Diskussion:Exponentialverteilung

Einheit

Warum hat der Parameter μ keine Einheit? Er hat doch die Dimension 1/Zeit. Wenn man die Einheit weglässt und dann für t eine Zeit einsetzt, kommt Quatsch raus. Mögen die Statistiker keine Einheiten? Lg --141.20.6.65 13:49, 23. Jul. 2015 (CEST) Pascal

Beziehung zur Poisson-Verteilung

Hallo,

ich würde diesen Abschnitt abändern zu

Die Zeitdifferenzen zwischen dem Eintreten seltener Ereignisse können häufig mit der Exponentialverteilung beschrieben werden. Insbesondere gilt, daß der zeitliche Abstand zwischen zwei aufeinanderfolgenden $\operatorname {Poi} (\lambda )$ Poisson-verteilten Ereignissen $\operatorname {Exp} (1/\lambda )$ exponentialverteilt mit dem Parameter $1/\lambda$ ist.

Herleitung: Wegen der Gedächtnislosigkeit können wir uns ohne Einschränkung auf den Nullpunkt zurückziehen. Zum Zeitpunkt $t_{0}=0$ trete ein Ereignis auf. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit $P_{\lambda }(t)$ für das Auftreten eines weiteren Ereignisses nach der Zeit $t$?

Die Zufallsvariable, die abhängig von der Zeitachse die Anzahl der bisher eingetretenen Ereignisse aufsummiert, ist Poisson-verteilt. Die Wahrscheinlichkeit, dass bis zum Zeitpunkt $t$ kein Ereignis auftritt, beträgt somit

$P_{\lambda }(0)={\frac {(\lambda t)^{0}\cdot e^{-\lambda t}}{0!}}=e^{-\lambda t}$

Die Verteilungsfunktion des zeitlichen Abstandes ist also $1-P_{\lambda }(0)=1-e^{-\lambda t}$, also genau die Exponentialverteilung. OlafsWissen 13:48, 19. Apr. 2007 (CEST)

Es steht im zweiten Satz von diesem Abschnitt, dass der Parameter der Exponentialverteilung 1 / λ sei. Der Paramter müsste aber doch λ sein, und nicht 1 / λ. Unter anderem steht im Artikel der Poisson-Verteilung [1], dass der Parameter der Exponentialverteilung g ist, wobei durch λ = g*w gegeben ist. Und da w ja meist gleich 1 ist, ist λ = g. Sehe ich das richtig, oder irre ich mich? --Vilietha 20:07, 9. Jan. 2011 (CET)

Habe die Änderung nun vorgenommen. Wäre nett, wenn jemand diese geänderte Version sichten könnte. --Vilietha 21:33, 11. Jan. 2011 (CET)

Ich schlage vor, bei den Artikeln über die Erlang Verteilung und die Exponentialverteilung, die beide mit der Poissonverteilung zusammenhängen, aus Konsistenzgründen die Bezeichnung des Parameters lambda durch g zu ersetzen. lambda bedeutet bei Poisson eine dimensionslose Zahl, während lambda bei den andern beiden Verteilungen als Zahl pro Einheitsintervall definiert ist. Das gleiche Zeichen steht für Ausdrücke unterschiedlicher Dimension. Das führt zu Verwirrung, mindestens an den Stellen, wo beide Ausdrucksweisen in Verbindung gebracht werden ( z.B. Beziehung der Exponentialverteilung zur Poissonverteilung). g wäre dann einheitlich zu verstehen als Zahl der Ereignisse pro Einheitsintervall. Gruss --131.220.161.244 12:07, 26. Sep. 2011 (CEST)

Gesichtet, müsste aber noch in den Grafiken geändert werden... --Maggus989 20:15, 9. Okt. 2011 (CEST)

Gedächtnislosigkeit

Ich würde gerne noch die Eigenschaft

• Gedächtnislosigkeit: P(X >= x + t | X >= x) = P(X >= t).

ergänzen, kenne mich aber mit TeX zu wenig aus. 82.82.120.218 20:10, 9. Jan 2004 (CET)

