Diskussion:Fundierungsaxiom

kleiner Fehler ?

Muss da nicht heißen:

Es gibt kürzere Formulierungen des Fundierungsaxioms, bei denen $\,{B}$ als Allklasse interpretiert und aus der Formel eliminiert wird, zum Beispiel folgende Fassung:

$\forall T:(T\neq \varnothing \implies \exists x\in T:(\{x\}\cap T)=\varnothing )$

weil sonst ist das doch nicht dasselbe wie der erste Term!? Kann sein, das die Quotierung dem Autor einen Strich durch die Rechnung gemacht hat, weil { als \{ geschrieben werden muss, wenn math an ist !?? Mit der bitte um Durchsicht --83.133.127.108 21:00, 21. Feb. 2009 (CET)

Die Formel im Artikel ist vollkommen korrekt. Dagegen ist der Änderungsvorschlag sinnlos, da $(\{x\}\cap T)=\varnothing$ nichts anderes bedeutet als $x\notin T$, und damit wäre die Existenzbedingung unsinnig.--Wilfried Neumaier 21:30, 22. Feb. 2009 (CET)

x in x

Es heisst hier: Alle Klassen $\,x$ mit der Bedingung $x\in x$ sind also in fundierten Mengenlehren keine Mengen, sondern echte Klassen. Im Artikel erwähnte Mengenlehren (und die sind fundiert) sind NBG und ZFC - und da ist alles, was links vom "$\in$" steht definitiv keine echte Klasse. Es gibt also gar keine Klasse (weder echt noch unecht) mit $x\in x$. Die Aussage wird dadurch trivialerweise wahr, aber das ist ja wohl nicht gemeint. Gibt es andere (fundierte) Mengenlehren, bei denen echte Klassen links vom $\in$ stehen dürfen? Und wie sind dort "echte Klassen" dann überhaupt definiert?--Hagman 17:26, 12. Jan. 2008 (CET)

1. Solche Mengenlehren gibt es, zum Beispiel die Ackermann-Mengenlehre. Ich verweise hierzu auf Oberschelp: Allgemeine Mengelehre, 1994. Dieses Buch, das auf einer allgemeinen axiomatischen Klassenlogik aufbaut, gibt m.E. den modernsten und zugleich den flexibelsten Stand wider und diskutiert in der historischen Einführung ausführlich diverse Mengenlehren, und zwar relativ anschaulich und vor allem mit guten Quellenangaben (es ist billig übers Internet zu bekommen).

2. Echte Klassen wurden im Artikel Klasse (Mengenlehre) als Klassen, die keine Mengen sind, definiert. Diese Definition ist üblich und allgemeingültig, nämlich übertragbar auf beliebige Mengenlehren; ihr Inhalt ist aber dann jeweils von den gewählten Mengenaxiomen abhängig. Dagegen wäre eine Definition der echten Klassen als Nichtelemente, wie sie in NBG möglich wäre, nicht übertragbar auf andere Mengenlehren. --Wilfried Neumaier 18:09, 12. Jan. 2008 (CET)

Die englische Seite enthält richtigerweise den Hinweis, dass das Fundierungsaxiom keineswegs in der Lage ist, Mengen zu verhindern, die sich selbst enthalten: Entweder, die anderen Axiome der Mengenlehre postulieren die Existenz solch einer Menge, oder sie tun es eben nicht, aber kein Axiom kann irgendetwas verhindern. Ich bin dafür, die entsprechende Bemerkung in diesem Artikel einfach zu streichen. 129.13.186.3 17:23, 27. Jan. 2009 (CET)

Ich finde im englischen Artikel keine solche Aussage, sondern im Gegenteil folgende: "no set is an element of itself" . Wie es soll es dann Mengen geben die sich selbst enthalten?--Wilfried Neumaier 00:01, 28. Jan. 2009 (CET)

Das habe ich ja auch gar nicht behauptet. Allerdings gebe ich zu, aus der englischen Seite etwas zu viel herausgelesen zu haben. Das Problem ist, dass ich sonst keine Quelle habe, anhand derer ich mein Argument belegen könnte; deshalb muss Logik reichen. :-) Ich versuche mal, es anders auszudrücken: Angenommen, aus den sonstigen Axiomen von ZF(C) könnte man die Existenz einer Menge ableiten, die sich selbst enthält. Dann könnte das Fundierungsaxiom nicht "im Nachhinein" diese Menge wieder ausschließen. Im Gegenteil: Würde man dann das Fundierungsaxiom hinzufügen, wäre das entstandene System inkonsistent und würde alle Sätze beweisen. In dem anderen Fall, also falls man die Existenz solch einer Menge aus den sonstigen Axiomen nicht ableiten kann, treten die genannten Paradoxe aber ohnehin schon nicht auf, unabhängig davon, ob man das Fundierungsaxiom hinzufügt oder nicht. Speziell meinte ich auf der englischen Seite übrigens den Abschnitt "Regularity does not resolve Russell's paradox", der zwar nicht genau meine Aussage enthält, aber immerhin: "In fact, if the ZF axioms without Regularity were already inconsistent, then adding Regularity would not make them consistent." (Im deutschen Text ist nicht explizit von Inkonsistenz die Rede, aber genau das ist ja das Problem mit der Allmenge oder der Menge der Ordinalzahlen.) 129.13.186.4 12:58, 3. Feb. 2009 (CET)

