Diskussion:Georg Cantor: Der Jahrhundertmathematiker und die Entdeckung des Unendlichen

Vollständigkeit der Erfassung reeler Zahlen

Wenn der Autor schreibt:

"Ihm (Cantor) gelingt die Definition der reellen Zahlen mittels Fundamentalfolgen rationaler Zahlen und (er) kann das Phänomen der Vollständigkeit fassen, indem er zeigt, dass jede Fundamentalfolge reeller Zahlen gegen eine reelle Zahl konvergiert."

so ist dies wahrscheinlich falsch formuliert.

Cantor hat hier vermutlich den umgekehrten Fall gezeigt, nämlich dass sich jede reele Zahl durch eine Fundamentalfolge definieren lässt. (Wobei eine tabellarische Aufzählung dieser Definitionen, aufgrund der Überabzählbarkeit der Menge, nicht möglich ist) (nicht signierter Beitrag von 62.158.31.58 (Diskussion) 09:50, 25. Aug. 2011 (CEST))

Auf Seite 286 der Taschenbuchausgabe (Ende von §6e) schreibt Wallace, dass Cantor zeigen konnte, dass jede Fundamentalfolge reeller Zahlen gegen eine reelle Zahl konvergiert. Daher liegt hier kein Formulierungsfehler vor, es wurde korrekt wiedergegeben, was Wallace schreibt. Und das ist auch inhaltlich richtig. Dass sich nämlich reelle Zahlen durch Grenzwerte von Fundamentalfolgen (rationaler Zahlen) definieren lassen, ist völlig trivial, etwa durch Dezimalentwicklung. Mittels Fundamentalfolgen erhält man aus $\mathbb {Q}$ einen größeren Bereich, nämlich $\mathbb {R}$. Daher liegt es nahe, dieses Prinzip der Fundamentalfolgen nun auf $\mathbb {R}$ anzuwenden und so einen möglicher Weise noch größeren Bereich zu erhalten und so fort. Cantor hat gezeigt, dass $\mathbb {R}$ durch die Fundamentalfolgen nicht erweitert wird, dass $\mathbb {R}$ also bzgl. Fundamentalfolgen abgeschlossen ist, was man Vollständigkeit nennt. Genau das ist der springende Punkt, die reellen Zahlen sind vollständig. --FerdiBf 08:13, 28. Aug. 2011 (CEST)