Meinst du $P(X\geq x+t\,|\,X\geq x)=P(X\geq t)$? – Hokanomono|Diskussion 02:52, 10. Mai 2004 (CEST)

Beispiel

Da mich jemand bei der Gammaverteilung um ein Beispiel gebeten hatte, habe ich ihn auf die Exponentialverteilung verwiesen. Hoffentlich ist das Beispiel nicht zu kindisch. --Philipendula 01:44, 15. Mai 2004 (CEST)

Beispiel Lambda

Habe das Beispiel noch ergänzt. Könnte jemand die Interpretation von Lambda mal überfliegen, ob sie sachlich richtig ist? --Philipendula 12:46, 15. Mai 2004 (CEST)

Ja, und wo sind jetzt die Kugeln? ;-) --DaTroll 12:48, 15. Mai 2004 (CEST)

Sind zu Weckern verarbeitet worden! --Philipendula 00:03, 16. Mai 2004 (CEST)

Schreibweise: Exponenzialverteilung

Danke, Weialawaga! --Philipendula 23:13, 29. Aug 2004 (CEST)

äußere das doch bitte auch auf Wikipedia Diskussion:Rechtschreibung. Dank und Gruß, Weialawaga 23:50, 29. Aug 2004 (CEST)

Übrigens schreibt man Exponentialverteilung auch nach Neuem Duden mit t (weil es von Exponent kommt?). --Philipendula 11:17, 30. Aug 2004 (CEST)

Im Artikel steht immer noch Exponenzialverteilung. Meines Erachtens ist dies falsch, wie oben schon von Philipendula aufgezeigt. Gibt es seriöse Quellen, die diese Schreibweise verwenden? Ansonsten werde ich diese Schreibweise löschen. --Squizzz 23:33, 19. Jul 2006 (CEST)

Erledigt. Alle Vorkommen von exponenz... gelöscht bzw. korregiert. --Squizzz 14:18, 27. Jul 2006 (CEST)

kumulierte Verteilungsfunktion

Muss der Integral bei der kumulierte Verteilungsfunktion nicht von 0 bis x verlaufen?

Nein, denn

$F(x)=P(X<x)=\int _{-\infty }^{x}\,f_{\lambda }(t){\rm {d}}t=\int _{-\infty }^{0}0\cdot {\rm {d}}t+\int _{0}^{x}\lambda {\rm {e}}^{-\lambda x}{\rm {d}}t=0+1-\mathrm {e} ^{-\lambda x}.$

Gruß --Philipendula 16:28, 23. Mai 2005 (CEST)

Beziehung zur stetigen Gleichverteilung

Muss die Gleichung nach dem Transformationssatz nicht so lauten: $Y=-{\frac {1}{\lambda }}\ln(X)$? Sonst bekommt man doch kein negatives Vorzeichen im Exponenten bei der resultierenden Exponentialverteilung-oder? Antwort: Danke für die Rückmeldung, hab es bei beiden Verteilungen geändert.

Bearbeitungskonflikt:

Es ist $Y=-{\frac {1}{\lambda }}\ln(1-X)$ die Umkehrfunktion der Exponentialverteilung, die man bei Inversionsmethode verwendet, bei der man exponentialverteilte Zufallsvariablen erzeugt. Inwieweit es sinnvoll ist, die Umkehrfunktion jeder stetigen Verteilung auf die Gleichverteilung zu beziehen, ist eh fraglich. --Philipendula 12:44, 16. Jun 2006 (CEST)

Gedächtnislosigkeit im Gegensatz zu Lebensdauer von Lebewesen

Bekanntlich ist ein wichtiges Charakteristikum der Exponentialverteilung die Gedächtnislosigkeit. Aber grade diese passt nicht zu einigen Anwendungsbeispielen, die oben im Artikel angeführt sind. Beispielsweise kann man nicht die Lebensdauer von Lebewesen durch diese Verteilung ausdrücken, wie es in den Unterabschnitt "Anwendungsbeispiele" steht:

"Auf Lebewesen darf ebenfalls keine Exponentialverteilung angewendet werden, sonst wäre zum Beispiel die Wahrscheinlichkeit, dass ein Achtzigjähriger noch weitere fünfzig Jahre lebt, genauso hoch wie die, dass ein Neugeborener das fünfzigste Lebensjahr erreicht."

