschlossen war. (2) Die Aussage soll ein notwendiges Kriterium darstellen (Um eine Kantormenge zu konstruieren, beginne mit einer überabzählbaren Menge, mit gewissen (welchen?) Eigenschaften). (3) Ich vermute stark, dass alle 'regulären' Entfernungsvorschriften zu einer nicht-ganzzahligen Haussdorf-Dimension führen. Ich kenne keinen Beweis. -- Schewek 23:23, 12. Jul 2004 (CEST)

(1) offene Teile, vgl. die Beschreibung ueber die Ternaerentwicklung--Gunther 12:33, 24. Feb 2005 (CET)

Anwendung

Findet die Cantor-Menge eine nützliche Anwendung? --Abdull 13:39, 7. Jan 2006 (CET)

Wenn Du so fragst: nein. Sie ist didaktisch sinnvoll als ein Beispiel, an dem man verschiedene anschaulich einleuchtende Aussagen falsifizieren kann; sie ist gewissermaßen das einfachste Beispiel für ein Prinzip, das auch zum Sierpinski-Dreieck oder zur Koch-Kurve führt, und diese wiederum waren wohl die motivierenden Beispiele für die Definition einer nicht-ganzzahligen Dimension. Die Frage, ob dieser ganze Fraktal-Rummel mehr gebracht hat als hübsche Bildchen, muss jemand beantworten...--Gunther 14:33, 7. Jan 2006 (CET)

Ja, Benoit Mandelbrot hat festgestellt, dass das Rauschen bei einem Telefon der Cantor-Menge ähnlich war. Das hab ich bei einem der Klassiker über Fraktale gelesen, Peitgen und Konsorten. Und das Sierpinski-Dreieck wird z.B. als Antenne in manchen Handys benutzt, da die fraktalen Eigenschaften wie theoretisch unendlicher Rand als Antenne ganz sind. --84.160.254.46 01:30, 28. Feb. 2008 (CET)

Eine weitere Anwendung als Beispiel ist, dass die Cantormenge aus unendlich vielen Elementen das Lebesguemaß Null hat.(Der vorstehende, unsignierte Beitrag wurde um 13:28, 31. Mär. 2008 (CEST), von 77.0.203.46 erstellt.)

Gegenbeispiel

Den Satz Die Cantor-Menge diente oft als Gegenbeispiel für mengentheoretische Vermutungen. habe ich gelöscht bzw auskommentiert. Die Cantormenge ist ein schönes Beispiel für eine überabzählbare Nullmenge, aber das würde ich noch nicht "Gegenbeispiel" nennen; oder hat jemals jemand vermutet, dass alle Nullmengen abzählbar sind? Und was gibt oder gab es sonst für Vermutungen, die durch die Cantormenge widerlegt wurden? --Wuzel 14:44, 14. Nov. 2006 (CET)

Man kann aus ihr leicht eine Funktion basteln, die fast überall differenzierbar mit Ableitung null ist, die also den Hauptsatz der D&I-Rechnung nicht erfüllen kann.--Gunther 14:53, 14. Nov. 2006 (CET)

Ja richtig... ich habe einmal ein paar Worte über die Cantorfunktion geschrieben. Vielleicht kann das ja noch jemand verständlicher schreiben... --Wuzel 17:16, 14. Nov. 2006 (CET)

Allgemeiner

Die Definition einer Cantormenge, die ich damals im Studium gelernt habe war „total unzusammenhängende perfekte Menge“, was allgemeiner ist als die hier gegebene Definition. Literatur kann ich dazu momentan allerdings keine angeben. (Mit dieser Definition sind Cantormengen nicht notwendigerweise fraktal.) --ChristopherCreutzig 08:55, 14. Jun. 2007 (CEST)

Formulierungen mindestens irreführend wenn nicht sogar falsch

In dem Artikel wird am Anfang behauptet, dass alle Elemente der Cantor-Menge Randpunkte sind (nach "Cantorsches Diskontinuum" im ersten Abschnitt). Weiter unten heisst es dann, dass sie mehr als nur die Randpunkte der entfernten Intervalle enthält (unter "Konstruktionsbeispiel"). Man fragt sich, welche Randpunkte sie dann noch enthält.

Die Darstellung ist mindestens unklar und bedürfte weiterer Erklärungen.

Gruß Albrecht Storz (Der vorstehende, unsignierte Beitrag wurde um 20:32, 17. Sep. 2007 (CEST), von 87.178.119.210 erstellt.)

