Diskussion:Dedekind-unendlich

Auswahlaxiom?

Braucht man wirklich des Auswahlaxiom um zu zeigen, dass jede unendliche Menge auch Dedekind-unendlich ist? Wie sieht der Beweis aus und wo geht das Auswahlaxiom ein?

Ja, man braucht es. Ein möglicher Beweis der Implikation geht so: Sei M eine unendliche Menge, und sei f eine Auswahlfunktion auf M (die also jeder nichtleeren Teilmenge von M eines ihrer Elemente zuordnet). Sei g(X) = f(M \ X) für jede endliche Teilmenge X von M. Jetzt kann man induktiv eine Folge von verschiedenen Elementen von M definieren, also eine injektive Funktion h von {0,1,2,...} nach M, und zwar so: h(n) = g ( { h(k): k < n }). -- Daher ist M Dedekind-unendlich.

Danke, das hilft ein wenig weiter. Es zeigt aber letzlich nur, dass das Auswahlaxiom hinreichend ist, aber nicht, dass es notwendig ist (gut, im Artikel wird auch nichts anderes behauptet). Für die Notwendigkeit müsste man zeigen, dass im Axiomensystem ohne Auswahlaxiom eine Menge angegeben werden kann, die unendlich ist, aber nicht Dedekind-unendlich ist, also die mächtiger als jede echte Teilmenge. Hat tatsächlich jemand schon so eine Menge "konstruiert"? --NeoUrfahraner 23:46, 28. Mär 2005 (CEST)

Der Satz "es gibt eine unendliche aber Dedekind-endliche Menge" ist

-- in ZFC widerlegbar

-- in ZF weder beweisbar noch widerlegbar (insofern ist also AC "notwendig")

-- in "ZF plus non-AC" weder beweisbar noch widerlegbar. (insofern kann man also keine Menge "angeben")

Beantwortet das Deine Frage? -- Wuzel 18:58, 11. Apr 2005 (CEST)

Mehr oder weniger. Wirklich einleuchtend ist es mir nicht, aber ich werde es wohl glauben müssen. --NeoUrfahraner 20:40, 11. Apr 2005 (CEST)

Modelltheoretischer formuliert: Es gibt erstens Modelle von ZF, in denen das Auswahlaxiom gilt, sozusagen die "normalen" Modelle. In denen gelten natürlich auch alle Konsequenzen des Auswahlaxioms: Unendliche Mengen sind Dedekind-unendlich, das Banach-Tarski-Paradoxon gilt, etc.

Zweitens gibt es Modelle, in denen das Auswahlaxiom nicht gilt, sondern eben die Negation des Auswahlaxioms. Manche Konsequenzen von AC können aber dennoch gelten. Z.B. gibt es ein Modell, in dem es kein Banach-Tarski-Paradoxon gibt, aber dennoch jede unendliche Menge Dedekind-unendlich ist.

-- Wuzel 21:48, 11. Apr 2005 (CEST)

Letzteres ist, was ich gemeint habe. Die Aussage "jede unendliche Menge ist Dedekind-unendlich" ist offensichtlich wesentlich schwächer als AC. Allerdings ist sie (zu meiner Überraschung) anscheinend doch nicht so schwach, dass sie in ZF alleine beweisbar wäre. --NeoUrfahraner 09:03, 12. Apr 2005 (CEST)

Hallo Wuzel, kannst du zu den obigen Aussagen über die Beweisbarkeit von "es gibt eine unendliche aber Dedekind-endliche Menge" eine Literaturquelle (oder nen Link) angeben? Und vielleicht diese Aussagen in den Artikel einpflegen? Ich halte sie für durchaus wert, genannt zu werden.