Also, habe ich jetzt was falsch verstanden oder ist das obige Beispiel falsch?!

Ich halte die Beispiele auch für verkehrt. Bzw. es fehlt ein Hinweis darauf, daß es sich um stark simplifizierte Modelle handelt. Auch die Telefongesprächsdauer halte ich nicht für Exponential-Verteilt: Wenn meine Freundin schon 10 Minuten quatscht stelle ich mich schonmal auf ein längeres Gespräch ein und fang an Kommentare in die Wikipedia zu schreiben.

Aufleitung der Verteilungsdichte

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Die Verteilungsfunktion ist doch die Aufleitung der Verteilungsdichte,stimmt diese Verteilungsfunktion?

aus: λe^(-λx)

sollte Aufgeleitet dies Folgen: 1-e^(-λx) WIE? Woher kommt die 1.? Sicher das die Verteilungsfunktion stimmt,oder hab ich da was falsch verstanden? obiger Beitrag ist von 17:26, 23. Mär. 2007 84.184.48.48

Schau mal unter Stammfunktion; es gibt nicht die eine eindeutige Stammfunktion. Sie ist nur eindeutig bis auf eine Konstante. Unter Wahrscheinlichkeitsverteilung findest Du die Normierung der Konstanten. Man setzt $F(x)=\int _{-\infty }^{x}f(y)\,dy$. Somit kommt man auf

$F(x)=\int \limits _{-\infty }^{x}f_{\lambda }(t)\ {\rm {d}}t={\begin{cases}\displaystyle \int \limits _{0}^{x}f_{\lambda }(t)\ {\rm {d}}t=1-\mathrm {e} ^{-\lambda x}&x\geq 0\\0&x<0\end{cases}}$.

Beachte auch die Stetigkeit im Nullpunkt. Vom logischen Standpunkt würde ich aber von der Verteilungsfunktion ausgehen, und die Verteilungsdichte als deren Ableitung definieren.OlafsWissen 13:05, 19. Apr. 2007 (CEST)

Beziehung zum Power Law

Ich bin kein Experte auf diesem Gebiet, aber wie genau sieht der Zusammenhang dieses Artikels zu Potenzgesetz (Statistik) aus? Sollte man da nicht einen Link setzen? -- Martin de la Iglesia 19:12, 26. Jul. 2007 (CEST)

Negative Exponentialverteilung

Könnte jemand diesen Punkt auch noch aufnehmen? (nicht signierter Beitrag von 141.20.212.164 (Diskussion | Beiträge) 14:50, 26. Mär. 2010 (CET))

Schätzer

Vielleicht sollte man noch erwähnen, wie man die Parameter schätzen kann?Oder lässt man das bei Verteilungen generell außen vor?--Maggus989 13:03, 12. Dez. 2010 (CET)

Lambda

Warum wurde Lambda in sämtlichen Gleichungen durch g ersetzt? In der Literatur ist mir bisher immer Lambda begegnet - gibt es einen bestimmten Grund für das g? (nicht signierter Beitrag von 141.113.86.94 (Diskussion) 07:54, 1. Feb. 2012 (CET))

+1 Halte g ebenfalls für eine ungeschickte Bezeichung. Oben wird behauptet, dass lambda mit der Bezeichnung der Poisson-Verteilung kollidiert. Ganz kann ich das zwar nicht nachvollziehen, aber kann schon sein. Ich wäre dann eher für alpha als Parameter. -- HilberTraum 21:13, 8. Feb. 2012 (CET)

+1 --Maggus989 23:19, 10. Feb. 2012 (CET)

Ich würd's schon ändern, aber am liebsten nur einmal ;-) also sollte man sich vielleicht lieber vorher einigen, ob lambda oder alpha.