Hallo Albrecht! Jeder Punkt der Cantormenge ist Randpunkt der Cantormenge, das bedeutet, dass jede Umgebung eines Punktes aus der Menge sowohl einen anderen Punkt aus der Menge als auch einen Punkt außerhalb der Menge enthält. MfG Stefan Knauf 15:43, 9. Mär. 2009 (CET)

So formuliert ist das falsch

Ich bestreite die Behauptung : "Insbesondere enthält die Cantormenge mehr als nur die Randpunkte der entfernten Intervalle...(usw.)"! Schon der rechte Randpunkt des im ersten Schritt entfernten Intervalls, also 2/3, schreibt sich zur Basis 3 einfach als 0,2; der rechte Randpunkt des ersten der im zweiten Schritt entfernten Intervalle ist 2/9 = 0,02(zur Basis 3). Der rechte Randpunkt des dritten der im 4. Schritt enfernten Intervalle (siehe Bild: letzte Zeile, 3. kleine Lücke) ist 2/9 + (2/9)* (1/9) = 0,0202(zur Basis 3). Damit kann man sich klarmachen, dass

a) die Randpunkte nicht unbedingt eine Periode besitzen müssen.

b) 1/4 = 0,02020202020..... auch ein Randpunkt eines entfernten Intervalls ist - allerdings erst im "unendlichsten Schritt".

c) für die Konstruktion der Cantormenge entscheidend ist, dass nur OFFENE Intervalle entfernt werden. Sonst würden die Randpunkte ja gerade nicht zur Menge gehören!

Viele Grüße Andrea von Kopylow (Der vorstehende, unsignierte Beitrag wurde um 09:18, 4. Mär. 2009 (CET), von 92.226.141.40 erstellt.)

Hallo Andrea! Du hast Recht, dass es wichtig ist, dass bei der Konstruktion der Cantormenge nur offene Intervalle entfernt werden. Würde man die abgeschlossenen Intervalle entfernen, bekäme man eine andere überabzählbare Lebesgue-Nullmenge. Diese wäre aber nicht mehr abgeschlossen.

Die Periode der Randpunkte hat mich auch mal verwirrt (siehe weiter unten). Wenn eine Zahl (außer die Null) in einem Stellenwertsystem zur Basis b eine Darstellung ohne Periode besitzt, dann hat sie auch eine Darstellung der Periode b-1. Im Dreiersystem ist 0,2=0,12 und 0,02=0,012.

Auch ist ein Viertel als 0,02 im Dreiersystem sicher kein Randpunkt eines entfernten Intervalls. Es gibt in dieser Konstruktion nämlich keinen unendlichsten Schritt. Zu jedem entfernten Intervall gibt es eine natürliche Zahl n, so dass es im n. Schritt entfernt wird. Dass man unendlich viele Schritte macht, heißt noch nicht, dass es auch einen unendlichsten Schritt gäbe. Das ist so ähnlich wie mit den natürlichen Zahlen: Es gibt unendlich viele davon, aber das Unendlich selber gehört nicht dazu. MfG Stefan Knauf 15:43, 9. Mär. 2009 (CET)

Basis 3

Hallo Leute! Ich war gerade dabei, mich so richtig schön von der Cantormenge verwirren zu lassen, und dieser Artikel hier verwirrt mich sogar noch mehr. Hier steht, die Cantormenge sei „die Menge aller Zahlen im Intervall [0,1], die eine Darstellung als Kommazahl zur Basis 3 besitzen, in der nur die Ziffern 0 und 2 vorkommen“. Ich denke, ein Drittel gehört zur Cantormenge und wird zur Basis 3 als „0,1“ dargestellt, es kommen also auch andere Ziffern als nur 0 und 2 vor. Wo liegt der Fehler? (hoffentlich im Artikel...) MfG Stefan Knauf 18:11, 17. Okt. 2007 (CEST)

1/3 = 0,1, aber auch 1/3 = 0,22222.... Ebenso wie 1 = 1,0000... = 0,22222... --Wuzel 13:44, 18. Okt. 2007 (CEST)

Hallo Wuzel! Ach, so, da stimme ich dir zu. Ich wäre vorher vermutlich selbst im Traum niemals auf die Idee gekommen, dass man bei einer Stellenwertdarstellung zur Basis b eine Periode von b-1 zulassen könnte... Aber du hast das im Artikel jetzt ja verdeutlicht. MfG Stefan Knauf 23:46, 19. Okt. 2007 (CEST)

Nachtrag: Oh, nein, dir war da wohl ein Tippfehler unterlaufen, dem man nicht zustimmen sollte... 0,1 ist im Dreiersystem höchstens 0,02. Das hatte ich beim ersten Lesen ganz übersehen. MfG Stefan Knauf 19:53, 20. Okt. 2007 (CEST)

Gibt's da nicht bei der Bijektion zu den 0-1-Folgen ein Problem, weil die 2-periodischen Folgen zu 1-periodischen werden, die ident sind mit einer 0-periodischen, die davor eine 1 hat? Es werden also der selben Kommazahl zwei verschiedene 0-1-Folgen zugeordnet! -- Hermann Steier (Der vorstehende, unsignierte Beitrag wurde um 20:56, 24. Jan. 2009 (CET), von 91.114.129.48 erstellt.)