Das ist richtig. Genauer gelten folgende Punkte:

Punkt 1: Mengen, die sich selbst enthalten, erzeugen an sich kein Paradoxon, und sind zum Beispiel in der Zermelo-Mengenlehre von 1907/8 ausdrücklich vom Autor zugelassen. Daher hat sein Fundierungsaxiom überhaupt nichts mit Verhindern von Paradoxien zu zu tun. Die Russellsche Klasse und die Allklasse sind in ZF auch ohne Fundierung echte Klassen; das ist ein Folge des Aussonderungsaxioms. Das Fundierungsaxiom identifiziert nur beide Klassen. Dadurch wird der Nachweis von 'K in K' zum vereinfachten Nachweis einer echten Klasse K. Ohne Fundierungsaxiom wäre das aber kein gültiger Schluss.

Punkt 2: Die Annahme, ZF wäre inkonsistent, ist fiktiv. Sie gehört nach den Gödelschen Unvollständigkeitssätzen zu den unentscheidbaren Sätzen. Niemand war daher bisher in der Lage, einen Widerspruch abzuleiten und wird es auch nicht sein können, weil es ja stärkere Mengenlehren gibt, in denen ZFC-Modelle möglich sind, so Zermelo in seinem ZF-System von 1930.--Wilfried Neumaier 08:34, 4. Feb. 2009 (CET)

Danke für die Korrektur. Ich stimme Ihnen allerdings in Punkt 2 nicht ganz zu und habe deshalb die Formulierungen noch ein bisschen geändert. Auch auf die Gefahr hin, dass das jetzt zu genaunehmerisch wirkt: Die Annahme, ZF wäre inkonsistent, ist durchaus realistisch (wenn auch in gewissem Sinne unwahrscheinlich). Die stärkeren Mengenlehren können nicht als Grundlage für einen unzweifelhaften Beweis gelten, weil diese ja auch inkonsistent sein können. Gödels zweiter Unvollständigkeitssatz beweist auch die Unentscheidbarkeit (in ZF(C)) nur unter der Annahme, dass ZF(C) tatsächlich konsistent ist. 129.13.186.3 22:46, 4. Feb. 2009 (CET)

echte Klassen in ZF

Der Begriff einer "echten Klasse" existiert in ZF ja eigentlich nicht. Bezieht sich der Satz auf eine andere Mengenlehre? Aus welcher Quelle stammt er? 129.13.186.3 22:46, 4. Feb. 2009 (CET)

Auch wenn die Frage schon alt ist, hier eine Antwort: Der Begriff einer "echten Klasse" existiert in keiner Logik, weil er metalogisch ist. Metalogisch ist er aber in ZF möglich, da ZF in eine Klassenlogik eingebettet werden kann, wie es die Mengenlehre von Arnold Oberschelp tut. Zermelo selbst setzte eine Klassenlogik voraus (man lese die Originalquellen) und nannte echte Klassen "Bereiche". Richtig ist aber: Echte Klassen existieren in ZF nicht als Objekte, die durch gebundene Variablen mit Existenzquantoren beschrieben werden können; das ist nur in NBG möglich. Von solchen echten NBG-Klassen redet aber der Artikel nicht. --Wilfried Neumaier 10:19, 15. Mai 2009 (CEST)

Gibt es einen Beweis, daß zyklische Definitionen wirklich verhindert werden?