Ich habe jetzt wieder $\lambda$ als Bezeichnung genommen. Ausschlaggebend dafür waren die Artikel Poisson-Prozess und Ausfallrate, außerdem müssen dann die Grafiken nicht geändert werden. Ich werde nach und nach die restlichen Verteilungsartikel auf Konsistenz prüfen.-- HilberTraum 12:37, 21. Feb. 2012 (CET)

Dann wird man allerdings mit dem Problem der unterschiedlichen Dimensionen, was zu Verwirrung führen kann, leben müssen. Vgl. Dimension $\lambda _{Poisson}$ = reelle Zahl und $\lambda _{Exponentialvert}=x^{-1}$ (Rate) Gruss --78.49.71.87 13:02, 25. Feb. 2012 (CET)

Momentan wird die Rate in so gut wie allen Artikeln $\lambda$ genannt. Wenn man mehr Einheitlichkeit will, was in der Wikipedia naturgemäß sehr schwer ist, wäre es vielleicht am geschicktesten, den Parameter der Poisson-Verteilung umzubenennen (in $\alpha$?) Oder doch mit der unterschiedlichen Bedeutung leben. Was meinst du? -- HilberTraum 14:23, 25. Feb. 2012 (CET)

Mit der unterschiedlichen Bedeutung leben, finde ich schwierig, weil die diskreten Verteilungen dimensionslos sind und die kontinuierlichen mit einer Dimension behaftet sind, und dieser Unterschied sollte sich in der Bezeichnung schon wider spiegeln. Besonders dort, wo die Verteilungen eng zusammenhängen, wie bei Poisson und Erlang/Exponential. Vielleicht könnte man bei Poisson ein grosses $\Lambda$ nehmen. Dann würde sich $\Lambda$ als dimensionslose Zahl auf das jeweils betrachtete Intervall beziehen (nicht notwendigerweise gleich Einheitsintervall), während $\lambda$ immer die auf das Einheitsintervall bezogene Rate bezeichnet.--78.49.71.87 16:23, 25. Feb. 2012 (CET)

Ich habe nun bei der Poissonverteilung noch eine Erläuterung zu lambda_poisson hinzugefügt. Dann kann man es meinetwegen bei lambda in mehreren Verteilungen in unterschiedlichen Bedeutungen belassen.--131.220.161.244 12:33, 27. Feb. 2012 (CET)

Frage: Hat $\lambda$ eine Dimension? Die Formel für die Entropie impliziert: nein. Dann folgt daraus, dass auch die Zufallsvariable $x$ in der Verteilungsfunktion dimensionslos sein muss. Wie verträgt sich das mit der Interpretation von $x$ als räumlichem oder zeitlichem Abstand? --78.49.10.210 13:04, 4. Aug. 2013 (CEST)

Interessante und tiefliegende Frage, ich versuche mal eine Antwort:

Die Dimension von $\lambda$ ist immer der Kehrwert der Dimension von $x$. Ist also z. B. $X$ eine zufällige Wartezeit, dann hat $\lambda$ die Einheit 1 s⁻¹. Das Problem ist die Entropie: Hier ist die en:Differential entropy gemeint, die sich aber nicht als physikalische Größe interpretieren lässt und nur sinnvoll ist, wenn $x$ und damit auch $\lambda$ einheitenlose Größen sind. -- HilberTraum (Diskussion) 14:34, 4. Aug. 2013 (CEST)

Anwendungsbeispiel

Will man wie für 20 Tage berechnen, welcher Anteil an Weckern nach einem Tag kaputt ist, erhält man:

$1-\mathrm {e} ^{-0{,}005\cdot 1}=0{,}004987\neq 0{,}005$

Was kein Rundungsfehler ist.

Gemäß dem Text muss $\lambda =-\ln(1-0,005)$ sein.

$\ln(1+x)\approx x$ für kleine $x$, gleich ist das aber nicht. (nicht signierter Beitrag von 2003:C9:2701:9906:9CE4:C505:4D77:D889 (Diskussion) 07:43, 8. Feb. 2021 (CET))