Hallo Hermann! Nein, das ist kein Problem (falls du die Bijektion von der Cantormenge in die Menge der 0-1-Folgen meinst). Denn die 0-1-Folgen sind hier nicht als Zahlen zu verstehen. Zwei 0-1-Folgen sind genau dann gleich, wenn alle ihre Folgenglieder gleich sind, also unterscheidet sich die 1-periodische Folge von der 0-periodischen, die davor eine 1 hat. MfG Stefan Knauf 15:43, 9. Mär. 2009 (CET)

Blöde Frage:

Seit wann ist 1/4 = 0,020202 und nicht =0,25? (Der vorstehende, nicht signierte Beitrag stammt von 22:37, 17. Okt. 2007 (Diskussion • Beiträge) 77.118.56.135)

Eins durch Vier im Dreiersystem

Hallo! Das ist bei Verwendung eines Stellenwertsystemes zur Basis 3 tatsächlich so (dort gibt es nur die Ziffern 0, 1 und 2; drei wird dort als 10 dargestellt). Ich habe es selber mal nachgerechnet, du kannst es im Bild rechts nachvollziehen. :-) MfG Stefan Knauf 23:46, 19. Okt. 2007 (CEST)

Oder auch über die geometrische Reihe: Summe 1/9^k ist 1/8, hier haben wir das doppelte, denn $2\cdot 0,{\overline {01}}={\overline {02}}$, daher 2/8=1/4. --Jobu0101 (Diskussion) 17:21, 1. Feb. 2013 (CET)

Die vs. eine Cantormenge

Ich denke, man sollte da unterscheiden:

1. Es gibt die Cantormenge, nämlich die Menge, die durch die aus dem Intervall [0,1] durch iterierte Wegnahme von jeweils dem mittleren Drittel entsteht.

Diese Menge hat gewisse topologische (kompakt, perfekt, total unzusammenhängend, nirgendsdicht), maßtheoretische (Lebesgue-Nullmenge, nichtganzzahlige Hausdorffdimension), geometrische (selbstähnlich) und mengentheoretische (gleichmächtig zum Kontinuum) Eigenschaften. Davon ausgehend nennt man

2. allgemeiner gewisse Mengen (oder topologische Räume) Cantor-Mengen, wenn sie einen Teil dieser Eigenschaften besitzen. Welche Auswahl der Eigenschaften man dabei fordert, das hängt von dem Teilgebiet der Mathematik, in dem man sich befindet ab. Z.B. interessiert sich der (mengentheoretische) Topologe nicht für Selbstähnlichkeit, der Mengentheoretiker auch nicht dafür, wie die Menge in \R drinliegt (z.B. nicht für "nirgendsdicht"). Beide auch nicht für Hausdorffdimension oder Lebesguemaß. --Digamma 18:15, 11. Dez. 2007 (CET)

"Offene" Cantor Menge

Ich beginne mit dem offenen Intervall ]0,1[. Ich verfahre weiter wie bei der Konstruktion der Cantor Menge mit dem kleinen Unterschied, dass ich abgeschlossene Intervalle entferne. Es bleiben daher nicht wie bei der Cantor - Menge die Endpunkte bestehen. Jeder Schritt liefert eine offene Restmenge. Da das Konstruktionsverfahren ansonsten identisch mit dem Original ist, unterscheidet sich die neue Menge von der Cantor-Menge nur durch die fehlenden Endpunkte. Die Menge der Endpunkte ist abzählbar, die Menge der Punkte der Cantor - Menge ist es nicht. Daher ist auch die Menge der Punkte, die bei meiner Konstruktion erzeugt wird überabzählbar. Es ist eine nicht leere, offene Menge. Und eigentlich sollte auch die neue Menge das Maß 0 haben, weil sie von der Cantor - Menge majorisiert wird. Aber eigentlich sollte es keine Mengen vom Maß 0 geben, die nicht leere offene Mengen enthalten. Ich bin kein Mathematiker, ich finde es unheimlich. (nicht signierter Beitrag von 88.78.152.79 (Diskussion | Beiträge) 00:15, 3. Jun. 2009 (CEST))

Hallo! Die auf deine Weise konstruierte Menge ist zum Glück nicht offen. :) Aber du hast Recht, dass deine Menge überabzählbar ist und das Lebesguemaß 0 hat. Du hast auch Recht, dass du nach jedem Schritt eine offene Restmenge hast. Aber nach unendlich vielen Schritten hast du irgendein absurdes Ding, das schon deshalb nicht offen sein kann, weil es nicht leer ist und das Lebesguemaß 0 hat. MfG Stefan Knauf 15:11, 5. Aug. 2009 (CEST)

Die übliche Cantormenge entsteht als Durchschnitt ihrer Approximationen. Der Durchschnitt von abgeschlossenen Mengen ist abgeschlossen. Aber Deine Menge ist ein unendlicher Durchschnitt von offenen Mengen, der ist im Allgemeinen weder offen noch abgeschlossen. --Wuzel 17:04, 5. Aug. 2009 (CEST)

0-1-Folgen

Die Notation, die ich verwende, ergibt sich aus dem Aufbau der unendlichen Liste. Stell dir ein unendliches Raster vor, das sowohl nach links als auch nach unten abzählbar unendlich viele Reihen und Spalten hat. Die Liste der natürlichen Zahlen in Binärdarstellung füllt dieses Raster folgendermaßen:

• ...000000
• ...000001
• ...000010
• ...000011
• ...000100
• ...000101
• ...000110
• ...000111
• ...001000
• ...