Reichen vielleicht auch schwächere Axiome wie "countable choice" oder "dependent choice" schon aus? --SirJective 11:34, 28. Apr 2005 (CEST)

• Degen, Some aspects and examples of infinity notions, Math Logic Quarterly 40 (1994) 111-124
• Goldstern, Strongly amorphous sets and Dedekind infinity, Math Logic Quarterly 43 (1997) 39-44
• Howard-Rubin, Consequences of the axiom of choice.
• Jech, Set Theory, Millenium edition.
• Truss, J. K., The structure of amorphous sets. Ann. Pure Appl. Logic 73 (1995), no. 2, 191--233.

Jech erwähnt Dedekind-unendliche Mengen in einer Exercise auf Seite 34. Degen und Goldstern betrachten ein paar spezielle Aspekte von D-(un)endlichen Mengen aber sind vielleicht durch ihre Bibliographie interessant. Truss klassifiziert amorphe Mengen, das sind spezielle Arten von Dedekind-endlichen Mengen. Howard-Rubin listen unzählige Versionen des Auswahlaxioms und unzählige Modelle wo gewisse Implikationen nicht gelten.

Bereits sehr schwache Variante des Auswahlaxioms reichen aus, um zu zeigen, dass jede unendliche Menge eine Kopie der natürlichen Zahlen enthält, und daher Dedekind-unendlich ist, insbesondere countable choice und erst recht DC.

Wuzel 18:38, 16. Mär. 2008 (CET)

Als Ergänzung zur Literatur empfehle ich hier noch das ausgezeichnete Buch

• Herrlich, Axiom of Choice, Lecture Notes in Mathematics Vol. 1876, Springer (2006)

darin hat es ein ganzes Kapitel zum Thema Endlichkeit vs. Dedekind-Endlichkeit und es wird auch untersucht wie stark das "Axiom"

"Endlichkeit = Dedekind-Endlichkeit" in Vergleich mit dem Auswahlaxiom (und schwächeren Varianten davon) ist.

Gruss

--Godfatherofpolka 12:27, 15. Mai 2008 (CEST)

Lemma?

weshalb heisst der Artikel Dedekind-unendlich und im Text wird als Fettsatzlemma Dedekind-Unendlichkeit genannt--217 19:38, 26. Mär 2005 (CET)

Der Artikel heißt "Dedekind-unendlich", weil meiner Meinung nach in diesem Fall das Adjektiv den grundlegenden Begriff beschreibt, und das Substantiv nur davon abgeleitet ist. Der erste Satz verwendet das Substantiv, weil es sprachlich besser passt. Aber du kannst das gerne ändern. "In der Mathematik nennen wir eine Menge Dedekind-unendlich..." Gefällt mir aber nicht. -- Wuzel 18:58, 11. Apr 2005 (CEST)

Quantoren?

Die Aussagen sollten der Klarheit wegen mit Quantoren belegt werden, wie etwa, "Es gibt eine echte Obermenge, so dass ...". Es gibt nämlich auch echte Obermengen, die nicht gleich mächtig sind, z.B. die reellen Zahlen als Obermenge der natürlichen Zahlen. (nicht signierter Beitrag von Hseebauer (Diskussion | Beiträge) )

Ich sehe nicht, wie man das missverstehen kann. "A ist zu einer echten Obermenge gleichmächtig" heißt "es gibt eine echte Obermenge von A, zu der A gleichmächtig ist". Es steht ja "zu EINER" und nicht "zu JEDER".

Man könnte natürlich deutlicher "zu mindestens einer" statt "zu einer" schreiben, aber das wäre meiner Meinung nach schwerer lesbar. Man spricht ja auch den Quantor $\exists x$ üblicherweise als "es gibt ein x" aus, und nur in seltenen Fällen als "es gibt mindestens ein x".

Wuzel 18:23, 16. Mär. 2008 (CET)

Eigene Meinung?