Meines Erachtens werden die Mengen $a=\{\{a\}\}$ und $b=\{\varnothing ,\{b\}\}$ durch das Fundierungsaxiom nicht ausgeschlossen, weil es nur das unmittelbare Enthaltensein der Menge als Element in sich selbst verbietet, nicht aber das mittelbare. Möglicherweise muß man die hier wiedergegebene Formulierung des Axioms mit der ursprünglichen wortwörtlich vergleichen, um zu sehen, wo das indirekte Rekursionsverbot steckt.--195.71.148.98 15:58, 10. Jul. 2012 (CEST)

Der Beweis steht im Artikel. Rechne einfach Deinen Fall $a=\{\{a\}\}$ mal durch. Hier ist dann die konstruierbare Menge A zweielementig, weil das dritte Element gleich dem ersten wäre.--Wilfried Neumaier (Diskussion) 20:51, 11. Jul. 2012 (CEST)

Das stimmt schon, wie es im Artikel steht. Das Fundierungsaxiom garantiert tatsächlich, dass die Klasse aller Mengen bezüglich des „Enthaltenseins“ fundiert ist. Der Beweis steht im Artikel hinter der kurzen Fassung. --Chricho ¹ ² ³ 01:09, 12. Jul. 2012 (CEST)

Bereich

Wofür wird das im Artikel überhaupt mit dem „Bereich“ $B$ – was auch immer das sein soll – gemacht? Das ist doch völlig irrelevant, warum nicht einfach nur die kurze klare Formulierung? --Chricho ¹ ² ³ 01:23, 12. Jul. 2012 (CEST)

Der Bereich B ist der von Zermelo erwähnte Bereich mit dem Teilbereich T. Die Formalisierung will das Stichwort "Teilbereich" erfassen. Als Bereiche bezeichnete Zermelo in seinem Aufsatz 1930 Klassen von Mengen, die seine Axiome erfüllen. Mich stört etwas anderes: Man dürfte Klassen nicht quantifizieren. Hier müsste T eine freie Variable sein. Durch Quantifizierung wird nämlich die Originalintention, dass alle Klassen fundiert sind, ausgehebelt. Quantifizierung werden nur Elemente, und die Klassen sind das im allgemeinen nicht. Man muss auch bedenken, das eine Variable bei ihm auch ein Urelement bezeichnen kann. Das schließt die Teil-Bedingung aus. Das originale Fundierungsaxiom setzt keine reine Mengenlehre voraus, wie man sie heute gewohnt ist. Das müsste man auch erwähnen.--Wilfried Neumaier (Diskussion) 23:28, 12. Jul. 2012 (CEST)

Sollte man nicht mit dem heute Üblichen anfangen? Ist ja kein Geschichtsartikel. Wenn man dann noch die ursprüngliche Fassung ordentlich darstellen könnte, wäre das natürlich in einem eigenen Abschnitt gut. Was auch gerade nicht optimal ist, ist die Verwendung solch antiquierter Begriffe ohne Kenntlichmachung. --Chricho ¹ ² ³ 23:33, 12. Jul. 2012 (CEST)

Habe es eben kenntlich gemacht. Das wäre ein erster Schritt.--Wilfried Neumaier (Diskussion) 23:38, 12. Jul. 2012 (CEST)

Finde den Bereich B ebenfalls obskur, jedenfall erschließt sich dessen Bedeutung nicht aus dem vorliegenden Artikel. Schlage daher Ändrung vor, etwa:

Bisher:

$\emptyset \neq T\subseteq {B}\implies \exists t_{0}\in T:\lnot \exists t\in T:t\in t_{0}$

Vorschlag:

$T\notin U\implies \exists t_{0}\in T:\lnot \exists t\in T:t\in t_{0}$

wobei $U=\{X|\lnot \exists Y\colon Y\in X\}$ die in Urelement definierte Klasse der Urelemente ist.

NB: Man beachte, dass nach diesem Verständnis (dem ursprünglichen) die Leermenge ein Urelement ist, währed nach dem Verständnis des englischen WP en:Urelement die Urelemente nicht-Mengen sind. Ein solches 'echtes' Urelement auf der rechten Seite der Enthaltenseinsrelation ∈ wird als Syntaxfehler angesehen (so wie bei einer echten Klasse auf der linken Seite), währed die Leermenge schon rechts stehen darf, nur ist das Ergebnis - egal was links erlaubterweise steht - immer falsch).

--Ernsts (Diskussion) 15:17, 21. Dez. 2017 (CET)

Bei Zermelo ist B die Klasse aller Dinge, aller Mengen und Urelemente, also die Allklasse, und T ein Teilbereich. Das gibt die Formel texttreu wieder. Ich verbessere den einleitenden Satz, so dass das daraus klar hervorgeht.--Wilfried Neumaier (Diskussion) 00:45, 23. Dez. 2017 (CET)

Tippfehler?