Gemäß dieser Notation ist hier die Binärfolge ...000 in Zeile 1 enthalten. Auch allen anderen Binärfolgen dieser Liste gehen unendlich viele Nullen voran. Jetzt lege ich die Zwischenergebnisse des kartesischen Produktes {0,1} x {0,1} x {0,1} x ... in dieses Raster (zur Veranschaulichung fett gedruckt):

• ...000000
• ...000001
• ...000010
• ...000011
• ...000100
• ...000101
• ...000110
• ...000111
• ...001000
• ...
• ...000000
• ...000001
• ...000010
• ...000011
• ...000100
• ...000101
• ...000110
• ...000111
• ...001000
• ...
• ...000000
• ...000001
• ...000010
• ...000011
• ...000100
• ...000101
• ...000110
• ...000111
• ...001000
• ...

Die Zwischenergebnisse decken sich in jedem endlichen Schritt mit der Liste der natürlichen Zahlen. Ist meine Schlussfolgerung falsch, dass nach abzählbar unendlich vielen Schritten die Liste der natürlichen Zahlen und die durch das Einfügen der Zwischenergebnisse in das Raster entstandene Liste identisch sind und demnach nicht alle unendlichen Folgen enthalten sind?

--Netzweltler 07:32, 24. Feb. 2012 (CET)

Hallo Netzweltler! In Deiner Liste tauchen – wie Du schon sagst – nur Folgen auf, die nur endliche viele Stellen ungleich 0 aufweisen. Demnach kommt zum Beispiel die abzählbare Folge, die nur Einsen hat, nicht vor. Demnach ist es richtig, dass Deine abzählbare Liste von 0-1-Folgen nicht alle abzählbaren 0-1-Folgen enthält. Wie Du wahrscheinlich schon mal gehört hast, ist die Menge aller abzählbaren 0-1-Folgen überabzählbar, wie man mit einem Cantorschen Diagonalargument sehen kann. Folglich kommen in jeder abzählbaren Liste nicht alle abzählbaren 0-1-Folgen vor. MfG Stefan Knauf 14:25, 24. Feb. 2012 (CET)

Suggeriert das kartesische Produkt {0,1} x {0,1} x {0,1} x ... nicht, dass nach abzählbar unendlich vielen Schritten - also abzählbar unendlich oft mit {0,1} multiplizieren - auch Folgen wie ...111 (nach obiger Notation die abzählbare Folge, die nur Einsen hat) erzeugt werden? Dennoch überdecke ich im obigen Beispiel nach abzählbar unendlich vielen Schritten gerade mal die "vorgedruckte" Liste der natürlichen Zahlen. --Netzweltler 18:53, 24. Feb. 2012 (CET)

Hallo Netzweltler! Ja, im abzählbaren Produkt der Menge {0;1} ist auch die Folge enthalten, die nur Einsen hat. In Deiner abzählbaren Folge von 0-1-Folgen kommt sie aber nicht vor. MfG Stefan Knauf 02:28, 25. Feb. 2012 (CET)

Also reicht es nicht, einfach nur abzählbar unendlich oft mit {0,1} zu multiplizieren, um die Folge ...111 zu erzeugen? Denn die Ergebnisse aller dieser abzählbar unendlich vielen Operationen habe ich im obigen Beispiel schließlich ins Raster eingetragen - ohne dabei die Folge ...111 erzeugt zu haben. Man kann eine Bijektion der eingetragenen Ergebnisse der Operationen zur Folge {0,1},{0,1,2,3},{0,1,2,3,4,5,6,7}, ... herstellen. --Netzweltler 08:05, 25. Feb. 2012 (CET)

Hallo Netzweltler! Ich erkenne endlich, dass ich gar nicht verstanden habe, was Du meinst. Im Produkt $\prod _{i\in \mathbb {N} }\{0;1\}$ ist die Folge, die nur Einsen hat, natürlich enthalten.

In der Folge $({\overline {0}};1{\overline {0}};01{\overline {0}};11{\overline {0}};001{\overline {0}};101{\overline {0}};\dots )$ sind aber alle Glieder nur $0$-$1$-Folgen, die nur endlich viele Einsen haben. Keinem der Folgenglieder wurden unendlich viele Einsen hinzugefügt. Ich vermute, Dein Problem liegt in der Schwammigkeit der Formulierung „abzählbar unendlich oft mit {0,1} zu multiplizieren“. Eine „unendliche Multiplikation“ in dem Sinne, dass ein Produkt von unendlich vielen Mengen aufgestellt wird, findet in Deinem Beispiel gar nicht statt. Deine abzählbare Auflistung von $0$-$1$-Folgen enthält nur solche Folgen, die schon nach endlich vielen Schritten auftauchen. MfG Stefan Knauf 19:03, 26. Feb. 2012 (CET)

Hallo Stefan! Also ist das Produkt $\prod _{i\in \mathbb {N} }\{0;1\}$ bilden nicht gleichzusetzen mit dem Vorgang

1. {0,1} x {0,1} = {(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)}
2. {(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)} x {0,1} = {(0,0,0),(0,0,1),(0,1,0),(0,1,1),(1,0,0),(1,0,1),( 1,1,0),(1,1,1)}
3. {(0,0,0),(0,0,1),(0,1,0),(0,1,1),(1,0,0),(1,0,1),( 1,1,0),(1,1,1)} x {0,1} = ...

und das für unendlich viele Schritte? --Netzweltler 21:20, 26. Feb. 2012 (CET)