Jedenfalls hab ich das mal wieder ausm Artikel entfernt:

An diese Stelle kann und muss man sich natürlich fragen, in welchem Verhältnis der mathematisch und logische korrekte Taschenspielertrick, dass unendliche Mengen gleichmächtig zu echten Untermengen sind, zur Wirklichkeit steht. In der Realität gibt es keine unendlichen Mengen, d.h. selbst das Universum muss man sich als (im mathematischen Sinne) endlich vorstellen, weil sonst die Physik nicht funktionieren würde. Was bedeuted es aber, wenn Physiker den Begriff der mathematischen Unendlichkeit in ihre Formeln importieren? Sie importieren natürlich all die fraglichen Antinomien, die es in der Physik eigentlich nicht gibt. Man muss sich genau genommen stets vor Augen halten, dass man die reale Welt verlässt, sobald man den hier definierten Unendlichkeitsbegriff verwendet.

von IP 88.77.60... Mmn hat das hier im Artikel und in dieser Form nix verloren und ist weit entfernt von WP:Q und WP:NPOV . --χario 03:11, 15. Jul. 2008 (CEST)

Scheinbar paradox

Soweit ich weiß, bedeutet "paradox" "scheinbar widersprüchlich", dann ist aber "scheinbar paradox" doppelt-gemoppelt. Wie wär's mit "scheinbar widersprüchlich"? DrLemming 00:31, 6. Mär. 2009 (CET)

Text vor REDIRECT

Dedekind-Unendlichkeit ist ein Begriff aus der Mathematik, der eine scheinbar paradoxe Eigenschaft unendlicher Mengen einfängt.

Eine endliche Menge M, etwa mit n Elementen, ist niemals zu einer echten Teilmenge gleichmächtig, d. h. es kann keine bijektive Abbildung von M auf eine echte Untermenge U von M geben. Unendliche Mengen haben diese Eigenschaft sehr wohl, so gibt es etwa von der unendlichen Menge ${\mathbb {N} }=\{0,1,2,3\ldots \}$ der natürlichen Zahlen eine Bijektion f auf die echte Teilmenge der positiven natürlichen Zahlen, nämlich die Abbildung f(n) = n + 1. Dabei bezeichnet n +1 den Nachfolger der Zahl n; die Addition braucht noch nicht erklärt zu sein.

Richard Dedekind nahm diese Eigenschaft als Grundlage einer Definition des Begriffs Unendliche Menge. In moderner Terminologie definiert man:

• Eine Menge M heißt Dedekind-unendlich, wenn sie gleichmächtig mit einer echten Teilmenge ist.
• M heißt Dedekind-endlich, wenn M zu keiner echten Teilmenge gleichmächtig ist.

Man kann (mit den ZF-Axiomen, ohne Auswahlaxiom) beweisen, dass die folgenden Aussagen für jede Menge M äquivalent sind:

1. M ist zu einer echten Teilmenge gleichmächtig (also Dedekind-unendlich).
2. M ist zu einer Menge der Form M \ {m} (mit m in M) gleichmächtig.
3. M ist zu einer echten Obermenge gleichmächtig.
4. M enthält eine Kopie der natürlichen Zahlen, das heißt: es gibt eine injektive Funktion von $\mathbb {N}$ nach M.

Insbesondere ist also die Menge ${\mathbb {N} }$ selbst Dedekind-unendlich, ebenso auch jede Menge, die die natürlichen Zahlen als Teilmenge enthält.

Man kann mit Hilfe des Auswahlaxioms zeigen, dass jede unendliche Menge auch Dedekind-unendlich ist. (Die Tatsache, dass jede Dedekind-unendliche Menge auch unendlich ist – oder äquivalent dazu: dass jede endliche Menge auch Dedekind-endlich ist – kann man mit Hilfe der vollständigen Induktion ohne Verwendung des Auswahlaxioms beweisen.)

Kategorie:Mengenlehre

en:Dedekind-infinite set nl:Dedekind-oneindige verzameling pt:Sistema infinito de Dedekind

--FerdiBf 22:22, 14. Feb. 2011 (CET)