Diskussion:Charakteristik (Algebra)

Definition der Charakteristik

Ich wundere mich immer wieder, warum (auch in vielen Lehrbüchern) die Charakteristik eines Ringes definiert wird. Die Charakteristik ist ein Wert, der sich aus den Eigenschaften der additiven Gruppe eines Ringes ergibt. Dabei ist auch unerheblich, ob der Ring eine 1 besitzt oder nicht.

Mein Vorschlag wäre, die Charakteristik einer Gruppe zu definieren als die Ordnung der Identitäts-Abbildung der zugehörigen Endomorphismengruppe. Also

• char(G) = o(id) mit id = neutrales Element der Gruppe End(G).

Es gelten dann folgende Aussagen:

• Ist g aus G, so gilt o(g) | char(G), d.h. die Ordnung eines jeden Elements von G teilt die Charakteristik.
• Ist G eine endlich Gruppe, so gilt char(G) = kgV( { o(g) | g aus G }), d.h. die Charakteristik einer endliche Gruppe ist das kleinste gemeinsame Vielfache der Ordnung aller Elemente.
• Ist R ein Ring mit 1, so gilt char(R,+) = o(1), d.h. die Charakteristik der additiven Gruppe von R ist gleich der Ordnung des Einselements in dieser Gruppe.

Bin für jede Korrektur meiner Aussagen dankbar und würde sie bei Zustimmung gerne in's Wikipedia aufnehmen. --Treimers 09:28, 27. Jan 2005 (CET)

Die obige Definition der Charakteristik einer Gruppe ist uninteressant, da die Ordnung der Identität in einer Gruppe immer gleich 1 ist. Die Definition der Charakteristik ist gerade deshalb ringspezifisch, weil hier die additiven Eigenschaften eines Elements beschrieben werden, welches durch eine multiplikative Eigenschaft gekennzeichnet ist (eben die 1, das Neutralelement der Multiplikation).

Anders ausgedrückt: Die "Identität" der additiven Gruppe eines Ringes ist die 0, und nicht die 1, daher stimmt die obige Definition im allgemeinen auch nicht mit der der Charakteristik eines Ringes überein.

Da hast Du etwas missverstanden. Gemeint ist die Ordnung der Identität bezüglich der Gruppenverknüpfung, nicht bezüglich der Verkettung. Das ist in nicht-abelschen Gruppen allerdings keine vernünftige Verknüpfung ($\sigma \mapsto f(\sigma )g(\sigma )$ ist i.a. kein Endomorphismus). Was oben als "Charakteristik einer Gruppe" beschrieben wird, heißt offiziell der Exponent der Gruppe, und die Charakteristik eines Ringes (mit Eins) ist der Exponent seiner additiven Gruppe (bzw. wenn der Exponent unendlich ist, ist die Charakteristik null).--Gunther 13:12, 7. Aug 2005 (CEST)

Bemerkung: Es werden leider in keiner Weise die Charakteristiken erwähnt, wie sie bei partiellen Differentialgleichungen auftreten. Diese sind insbesondere bei (numerischer) Lösung hyperbolischer Gleichungen extrem wichtig.

Das sollte ggf. dann auch ein separater Artikel werden.--Gunther 18:24, 12. Jan 2006 (CET)

Letzter Satz

Daraus folgt, dass jeder endliche Körper als Mächtigkeit eine Primzahlpotenz hat, da dieser dann ein endlichdimensionaler Vektorraum über einem endlichen Körper sein muss (und (pⁿ)^m ist selbst eine p-Potenz).

Kann mir das jemand erklären? Darij 15:07, 13. Sep. 2010 (CEST)

n≥1

Eine Frage habe ich: Wenn n=1 ist, dann bedeutet das, dass 0=1 ist, was doch eigentlich durch die Körperaxiome ausgeschlossen wird (s. multiplikative Inverse), oder??? Müsste es nicht theoretisch also n≥2 heißen? (nicht signierter Beitrag von Mial.lohmann (Diskussion | Beiträge) 21:35, 27. Okt. 2013 (CET))

Die Charakteristik wird nicht hier nicht nur für Körper, sondern allgemeiner für unitäre Ringe definiert. Der (einzige) Ring der Charakteristik 1 ist der Nullring--Frogfol (Diskussion) 22:40, 27. Okt. 2013 (CET)