Hallo Netzweltler! Keine Ahnung. Die Frage ist, was es eigentlich formal bedeuten soll, unendlich oft diese Schritte durchzuführen. MfG Stefan Knauf 03:09, 27. Feb. 2012 (CET)

Hallo Stefan! Soll nichts weiter heißen, als dass für jedes $i\in \mathbb {N}$ ein Schritt - also eine Multiplikation des Ergebnisses des vorangegangenen Schritts mit {0,1} - durchgeführt wird. Genauer kann ich es leider nicht formulieren, da ich mich auf diesem Gebiet nur wenig auskenne. Vielleicht konnte ich zumindest ein bisschen klar machen, warum - wenn man es eben so interpretiert - die Frage aufkommt, wie man in abzählbar unendlich vielen Schritten zu einer Menge mit überabzählbar vielen 0-1-Folgen kommen kann. --Netzweltler 08:04, 27. Feb. 2012 (CET)

Hallo Netzweltler! Das $n$-fache Produkt der Menge $\{0;1\}$ kann man auch einfach mit $\{0;1\}^{n}$ notieren. Dann hast Du in jedem Deiner Schritte einfach die Menge $\{0;1\}^{n}$ für eine natürliche Zahl $n$. Wenn man die Folge $(\{0;1\}^{n})_{n\in \mathbb {N} }$ betrachtet, ist nicht so klar, was der Grenzwert davon sein soll und ob sie überhaupt einen hat. Nicht alles, was man sich vorstellen kann, macht auch Sinn.

Deine Konstruktion aus Deinem ersten Beitrag lässt sich auch wie folgt formalisieren: Sei für jede natürliche Zahl $n$ die Menge $A_{n}$ die Menge aller abzählbaren $0$-$1$-Folgen, bei denen ab dem $(n+1)$-ten Glied nur Nullen vorkommen. Dann kommen beim Schritt von $A_{n}$ nach $A_{n+1}$ immer nur Elemente dazu, keine fallen raus. Der Folge $(A_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ lässt sich dann prima die Vereinigung aller $A_{n}$ – also die Menge $\bigcup _{n\in \mathbb {N} }A_{n}$ – als Grenzwert zuordnen. Dieser Grenzwert besteht dann einfach aus allen abzählbaren $0$-$1$-Folgen, die nur endlich viele Einsen haben. MfG Stefan Knauf 18:42, 27. Feb. 2012 (CET)

Hallo Stefan! Wenn ich die erste Zeile des Rasters in meiner Konstruktion betrachte, habe ich dann durch Einfügen der Ergebnisse der abzählbar unendlich vielen Multiplikationen das Raster in dieser Zeile nicht komplett mit Nullen gefüllt? Und dieses Raster hat abzählbar unendlich viele Spalten! Wenn ich die so entstandene Binärfolge in der ersten Zeile als ein Element der Grenzmenge betrachte, kann das ein Element der von dir angesprochenen Vereinigungsmenge sein? --Netzweltler 23:51, 27. Feb. 2012 (CET)

Hallo Netzweltler! Ja, die konstante Nullfolge ist in jeder der $A_{n}$ enthalten, also auch in der Vereinigung. MfG Stefan Knauf 04:09, 28. Feb. 2012 (CET)

Hallo Stefan! Ist die Nullfolge tatsächlich als unendliche Binärfolge Element der Vereinigungsmenge? Lass mich zur Erläuterung mal folgendes versuchen:

• ...
• ...110111
• ...111000
• ...111001
• ...111010
• ...111011
• ...111100
• ...111101
• ...111110
• ...111111

• ...
• ...110111
• ...111000
• ...111001
• ...111010
• ...111011
• ...111100
• ...111101
• ...111110
• ...111111

• ...
• ...110111
• ...111000
• ...111001
• ...111010
• ...111011
• ...111100
• ...111101
• ...111110
• ...111111

Hier habe ich die Folge der Ergebnisse der Multiplikationen anders in das unendliche Raster eingefügt. Das Raster geht jetzt nicht wie im ersten Beispiel von oben nach unten sondern von unten nach oben ins Unendliche. Zu erkennen ist, dass in der untersten Zeile nach abzählbar unendlich vielen Schritten die Binärfolge ...111 (unendlich viele Einsen) steht. Kann auch diese Binärfolge Element der von dir angesprochenen Vereinigungsmenge sein? Meines Erachtens ist hier ein ganz anderer Grenzwert der Folge entstanden. Wie du schon erwähnt hast, es ist nicht so klar, was der Grenzwert der Folge sein soll. --Netzweltler 08:18, 28. Feb. 2012 (CET)

Hallo Netzweltler! Dein neues Raster ist ein anderes. Bei Deinem ersten Raster gibt es kein Ganz-Unten, genausowenig wie es eine größte natürliche Zahl gibt. Bei ihm würdest Du niemals bei der konstanten Einsfolge ankommen. Bei Deinem neuen Raster gibt es kein Ganz-Oben. Die konstante Einsfolge steht in Deinem neuen Raster nicht erst nach abzählbar unendlich vielen Schritten, sondern am Anfang.