"Damit sind auch zyklische Elementketten als quasi unendliche Kreise unmöglich: $(x_{n}=x_{1})\land (x_{1}\in x_{2})\land .....\land (x_{n-1}\in x_{n})$ ." Ist das erste "=" richtig? (nicht signierter Beitrag von 95.115.65.154 (Diskussion) 10:30, 7. Sep. 2012 (CEST))

Das Gleichheitszeichen ist richtig, denn es schließt ja gerade den Kreis.--Wilfried Neumaier (Diskussion) 12:01, 7. Sep. 2012 (CEST)

Beispiel

Ein konkretes Beispiel wäre für das Verständnis hilfreich. Ich kann es leider immer noch nicht mit meinem Beispiel nachvollziehen: T={1,2,3} und x={1} dann ist die Schnittmenge doch {1} ? --31.17.119.69 10:11, 21. Aug. 2013 (CEST)

Ich versteh Deine Frage nicht. Dein x ist ja gar kein Element aus T, sondern eine Teilmenge. Das ist also gar kein Beispiel zur Formel.--Wilfried Neumaier (Diskussion) 23:30, 21. Aug. 2013 (CEST)

Welcher Satz benötigt das Fundierungsaxiom ?

Ich würde gerne mal einen interessanten Satz sehen, für dessen Beweis das Fundierungsaxiom notwendig ist. Abgesehen natürlich von den unmittelbar damit zusammenhängenden "M nicht Element M" u.ä. Habe dazu noch nichts gefunden. Aber man wird das Axiom doch nicht nur dazu eingeführt haben, um solche nicht reguläre Mengen auszuschließen. --Olivenbaer (Diskussion) 19:44, 29. Okt. 2013 (CET)

Es gibt auch keinen interessanteren Satz. Zu Mengenkonstruktionen ist die Fundierung nicht nötig. Es charakterisiert nur den kanonischen Mengenbereich besser. Es hat tatsächlich nur den Zweck, diesen Mengenbereich enger einzugrenzen. Zermelo fügte es hinzu, um die Wünsche seiner Kritiker zu erfüllen; denn Fraenkel warf ihm vor, dass seine Mengenaxiome von 1907 einerseits unzulänglich sind für Cantors Mengenlehre (es fehlte das Ersetzungsaxiom), andererseits zu weit, wegen möglicher Nichtmengen und extraordinärer Mengen, mit denen niemand etwas anzufangen wusste. Er wollte ein adäquateres Axiomensystem angeben.--Wilfried Neumaier (Diskussion) 23:32, 30. Okt. 2013 (CET)

Der Satz:

${\begin{aligned}V=\bigcup _{\alpha \in \operatorname {Ord} }V_{\alpha }\end{aligned}}$

ist schon ein interessanter Satz und außerdem relativ äquivalent zum Fundierungsaxiom, sollte man mal einbauen.--Frogfol (Diskussion) 19:13, 31. Okt. 2013 (CET)

Ok, das kannst Du einbauen mit dem nötigen Kommentar; das meinte ich ungefähr mit der Bemerkung "Es charakterisiert nur den kanonischen Mengenbereich besser".--Wilfried Neumaier (Diskussion) 00:34, 1. Nov. 2013 (CET).

In ZF ohne Fundierungsaxiom ist der fundierte Mengenbereich natürlich durch $\bigcup _{\alpha \in \operatorname {Ord} }V_{\alpha }$ definierbar, weshalb man auf das Fundierungsaxiom verzichten kann. Das zeigt deutlich den Unterschied zu den übrigen unverzichtbaren Mengenaxiomen.--Wilfried Neumaier (Diskussion) 22:32, 1. Nov. 2013 (CET)

Das Fundierungsaxiom verhindert unendlich absteigende Elementketten NICHT!

@Wilfried Neumaier: Mir ist vorhin aufgefallen, dass seit über drei Jahren etwas falsches im Artikel stand. Mit dem Kompaktheitssatz sieht man leicht, dass es ein Modell von ZFC mit unendlich absteigenden Elementketten gibt, falls ZFC widerspruchsfrei ist. Das heißt insbesondere, dass das Fundierungsaxiom unendliche absteigende Elementketten nicht verhindert. Es verhindert lediglich die Existenz einer Funktion f als Element des Modells, mit $f(n+1)\in f(n)$ für alle $n\in \omega$. --Jobu0101 (Diskussion) 22:09, 12. Dez. 2014 (CET)

Ich sehe gerade, dass das auch weiter unten im Artikel beschrieben wird. --Jobu0101 (Diskussion) 22:14, 12. Dez. 2014 (CET)

∈-minimales Element

Wäre schön wenn man diesen Begriff noch etwas erläutern könnte. Das ∈-minimale Element in dem Ausdruck "a ∈ b ∈ c" ist dann "a" und "a ∈ b ∈ a" hat keines - oder? Und wie spricht man das aus? "Element-minimal"? Ein "minimales Element" scheint aber was anderes zu sein. TiHa (Diskussion) 08:13, 19. Sep. 2018 (CEST)