Diskussion:Dirac-Kamm

Hi, kann mir bitte mal ein Nachrichtentechniker bzw. Kommunikationstheoretiker erklären, wie man mit dem Dirac-Kamm abtastet? Wendet man diese Distribution auf ein stetiges Signal an, so kommt die Summe der abgetasteten Werte raus, aber keine Folge von Abtastwerten. Desweiteren, wie genau sieht die Fixpunkteigenschaft aus und warum ist sie nützlich, wenn das nicht erklärt werden kann, ist es besser, diese wegzulassen.--LutzL 10:05, 14. Feb 2005 (CET)

Hat sich erledigt, hab den Artikel nicht genau genug gelesen. Es bleibt: Warum ist die Fourier-Transformation überhaupt definiert, bzw. in welchem Sinne ist sie es? Auch wenn das wieder für Nachrichtentechniker zu mathematisch ist, wer mit dem Dirac-Delta anfängt, muss auch mit Distributionen richtig umgehen.--LutzL 16:02, 14. Feb 2005 (CET)

Ist $T$ eine temperierte Distribution, so kann man über ${\hat {T}}(f):=T({\hat {f}})$ für schwartzsche Testfunktionen $f$ eine Fourier-Transformierte ${\hat {T}}$ definieren. Vgl. hier.--Gunther 13:01, 27. Aug 2005 (CEST)

Sicher, deshalb habe ich ja die Einleitung eine Weile nach meinem Kommentar dementsprechend geändert. Zum Sinn des ganzen Artikels: In der Mathematik werden sog. „Approximationen der Eins“ benutzt, um die Konvergenz der Fourierreihe zu beweisen. Der Grenzwert – im Sinne der temperierten Distributionen – einer Funktionenfolge, die die Eigenschaften einer „Approximationen der Eins“ erfüllt, ist die „Dirac-Kamm“-Distribution. Deshalb kann alles, was der Signaltheoretiker meint mit dem „Dirac-Kamm“ veranstalten zu müssen, viel „schmerzfreier“ über die Identität einer (periodischen, lokal quadratintegrablen) Funktion mit ihrer Fourierreihe erledigt werden. Eine sehr gute Darstellung, über das, was eigentlich gemeint ist, steht in Carl Offner: A little harmonic analysis.--LutzL 08:46, 29. Aug 2005 (CEST)

Oh, tut mir leid, hätte ich nochmal in den Artikel schauen sollen.--Gunther 11:47, 29. Aug 2005 (CEST)

Unverständlich

Hallo. Hier fehlt noch eine verständliche Einleitung. Der erste Satz ist völlig überfrachet. Ich würde mich ja selbst ransetzen, mir fehlt aber momentan die Zeit Ein Bild wäre auch nicht schlecht. Schönen Gruß --Taschenrechner 20:11, 17. Aug 2005 (CEST)

Ich habs mal versucht. Besser so?--Jdiemer 23:48, 5. Sep 2005 (CEST)

Irgendwie ist die Einleitung jetzt so halb doppelt, halb ist unklar, ob es jetzt eine Folge oder eine Reihe oder whatever ist.--Gunther 00:03, 6. Sep 2005 (CEST)

Hast recht. Hab erstma aus Folge Reihe gemacht, ist glaub ich ne Reihe, keine Folge. Vielleicht sollte man diesen Satz von weiter unten (in abgewandelter Form) mit in die Einleitung ziehen: "Anschaulich ist der Dirac-Kamm also aus unendlich vielen Dirac-Stößen zusammengesetzt, die im Abstand T zueinander stehen."--Jdiemer 10:45, 6. Sep 2005 (CEST)

Ich habe mal einen neue Einleitung geschrieben und ein hübsches Bild gezeichnet. --Taschenrechner 15:54, 6. Sep 2005 (CEST)

Prima, gefällt mir gut.--Jdiemer 18:14, 6. Sep 2005 (CEST)

Normierung der Fourier-Transformation

Man sollte noch irgendwo erwähnen, welche Normierung der Fourier-Transformation verwendet wird, die Vorfaktoren im englischen Artikel sind anders.--Gunther 12:47, 27. Aug 2005 (CEST)

Erledigt. Es scheint sich hier die FT nach der Kreisfrequenz als Konsens durchgesetzt zu haben - einfacher aufzuschreiben, häßlicher in den Eigenschaften (insb. Faltung)--LutzL 12:57, 7. Sep 2005 (CEST)

Abtastung

Wenn man die Definition aus dem Delta-Distribution-Artikel nimmt, ist

$\Delta _{T}(x)f(x)$

beim besten Willen nicht die Funktion, welche bei n*T den Wert f(n*T) annimmt und sonst 0. Denn $\delta (x-nT)$ ist bei x=n*T "gleich" $\infty$ und somit auch die multiplizierten Funktionswerte, oder?