Und ja, meine Mengen $A_{n}$ hatte ich ja als die Menge aller $0$-$1$-Folgen definiert, die ab dem $(n+1)$-ten Glied nur Nullen aufweisen. Da die konstante Nullfolge nur Nullen aufweist, weist sie auch ab dem $(n+1)$-ten Glied nur Nullen auf, also ist sie von jeder der Mengen $A_{n}$ ein Element. Deshalb kommt sie erst recht auch in der Vereinigung aller $A_{n}$ vor.

Wenn man Dein neues Raster formalisieren wollte, würde man es genau wie Dein altes formalisieren, nur dass man einfach Nullen und Einsen vertauschen würde. Ob man es von unten nach oben oder von oben nach unten aufmalt, ist kein inhaltlicher Unterschied. MfG Stefan Knauf 21:17, 28. Feb. 2012 (CET)

Hallo Stefan! Der Unterschied auf den ich hinweisen wollte ist, dass ich einer endlichen Nullenfolge zwar unendlich viele Nullen voranstellen kann, ohne den Wert zu verändern, nicht aber einer endlichen Einsenfolge unendlich viele Einsen. Und eine Einsenfolge mit unendlich vielen Einsen ist nicht Element der Vereinigung, wohl aber der Grenzmenge die ich zuletzt konstruiert habe. --Netzweltler 22:30, 28. Feb. 2012 (CET)

Um den Sachverhalt nochmal zu klären: In der untersten Zeile meiner zuletzt genannten Konstruktion steht nach dem ersten Schritt "1", nach dem zweiten Schritt "11", usw., also nach unendlich vielen Schritten "...111". So war das gemeint. --Netzweltler 08:39, 29. Feb. 2012 (CET)

Hallo Netzweltler! Was ist denn der Wert einer Folge? MfG Stefan Knauf (Diskussion) 23:03, 1. Mär. 2012 (CET)

Hallo Stefan! Bei meiner ersten Konstruktion kann ich jede Folge in jeder Zeile als natürliche Zahl interpretieren (...001 = 001 = 01 = 1). Bei meiner zweiten Konstruktion schlägt das natürlich fehl. Hier ändert sich der Wert der Folge in einer Zeile bei jedem Konstruktionsschritt. Zudem besteht die Grenzmenge aus Folgen, die überhaupt nicht mehr als natürliche Zahl interpretiert werden können, da ihnen unendlich viele Einsen vorangestellt sind. Die zweite Konstruktion würde ich als Binärkomplement der natürlichen Zahlen beschreiben. Von daher ist bei diesen Folgen zumindest noch ein Bezug zu einer natürlichen Zahl vorhanden. In der Menge aller unendlichen 0-1-Folgen dürfte es zusätzlich zu den Folgen der von mir konstruierten Mengen eine ganze Menge Folgen geben, die überhaupt keinen Bezug zu den natürlichen Zahlen mehr haben, z.B. 01. --Netzweltler (Diskussion) 08:15, 2. Mär. 2012 (CET)

Hallo Netzweltler! Ich halte den Bezug von 0-1-Folgen zu den natürlichen Zahlen für willkürlich. Ebensogut könnte man 01 als Eins, 101 als Zwei, 001 als Drei usw. interpretieren. Man kann sich auch irgendwas ganz anderes ausdenken. MfG Stefan Knauf (Diskussion) 17:27, 6. Mär. 2012 (CET)

Hallo Stefan! Die Interpretation von ...001 als natürliche Zahl 1 kann auch meiner Meinung nach als willkürlich bezeichnet werden. Aber verweist nicht die Möglichkeit, dass man jeder 0-1-Folge eine natürliche Zahl zuweisen kann, auf eine Bijektion zwischen den natürlichen Zahlen und den 0-1-Folgen, die das Raster nach den abzählbar unendlich vielen Operationen {0,1} x {0,1} x {0,1} x ... füllen? --Netzweltler (Diskussion) 23:11, 7. Mär. 2012 (CET)

Die "vollständigste" Variante des Rasterfüllens scheint mir diese zu sein:

• ...
• ...111010
• ...111011
• ...111100
• ...111101
• ...111110
• ...111111
• ...000000
• ...000001
• ...000010
• ...000011
• ...000100
• ...000101
• ...

• ...
• ...111010
• ...111011
• ...111100
• ...111101
• ...111110
• ...111111
• ...000000
• ...000001
• ...000010
• ...000011
• ...000100
• ...000101
• ...

• ...
• ...111010
• ...111011
• ...111100
• ...111101
• ...111110
• ...111111
• ...000000
• ...000001
• ...000010
• ...000011
• ...000100
• ...000101
• ...

