Diskussion:Forcing

generelle Unstrukturiertheit

Ich denke nicht, daß der Artikel Nicht-Experten die Forcing-Methode erläutern kann. Auf der einen Seite werden zuviele Details erwähnt (Größtes Element der Bedingungsmenge, Unterschiedliche Konventionen incl. dem Beispiel mit pi, die Erwähnung der transfiniten Rekursion, etc.) auf der anderen Seite wird das zentrale Objekt, nämlich das Modell M[G], noch nicht einmal erwähnt, und die in der Einleitung angekündigte Anwendung fehlt ebenfalls. Desweiteren ist das Beispiel für eine Bedingungsmenge wenig hilfreich, da es eher untypisch für die partiellen Ordnungen ist, die in der Methode häufig verwendet werden.

Insgesamt wirkt der Text ziemlich unstrukturiert, was auch daran liegen mag, daß er in weiten Teilen eine stark gekürzte Übersetzung des Textes aus der englischen Wikipedia ist. Meiner Meinung nach sollte er einer "Generalrevision" unterzogen werden. Andere Meinungen? --SnowIsWhite 15:58, 25. Jun. 2009 (CEST)

Habe die Seite komplett neu bearbeitet. Begründung siehe oben. Werde in Zukunft noch die Ergänzungen zum Produkt- und iterierten Forcing hinzufügen. --SnowIsWhite 22:23, 25. Nov. 2009 (CET)

Lemma

Spricht etwas gegen eine Verschiebung nach Erzwingung? Es ist immer etwas komisch, wenn deutsche Begriffe existieren, wir in der deutschen Wikipedia aber trotzdem den englischen Begriff verwenden. Erzwingung ist gebräuchlich und verständlich. 85.179.70.64 01:14, 13. Nov. 2011 (CET)

Forcing ist der weitaus gebräuchlichere Begriff. Deswegen sollte man das Lemma auch so lassen. Gegen eine Weiterleitung von Erzwingungsmethode auf Forcing spricht aber nichts. Gruß, --SnowIsWhite 01:21, 13. Nov. 2011 (CET)

Filter

Ein Filter ist in der Artikel Filter (Mathematik) nur auf halbgeordneten Mengen definiert. Wie ist der Begriff auf quasigeordnete Mengen verallgemeinert? Andres (Diskussion) 14:04, 24. Sep. 2012 (CEST)

Im Prinzip genauso. Kunen, Set Theory, schreibt auf S. 53, Definition 2.4 als Bedingung dafür, dass $G\subset \mathbb {P}$ ein Filter ist:

(a) $\forall p,q\in G\ \exists r\in G\ (r\leq p\wedge r\leq q)$, and

(b) $\forall p\in G\ \forall q\in \mathbb {P} \ (q\leq p\rightarrow q\in G)$.

Danke! Andres (Diskussion) 22:40, 24. Sep. 2012 (CEST)

Du meinst wohl $\forall p\in G\ \forall q\in \mathbb {P} \ (p\leq q\rightarrow q\in G)$? @Andres Quasiordnungen machen so gut wie keinen Unterschied, das sind einfach Halbordnungen, bei denen einige Elemente „gleich groß“ sein dürfen, das kannst du rausfaktorisieren und interessante Eigenschaften ändern sich nicht. --Chricho ¹ ² ³ 02:53, 18. Okt. 2012 (CEST)

Bei Kunen steht es genau so, wie ich es geschrieben habe, aber da hat sich natürlich ein Druckfehler eingeschlichen. --Digamma (Diskussion) 21:57, 18. Okt. 2012 (CEST)

Transitivität keine Einschränkung wegen des Mostowski-Kollaps?

Das ist mir nicht klar, wie wir das damit zeigen sollen. Mit dem Mostowski-Kollaps können wir ja nur zeigen, dass jedes fundierte Modell isomorph zu einem transitiven Modell ist. Ein Modell der Mengenlehre muss aber ja auch mit Fundierungsaxiom nicht fundiert sein, wie man leicht mittels Kompaktheitssatz zeigen kann, gibt es nicht-fundierte Modelle, wenn es überhaupt Modelle gibt. Die unendliche Kette verschachtelter Mengen ist dann eben der Objektsprache nicht zugänglich, eine echte Klasse, weshalb kein Widerspruch zum Fundierungsaxiom besteht. Das heißt, es bräuchte noch ein Argument, dass jedes Modell elementar äquivalent zu einem fundierten Modell ist – ist das denn überhaupt der Fall? --Chricho ¹ ² ³ 03:00, 18. Okt. 2012 (CEST)

Kurzer Antwortversuch: Bei dem Zugang, den ich kenne und der in Kunen beschrieben wird, ist $M$ kein Modell im modelltheoretischen Sinn, sondern ein inneres Modell: In $M$ gelten alle Relativierungen der ZFC-Axiome nach $M$. Kunen diskutiert in Ch. IV § 9 und 10 auch Modelle im Sinn der Modelltheorie. --Digamma (Diskussion) 22:05, 18. Okt. 2012 (CEST)

Ich dachte, bei einem inneren Modell wäre Transitivität ohnehin gegeben? Bin mit dem Begriff aber nicht vertraut, wo finde ich eine Definition? --Chricho ¹ ² ³ 23:03, 18. Okt. 2012 (CEST)

Siehe bei Kunen S. 112, Definition 2.1 und 2.2. Ich bin mir nicht sicher, ob ein inneres Modell von ZF in diesem Sinne automatisch transitiv ist. Erlaubt man, = und $\in$ durch beliebige Formeln zu interpretieren, kann man jedenfalls innere Modelle erhalten, die nicht transitiv sind. Bei Kunen finde ich da auf die Schnelle nichts zu, aber so ist der Ansatz bei Shoenfield, Mathematic Logic, S. 260 ff. Grüße--Schreiber ✉ 23:55, 18. Okt. 2012 (CEST)