Das sind zwei verschiedene Operationen: Die Anwendung der Distribution auf eine Testfunktion und die Multiplikation der Distribution mit einer glatten Funktion. Einmal kommt eine Zahl raus, das andere mal wieder eine Distribution. Also

$\Delta _{T}(x)f(x)=\sum _{k\in \mathbb {Z} }f(x)\delta (x-kT)=\sum _{k\in \mathbb {Z} }f(nT)\delta (x-kT)$

und

$\Delta _{T}(\phi )=\langle \Delta _{T},\phi \rangle =\sum _{k\in \mathbb {Z} }\langle \delta _{kT},\phi \rangle =\sum _{k\in \mathbb {Z} }\phi (kT)$.

Wie man sieht werden dabei auch die Notationen durcheinandergewürfelt, in der Mathematik vermeidet man den direkten Ortsbezug und schreibt $\delta _{kT}:{\mathcal {D}}'(\mathbb {R} )\to \mathbb {R}$, in der "angewandten" Literatur wird eine pseudo-Funktionsschreibweise verwendet, $\delta (x-kT)$, die jedoch irreführend ist, wenn man nicht ständig sich vor Augen hält, dass damit eine approximierende Folge des Dirac-Delta gemeint ist und es viele approximierende Folgen mit verschiedenen, teilweise inkompatiblen Eigenschaften gibt.--LutzL 10:50, 11. Sep 2006 (CEST)

Danke für die Antwort. Tut mir Leid, hab dich leider immer noch nicht ganz verstanden. Du hast die Reihenfolge der Formeln vertauscht; d.h. das 2. ist die Anwendung der Distribution auf eine Testfunktion, oder?

Um die Zahl $\sum _{k\in \mathbb {Z} }\phi (kT)$ geht es mir sowieso nicht, nur um die Abtastung. Am "einfachsten" wäre es doch, $\delta$ als (echte) Funktion zu definieren, die für x=0 1 und sonst 0 ergibt. Dann wäre ja auch alles Weitere sinnvoll, insb. $\Delta _{T}(x)f(x)=\sum _{k\in \mathbb {Z} }f(x)\delta (x-kT)=\sum _{k\in \mathbb {Z} }f(nT)\delta (x-kT)$ ein "Sampling" von f. Z.T. ist auch das für eine "diskrete" Delta-Funktion angegeben; die oberste Grafik sieht zumindest danach aus.

Die mit Faktor versehene Distribution ist diejenige, die jeder Testfunktion den Wert $\textstyle \langle \Delta _{T}f,\phi \rangle =\sum _{n\in \mathbb {Z} }f(nT)\phi (nT)$ zuordnet. Genauer kann man das nicht definieren, anschaulich eh nicht, da ein Impuls der Höhe unendlich eben nicht einfach skaliert werden kann.

Das Integral über die "Delta-Funktion" soll ja weiterhin 1 betragen, deshalb funktioniert Dein Vorschlag nicht. Man kann die Delta-Distribution durch eine enge Nadelfunktion mit Fläche 1 ersetzen; wenn f nicht zu stark oszilliert ist der Fehler klein. Die Grafiken sind extrem missverstehbar.--LutzL 09:31, 13. Sep 2006 (CEST)

Überarbeitungsvorschlag

Mein Vorschlag zur Überarbeitung des Artikels zum Dirac-Kamm lautet:

Analog zum Artikel Delta-Funktion Zweiteilung: Teil 1: Anschauliche Version Teil 2: Mathematisch korrekte Definition, z.B. mit Rückgriff auf Artikel Delta-Funktion dann einfach: $\Delta _{T}:=\sum _{k=-\infty }^{\infty }\delta _{kT}$

Begründung: Bislang ist der Artikel zum Dirac-Kamm mathematisch nach meinem Verständnis einfach nicht korrekt...