Hier ist im Grenzfall zumindest nicht nur die Folge ...000 sondern auch die Folge ...111 vertreten. Aber auch in dieser Konstruktion sehe ich nur abzählbar viele 0-1-Folgen, nämlich die denen unendlich viele Nullen vorangestellt sind und die denen unendlich viele Einsen vorangestellt sind. 01 fehlt auch hier. --Netzweltler (Diskussion) 23:45, 7. Mär. 2012 (CET)

(Mal un-indentiert) In der Menge aller 0-1-Folgen käme auch ...100011111010110011101 vor (kürzestmögliche Binärdarstellungen von ...8,7,6,5,4,3,2,1 einfach konkateniert). Weder sind ihr unendlich viele Nullen, noch unendlich viele Einsen vorangestellt. Auch hat sie keine endliche Periode. --Daniel5Ko (Diskussion) 00:16, 8. Mär. 2012 (CET)

Hallo Netzweltler! Ja, „abzählbar unendlich“ bedeutet einfach, dass es eine Bijektion zu den natürlichen Zahlen gibt. Und zweimal abzählbar ist wieder abzählbar. Übrigens ist auch die Menge aller periodischen 0-1-Folgen abzählbar. MfG Stefan Knauf (Diskussion) 15:35, 10. Mär. 2012 (CET)

Hallo Stefan! Mich wundert eben nur, dass keine dieser periodischen 0-1-Folgen in den von mir konstruierten Grenzmengen auftauchen. Ich habe letztens in einer ähnlichen Diskussion gelesen, dass es das Produkt {0,1} x {0,1} x {0,1} x ... in seiner iterativen Form nicht gibt. Eine Idee, was damit gemeint sein könnte? --Netzweltler (Diskussion) 18:11, 10. Mär. 2012 (CET)

Hallo Netzweltler! Ich vermute, dass damit, dass es das Produkt $\{0;1\}\times \{0;1\}\times \{0;1\}\times \dots$ in seiner iterativen Form nicht gebe, gemeint ist, dass man das abzählbare Produkt $\prod _{i\in \mathbb {N} }\{0;1\}$ nicht so wirklich als Grenzwert endlicher Produkte erhält. Das abzählbare Produkt hat Eigenschaften, die man beim Betrachten endlicher Produkte noch nicht erahnen kann.

Formal betrachtet man das Produkt $\prod _{i\in \mathbb {N} }\{0;1\}$ als die Menge der Funktionen von der Menge der natürlichen Zahlen in die Menge $\{0;1\}$. Eine abzählbare $0$-$1$-Folge ist dann einfach eine Funktion, die jeder natürlichen Zahl entweder $0$ oder $1$ zuordnet. MfG Stefan Knauf (Diskussion) 21:22, 10. Mär. 2012 (CET)

Hallo Stefan! Ich denke auch, dass meine Grenzwertbetrachtungen genau das bestätigen, dass die Menge aller unendlichen 0-1-Folgen iterativ nicht zu erzeugen ist. Kann ich eigentlich in meiner zuletzt genannten Konstruktion das Diagonalverfahren anwenden, um eine weitere Folge, die noch nicht im Raster ist, zu konstruieren? Wie müsste ich die Diagonale da reinlegen? --Netzweltler (Diskussion) 12:00, 11. Mär. 2012 (CET)

Hallo Netzweltler! Ja, man kann das Diagonalverfahren benutzen, um eine Folge zu erhalten, die nicht drin war. Dafür musst Du die ganzen Folgen erst mal in eine Reihenfolge bringen. Du hast ja die Menge der Folgen, denen unendlich viele Nullen vorangehen, und die Menge der Folgen, denen unendlich viele Einsen vorangehen, schon jeweils in eine Reihenfolge gebracht. Jetzt könntest Du sie kombinieren, indem Du immer abwechselnd eine Folge aus der einen und eine aus der anderen Menge nimmst.

Allgemein kannst Du zu jeder abzählbaren Menge von Folgen eine Bijektion $f$ von der Menge der natürlichen Zahlen zu der Menge dieser Folgen hernehmen und eine weitere Folge konstruieren, wobei Du jede $n$-te Stelle einfach anders als die $n$-te Stelle der Folge $f(n)$ wählst. MfG Stefan Knauf (Diskussion) 18:09, 14. Mär. 2012 (CET)

Hallo Stefan! Zum einen haben wir nun wie oben bereits erwähnt die Ergebnisse des schrittweisen Ausmultiplizierens von {0,1} x {0,1} x {0,1} x ..., also

1. {0,1} x {0,1} = {(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)}
2. {(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)} x {0,1} = {(0,0,0),(0,0,1),(0,1,0),(0,1,1),(1,0,0),(1,0,1),( 1,1,0),(1,1,1)}
3. {(0,0,0),(0,0,1),(0,1,0),(0,1,1),(1,0,0),(1,0,1),( 1,1,0),(1,1,1)} x {0,1} = usw.

wo zu jedem Schritt $i\in \mathbb {N}$ eine Menge mit einer Nullenfolge von $i+1$ Nullen und einer Einsenfolge von $i+1$ Einsen erzeugt wird. Nach unendlich vielen Schritten wäre mit einer gewissen Logik eine Nullenfolge mit unendlich vielen Nullen als auch eine Einsenfolge mit unendlich vielen Einsen zu erwarten, richtig? Zum anderen können wir wie anfangs bereits gezeigt die selben Ergebnisse Schritt für Schritt mit der abzählbaren Liste

• ...000000
• ...000001
• ...000010
• ...000011
• ...000100
• ...000101
• ...000110
• ...000111
• ...001000
• ...