Vielleicht mache ich da einen Denkfehler, aber man müsste Transitivität eines inneren Modells doch einfach so zerstören können, dass man zu irgendeiner enthaltenen Menge eine nicht enthaltene Menge zufügt. Grüße--Schreiber ✉ 00:09, 19. Okt. 2012 (CEST)

Ich war zu oberflächlich bei meinem Antwortversuch. Die Frage bezog sich ja gerade auf den Teil in dem Abschnitt, wo von einem Modell von ZFC im Sinn der Modelltheorie ausgegangen wird. Kunen äußert sich auch dazu (Ch IV, § 9, p. 124f.), aber so ganz verstehe ich nicht, was er schreibt. --Digamma (Diskussion) 18:04, 20. Okt. 2012 (CEST)

Hm, in dem Zugang den ich kenne (z.B. bei Hinman, Fundamentals of Mathematical Logic, S. 578) ist die Menge M ein inneres Modell. Es werden dann nicht direkt die Sätze von Löwenheim-Skolem und Mostowski verwendet, sondern entsprechende Formalisierungen für innere Modelle. Mir ist nicht klar, wie Kunen das meint.--Schreiber ✉ 19:45, 20. Okt. 2012 (CEST)

Du meinst vermutlich einen der Zugänge, die Kunen in Ch VII, §9 (p. 232ff.) beschreibt? Die Zugänge, mit denen ich vertraut bin, sind (1a) (das ist der zweite hier beschriebene) und (1b) (mit "M" statt "c"). --Digamma (Diskussion) 20:26, 20. Okt. 2012 (CEST)

Ah okay, verstehe, ich kannte nur (1b). Mich verwirrt dann allerdings, dass bei einem Modell im modelltheoretischen Sinn die Transitivität anscheinend nicht automatisch gegeben ist. Wie soll denn ein nicht-transitives Modell aussehen? (also rein formal wenn man das als Menge plus ein paar Relationen/Funktionen betrachtet, mir ist klar wie ein nicht-transitives inneres Modell aussieht) @Chricho: Zu deiner Frage habe ich gerade gesehen: Modelle ohne elementar äquivalentes fundiertes Modell sind z.B. solche, in denen eine arithmetische $\Sigma _{1}$-Aussage gilt, die in $\mathbb {N}$ falsch, aber in ZFC nicht widerlegbar ist (Kunen, S. 145).--Schreiber ✉ 21:16, 20. Okt. 2012 (CEST)

Transitivität-Link falsch?

Hallo. Ich weiß nicht genau, was ein transitives Modell ist. Ich vermute aber, dass der Link Transitivität (Mathematik) nicht das ist, was gemeint ist, weil dieser Artikel fast nur transitive binäre Relationen beschreibt. Am Ende steht zwar kurz, was eine transitive Menge ist, aber ich vermute, dass diese Definition nicht ganz korrekt ist. Das ist aber wiederum ein Thema für den Transitivitätsartikel. Viele Grüße, --Cosine (Diskussion) 11:15, 14. Nov. 2012 (CET)

Ja, der Link war falsch. Habe einen Rotlink gesetzt. In der Mengenlehre gibt es noch einen eigenen Transitivitätsbegriff: Eine Klasse heißt transitiv, wenn jedes Element Teilmenge ist. Siehe Mostowski-Kollaps. --Chricho ¹ ² ³ 11:22, 14. Nov. 2012 (CET)

ZFC

Man beginnt zu lesen und ab "ZFC" im ersten Absatz des Haupttextes fehlt die Begriffserklärung von ZFC. Dann ist für den Normalsterblichen kein weiteres Verständnis mehr möglich. Schade. (nicht signierter Beitrag von 92.73.31.234 (Diskussion) 20:43, 21. Okt. 2013 (CEST))

Ich habe mal einen Link eingefügt. Hilft das weiter? --Digamma (Diskussion) 21:15, 21. Okt. 2013 (CEST)

Forcing#Anwendung: Unbeweisbarkeit der Kontinuumshypothese - Ausführlichere Darstellung

Erstmal danke für die ausführlichere und klarere Darstellung in der heutigen Änderung. Ich halte aber den Satz

Die Idee ist nun, stattdessen in einer Modellerweiterung $|\omega _{2}|\leq 2^{|\omega |}$ zu demonstrieren und zwar, indem man eine Injektion von der großen Menge $\omega _{2}$ in den Funktionenraum $2^{\omega }:=\omega \to 2$ konstruiert.

zumindest für irreführend wenn nicht für falsch. Er erweckt den Eindruck, dass die Kontinuumshypothese dadurch ungültig gemacht wird, indem $\omega _{2}$ kollabiert wird (also kleiner wird). Dem ist aber nicht so. $\omega _{2}$ ist absolut für die Erweiterung. Es werden vielmehr $\omega _{2}$ viele neue Teilmengen von $\omega$ dem Modell hinzugefügt, so dass $2^{\omega }$ größer wird, nämlich so groß wie $\omega _{2}$. (Man könnte statt $\omega _{2}$ auch jede andere Kardinalzahl größer als $\omega _{1}$ nehmen, dann hätte $2^{\omega }$ in der generischen Erweiterung die entsprechende Kardinalität.) --Digamma (Diskussion) 18:52, 2. Dez. 2014 (CET)

Ich habe es selbst überarbeitet. Vielleicht kann nochmal jemand drüber schauen. --Digamma (Diskussion) 20:03, 5. Dez. 2014 (CET)