in Deckung bringen. In dieser Liste tritt aber nach unendlich vielen Schritten zwar eine Nullenfolge mit unendlich vielen Nullen aber keine Einsenfolge mit unendlich vielen Einsen auf. Welcher Logik würdest du den Vorrang geben? Ist verständlich geworden, warum ich das als widersprüchlich empfinde? --Netzweltler (Diskussion) 22:11, 14. Mär. 2012 (CET)

Hallo Netzweltler! Nein, ich würde gleich unendliche Folgen betrachten. Ich verstehe nicht, warum Du immer wieder endliche Folgen anführst. MfG Stefan Knauf (Diskussion) 02:39, 15. Mär. 2012 (CET)

triadische Entwicklung

Ich habe im Zusammenhang mit der Konstruktion von dem Begriff "triadische Entwicklung" gehört. Vielleicht könnte das noch jemand der ein bißchen mehr darüber weiß in den Artikel einfließen lassen, 134.106.106.34 14:19, 19. Jun. 2012 (CEST)

Unter der Bezeichnung "Darstellung als Kommazahl zur Basis 3" ist das im Artikel schon enthalten. --Digamma (Diskussion) 18:44, 19. Jun. 2012 (CEST)

Schwerer Fehler in "Andere Cantormengen"

Die dort beschriebene Konstruktion liefert nicht immer eine zur "eigentlichen" Cantormenge homöomorphe Menge, so ist es zum Beispiel möglich mit der dort angegebenen Konstruktion die Menge $C':=C\cup [1,2]$ zu erhalten, wobei ich mit C die eigentliche Cantormenge meine. C' ist jedoch sicherlich nicht homöomorph zu C. --Jobu0101 (Diskussion) 17:29, 1. Feb. 2013 (CET)

Da hast du Recht. Man muss beim Wegstreichen die Größen „regulieren“. Das muss behoben werden, am besten anhand einer Quelle. --Chricho ¹ ² ³ 17:16, 14. Feb. 2013 (CET)

"Mathematische Präzisierung"

Hallo Benutzer:NikelsenH,

ich halte deine aktuelle Änderung für falsch, deshalb habe ich sie revertiert. Die Menge $A_{2}$ in deiner Konstruktion enthält z.B. auch das Intervall $\left[{\frac {4}{9}},{\frac {5}{9}}\right]$, das aber im zweiten Schritt der Iteration nicht enthalten ist, da es im Intervall $\left({\frac {1}{3}},{\frac {2}{3}}\right)$ liegt, das schon im ersten Schritt entfernt wurde.

Entsprechend ist auch deine Version der triadischen Darstellung falsch. Nicht nur an der letzten Stelle darf keine 1 stehen, sondern an keiner Stelle. --Digamma (Diskussion) 10:44, 24. Jan. 2015 (CET)

Das ist mir bewusst. Schneidet man aber alle diese Mengen, so erhält man wieder die "ursprüngliche" Cantormenge. ich hatte diese art der Konstruktion gewählt, weil sie ohne das unpräzise " mittleres drittel wegstreichen" auskommt, sondern in jedem schritt klar fassbar ist. allerdings stimmen beide konstruktionenn nur im grenzfall überein. Die wegstreich-konstruktion hat halt den vorteil, dass alle mengen inenander enthalten sindund demnach eingenschaften wiedas lebesgue-maß leichter zu zeigen sind --NikelsenH (Diskussion) 10:51, 24. Jan. 2015 (CET)

Ich verstehe. Wäre es dann nicht sinnvoller, sukzessive die Mengen $B_{n}=A_{1}\cap \dots \cap A_{n}$ zu bilden und am Schluss den Schnitt der $B_{n}$? Auf jeden Fall wurde bei deiner Konstruktion nicht deutlich, dass die $A_{n}$ nicht mit den oben durch Wegstreichen des mittleren Drittels gefundenen Mengen übereinstimmen. --Digamma (Diskussion) 12:18, 24. Jan. 2015 (CET)

Ich hab jetzt nochmal eine leichtere Herleitung geschrieben, die klarmacht, dass es sich um mehrfaches anwenden einer Operation (wegwischen) handelt, aus der sich die Hausdorff-dimension leicht ablesen lässt (kommt noch) und die triadischen entwicklung überarbeitet. Deine änderung hab ich deshalb revertiert, da ich von meiner änderung aus weiterarbeiten wollte, das spart schreibarbeit. mehr schaffe ich heute abend leider nicht, LG--NikelsenH (Diskussion) 20:31, 24. Jan. 2015 (CET)

Messbarkeit

Zwei Dinge:

• Die Cantor-Menge ist abgeschlossen (3. Punkt), damit ist sie trivialerweise eine Borel-Menge und damit messbar.
• In der Analysis wird für eine Nullmenge üblicherweise nicht verlangt, dass sie Borel-messbar ist, sondern nur, dass sie in einer Borel-Menge vom Maß 0 enthalten ist (bzw. dass sie Lebesgue-messbar ist). --Digamma (Diskussion) 23:07, 24. Jan. 2015 (CET)

Hab die redundanzen in der argumentation zu 1. mal entfernt, bei der zweiten Info weiß ich nicht wie ich das sinnvoll einbetten könnte. vielleicht hast du ja ne idee. Schönen abend noch --NikelsenH (Diskussion) 23:19, 24. Jan. 2015 (CET)